第三章介质波导3.1 导波光学3.2 电磁场理论3.3 波动方程3.4 平板介质波导3.4.1 对称波导3.4.2 偶阶TE模式3.4.3 奇阶TE模式3.5 半导体的折射率n3.5.1 n同组分的关系3.5.2 n同E和N、P的关系3.5.3 n随温度的变化1几何光学Lawsof Refraction and Reflection¾TE-Waves at Oblique Incidence ¾TM-Waves at Oblique Incidence¾Total Internal ReflectionTE-WaveHn< nTM-WaveeH1 2rkHrerEekkeeHrkαeαrErnxEe1αeαrErn1αgny2zαgn2HgHgEgkgαEge=αrkg21斜入射时的TE波反射定律αe=α折射定律rn1sinαe=n2sinαgsin2α+cos2α=1⇒cosα−n21g=1n2sin2αe2Ern1cosαe−n2cosαEg2n1cosαeE=gen1cosαe+n2cosαgE=en1cosαe+n2cosαgr=E222rn1cosαe−n2TEE=−n1sinαeenn2221cosαe+2−n1sinαetgn1cosαeTE=EE=2encosα221e+n22−n1sinαe3斜入射时的TE波a, b: axisEeHeArHrkr ,Saof ellipseAre, be: axisof ellipseAe...kareaof an ellipseA = πabe ,SeaebrEarAbereαeαraboundarye=acosαeAar=acosαrαgnxag=acosαgba1n2be=br=bg=byplane of incidencezPoyntingvectorAagbggEHggS=E´Hkg ,Sg42斜入射时的TE波Poynting矢量S=E×1S=E×Hμ⋅B⋅ε0εr0μrε0εrA×b⋅B=b⋅A×BS=ε0εr⋅c2⋅E×I=ε0εr⋅c⋅E20由于c=cB光强0ε2⋅c2入射能量:nandεr=n2I=00⋅n⋅EoW=I2e=IeAeeAcosαe反射能量:Wr=IrAr=IrAcosαr透射能量:Wg=IgAg=IgAcosαg反射率:R=WrI⋅W=rA⋅cos(αr)=IreIe⋅A⋅cos(αe)Iαr=αee透射率:T=Wg⋅cos(αg)W=Ig⋅A⋅cos(αg)eIe⋅A⋅cos(α=Ige)Ie⋅cos(αe)5斜入射时的TE波εR=I0⋅c022⋅n1⋅ErE2rrI=eε0⋅c=0E2e2⋅n⋅E21eε0⋅c0⋅nT=Ig⋅cos(αg)2⋅E2g⋅cos(αg)n⋅E2⋅cos(α))ε22ggI==0⋅c0⋅n⋅E2⋅cos(α)n2e⋅cos(αe1⋅Ee⋅cos(α21eee)ErR=r2E=rR ：反射率eEgT=n2⋅cos(αg)E=ten⋅t21⋅cos(αe)T：透射率63斜入射时的TM波2αe=αrn1sinαe=n2sinαgcosαg=+−1−n1n2sin2αe2Ern2cosαe−n1cosαgE=en2cosαe+n1cosαgEgcosαeE=2n1en2cosαe+n1cosαgrTM=En2cosα1e−nrnn2222−n1sinαeE=2encosα+n1n2−n2sin22en21αe2tEgαeTM=E=2n1cosen222cosαe+n22−n1sinαe7反射率和透射率同入射角度的关系11n1 = 1 (air)n2 = 3.6 (GaAs)0.80.8TM0.60.6TETE0.40.4RTTM (air)0.20.2n1 = 1n2 = 3.6 (GaAs)00010203040506070deg90010203040506070deg90ααeeR reflectionfactorαeangle of incidenceT transmissionfactorBrewsterangle84全内反射TE-WaveTM-WaveHeHrknr2< n1HeEekekeHrkrαeαrErnxEe1αeαrErn1yz0Eng02zz0Eng02zEg=E−z/zg0e0αe=αrzEg=Ez/zg0e−0sinαnc=2n19全内反射αe=αrsinαc=n2n1cosα=±j⋅n21λgnsin22αe−1z0=22πn21sin2αe−n22TE-WaveTM-WaveErn1cosαe−n2cosαgErn2cosαe−n1cosαgE=en1cosαe+n2cosαgE=en2cosαe+nn1cosαg222n2cosαe−j⋅1n221sinα2rn1cosαe+j⋅n1sinαe−n2TE=ErE=rTM=Ee−nrn22en21cosαe−j⋅n1sin2αe−n22E=encosα+j⋅n1nn21sin2αe−n22e22tanαn221sin2αe−n22TE=ntanα=nn2211sinαe−n22TM1cosαen2⋅2n1cosαe105全内反射的临界角n 90iocteldeg80efr nal70n1 = 1.5 (glass)rintel 60otatnhe 501 = 3.6 (GaAs) tr oe f40lganl 30caiitrC201011.522.533.54Refractive index n211全内反射时的反射率和透射率11n1 = 3.6n2 = 1TM0.80.80.60.6TETE0.40.4RTn1 = 3.6n0.2TM0.22 = 1000510deg200510deg20αeαeRreflectionfactorαeangle of incidenceT transmissionfactorBrewsterangle126布儒斯特角光在电介质界面上反射和折射，通常反射光和折射光都是部分偏振光，只有当入射角为某特定角时反射光才是线偏振光，其振动方向与入射面垂直，此特定角称为布儒斯特角或起偏角，用θ布儒斯特定律。b表示。此规律称为当入射角满足关系式tgθ动垂直于入射面的线偏振光，该式称为布儒斯特定b=n2/n1时，反射光为振律（Brewster law) ，θb为起偏振角或布儒斯特角。直:θ光以布儒斯特角入射时，反射光与折射光互相垂b+θg=90°13全反射光由光密媒质n1进入光疏媒质n加到某种情形时，折射线延表面行进，即折2，当入射角θi增射角为90°，该入射角θc称为临界角。n1sinθsinc=n2sin90°θc= n2/n必须由光密介质射向光疏介质．θc为临界角。产生全反射的条件是：12，入射角必1，光须大于临界角θc．若入射角大于临界角，则无折射，全部光线均反回光密媒质，此现象称为全反射。147介质边界处的全内反射 direction of propagation: z 1x zz0.5y Ezg=E⋅tg0ejωe−00z0 -0.5-1n1 n2 Ej(ω⋅t−kz)z=λe=Ee0emedium I medium II 02πn21sin2αe−n2215xz平面波导ynCap layercdFilm layernfnsSubstratenf> ns_> ncSlab168平面波导•最简单的平面波导是由薄膜、衬底、覆盖三层平板形介质构成。薄膜厚度，与波长同一量级。•均匀和非均匀波导：均匀波导的各层介质折射率均为常数，非均匀波导的折射率随空间坐标而变。•如果波导薄膜在x、y两个方向的尺寸可同波长相比拟，则成为条形（沟道、通道）波导，它对光场在、两个方向均有限制作用。•平板波导也称二维波导，条形波导也称三维波导。17平面波导ncθe < critical angle αcc入射波nαccθcfhθ辐射模e折射波nsθ全内反射sθe> critical angle αcchθeα衬底模zccθrθxysθe> critical angle αcc两个界面处全内反射2ΦCθe> critical angle αcshθeθeθrααcsθe导波模nf> ns> ncccθrθe2ΦS189nczncnαθz = hfhcccradiationθemodexynfnsθn = 0snshθesubstrateαhccθrmodeθs2ΦChθeθeθrααcsθeguidedccθrθemode2ΦS19波导模式的基本概念光在波导内传输时，横向不受限制，这种电磁波的传播模式称为辐射模。覆盖层界面上发生全反射，而在薄膜—衬底界面上发生部分反射，仍有一部分光波折射进衬底，光仍然不受限制地穿出波导，构成辐射损耗。这种电磁波的传播模式称为衬底辐射模。光在薄膜的上下两个界面上均发生全反射，光一旦进入薄膜内就有可能被限制在里面沿方向传输，其路径是锯齿形的。这种模式相当于光受到薄膜的导引而传播，称为导波模或导模。2010薄膜波导中的电场分布E0EEE12cncxzEfnfEysns基模一阶模二阶模(m = 0)(m = 1)(m = 2)21矩形波导中的空间模式n1n1n1AEEA1100EEA1210EE2101n1EA22112211圆波导(光纤)中的空间模式模式数目2 02 1光强为0最大光强 10 11 12 00 01 02 0323归一化频率波导非对称量αν归一化折射率bE和αM⎧⎪v=kh(n221/21−n2)⎪⎨b=(N2−n2222)(n1−n2)⎪a2222E=(n2−n3)(n1−n2)=aTE⎪⎩a2M=η13aTM将上述各量应用于位相方程可得：v(1−b)1/2=mπ+tg−1⎡⎢b1/2⎤⎡a+b1/2⎤⎣η12(1−b)⎥⎦+tg−1⎢⎣η13(1−b)⎥⎦对上式进行数值计算后可作出归一化色散曲线。2412截止频率和模式数量当β=n2k 或b=0 时导模截止；当态。将前者应用于色散方程，得到阶导模的截β≈n1k 或b≈1 时或时，导模处于远离截止状止频率为：vcm=mπ+tg−1(η13a)波导内能传输的TE或TM模的个数为：m=[(1/π){v−tg−1(η符号[]13a)}]imfimf表示取恰好大于这个括号内数值的整数。因为η13>1，所以TM模式数总是小于TE模式数。波导能传输的导模总数等于TE 和TM模式数之和。25在弱导情况nn=n1≈n2下，截止条件也可用折射率差Δ对于对称波导1-n2来表示。:kh(n221/21−n2)=mπnm2λ2m2λ2n1−2=4h2(n)≈8h21+n2n对于非对称波导:1kh(n2−n21212)≈mπ+π2n(2m+1)2λ21−n2≈32h2n12613Goos-Hänchen位移和波导有效厚度通常认为，波导中的全反射就在界面的入射点上发生，实际不然。Goos和Hänchen曾用实验证明，反射点偏离入射点一段距离，如图所示，这段位移称为Goos-Hänchen位移。27波导上下界面上的Goos-Hänchen位移为:2zj=2hφ1jdβ, j=2,3利用公式式可求得Zj,值，对TE模ztgθj=k(N2−n2)12,j=2,3j对TM模ztgθj=k(N2−n2)1222j(N2n2j+Nnj−1),j=2,3导波在衬底和覆盖层中的穿透深度为:xj=zjtgθ,j=2,32814由于存在Goos-Hänchen位移，光在波导中传输时，波导不是被限制在h的范围内，而是被限制在h+x内，并称它为波导的有效厚度。2+x3范围TE模时波导的有效厚度：heff=h+x2+x3=h+1p+1qTM模时波导的有效厚度：h'n22(1n2(p2+t2)n2n2213q+t2eff=h+pp2n4t2n4)+(()441+2qq2n1+t2n3)式⎧中：⎪p2=β2−n22k⎨q2=β2−n2⎪3kt2=n2k2−β21参数p和q是导波在衬底和覆盖层中的振幅衰减系数，⎩t 为薄膜中的横向（x方向）相位常数。29波导损耗•损耗的机理：散射损耗、吸收损耗和辐射损耗。1, 电介质波导：散射损耗为主。2, 半导体波导：吸收损耗为主3,弯曲波导：必须考虑辐射损耗。•内的缺陷，如气泡、杂质原子或晶格缺陷所致。目前的波散射损耗：有体散射和表面散射。前者是由波导层体积导制作技术能使体散射损耗忽略不计。•表面散射：光波在波导中传输时，在上下界面上作频繁的反射。表面散射损耗系数公式可由瑞利准则导出，即导模在界面上反射时遵守：2P⎡⎢⎛4πσ⎞⎤r1=Piexp式中⎢−⎜⎜⎝λcosθm⎟⎟⎥1波层中的光波长，pi为入射光功率，⎣p⎠⎥r1为单次反射后的光功率，⎦λ1粗糙度的方差，用波导厚度方向的坐标θσ是表征表面为导m为m阶导模的入射角，算。x的统计方差计3015波导损耗σ是表征表面粗糙度的方差，用波导厚度方向的坐标x的统计方差计算：σ2=S[x2]−S2[x]式中S[x]是x的平均值，S[x2]=∫+∞−∞x2f(x)dx式中f(x)是几率密度函数。长度为L上的波导每个界面上光波反射的次数为：NLR=L2hθ=efftgm2(h+1p+1q)tgθm31经NR次反射后，波导的输出功率为：P⎡⎢⎛4π⎞222⎤r=Piexp⎢−⎜⎜λcosθm⎟⎟(σ12+σ13)NR⎥⎣⎝1⎠⎥=Pexp(−a)⎦isL所以，散射损耗系数为：2a⎛4π⎞3s=⎜⎜⎟⎟2cosθm1可以看出，表面散射损耗正比于粗糙度对波长比值的平方⎝λ1⎠(σ12+σ213)2sinθ⋅mh+1p+1q，反比于波导的有效厚度，且高阶模有更大的散射损耗。半导体波导的吸收损耗来源于带间吸收及自由载流子吸收两种效应。带间吸收，就是半导体吸收能量大于带隙的光子后，电子从价带跃迁到导带。直接带隙半导体的这种吸收效应很强，吸收系数可达104cm-1。3216自由载流子吸收和损耗系数半导体中自由载流子吸收也称带内吸收，即吸收光子能量后，导带中的电子或价带中的空穴升到更高的能态上。通常，自由载流子吸收也包括电子从导带边缘的浅施主能级跃迁到导带以及空穴从价带边缘的浅受主能级跃迁到价带这两种吸收过程。由经典电磁理论推得，在可见和近红外波长范围，自由载流子吸收引起的损耗系数：α+Bλ2.5+Cλ3.5A、B、Cf=Aλ1.5分别是由声学声子、光学声子和电离杂质确定的比例常数。33自由载流子吸收又称带内吸收，即吸收光子能量后，导带中的电子或价带中的空穴升到更高的能态上。通常，自由载流子吸收也包括电子从导带边缘的浅施主能级跃迁到导带以及空穴从价带边缘的浅受主能级跃迁到价带这两种吸收过程。在可见和近红外波长范围，自由载流子吸收引起的损耗系数αf同λ2近似成正比。更精确的分析可得：5式中A、Bα.5、fC =分别是由声学声子、光学声子和电离杂质确定Aλ1+Bλ2.+Cλ3.5的比例常数。弯曲波导的辐射损耗系数α0与曲率半径R成指数关系：α0=C1exp(−C2R)式中C1和C2是由波导尺寸和导模的场分布决定的常数。3417电磁场理论35电磁场理论介质中传播的电磁场可用麦克斯韦方程来描述：∇×Er=−∂Br∂Hr∂t=−μr0r∂t（3-1）∇×Hr=(Jr+∂P∂t)+∂Dr∂Pr∂t=(J+∂t)+ε0εr∂Er∂t（3-2）∇⋅Hr=0（3-3）∇⋅Er=ρ（3-4）上式中E，H、B、D、ρ和分别为电场、磁场、磁感应、电位移矢量和电荷密度。3618电磁场理论介质中传播的电磁场可用麦克斯韦方程来描述：∇×Er=−∂Br∂Hr∂=−μ0（3-1）∇×Hr=∂Drt∂t∂t=ε∂Er0εr∂t（3-2）∇⋅Hr=（3-3）∇⋅Er0=ρ（3-4）上式中E，H、B、D、ρ和分别为电场、磁场、磁感应、电位移矢量和电荷密度。37根据电荷守恒定律有：∇⋅Jr=−∂ρ电场E、磁场H、磁感应∂t（3-5）B、电位移矢量D之间的相互关系为：Dr=εr0εrE（3-6）BrJr=μr0μrH（3-7）=σEr（3-6）式中J为电流密度，σ为电导率，εr和μr为相对介电常数和相对磁导率。3819假定：1，ε，μr和μ；r为常数；23，交变电磁场下，电阻率无穷大，传导电流r=1J=0；这些假设下，麦克斯韦方程可以简化为：4，介质内没有电荷积累，电荷密度ρ=0。在∇×Errr=−∂B∂H∂t=−μ0（3-9）∇×Hr=∂Dr∂rt∂t=ε∂E0εr∂t（3-10）∇⋅Hr=0（3-11）∇⋅Er=0（3-12）39利用矢量分析方法可得：波动方程∇×∇×Er=∇(∇⋅Er)−∇2Er=−∇2Er=∇×(−μ∂Hr0)=−μ∂rμ∂2Er∂t（3-13）0(∇×H)=−0ε0εr2同样可得到：∂t∂tr∇2Hr=μ∂2H0ε0εr∂t2（3-14）此两式通常称为波动方程。上述方程中，∇为拉普拉斯算符，∇2可以表达为：∇=∂∂2∂22∂x2+∂y2+∂z2（3-15）如果将电场矢量表示为迪卡儿坐标的三个分量，则有：Er=Erxi+Erryj+Ezki、j、k 为三个方向上的单位矢量。4020波动方程波动方程可以进一步简化为三个独立的标量方程：∇2E∂2Exx=μ0ε0εr∂t2（3-16）∇2E∂2Eyy=μ0ε0εr∂t2（3-17）∇2Eμ∂2Ezz=0ε0εr∂t2（3-18）同样，也可以列出H的三个标量波动方程。41介质中的平面波传输假定电磁波的传播方向为z向，电场E的偏振方向为x向，则有：Ey=Ez=0E=E（3-19）再假定电磁波的角频率为ω=2，则有：πνxEx(z,t)=Ex(z)exp(iωt)（3-20）在这一式中，我们已经利用了∂∂x=∂∂y=0，认为Ey与x、y无关，空间上只与z有关。将上式代入波动方程，则有：∂2Ex（3-21）∂z2=μ0ε220εrωEx=−βExβ2=μ（3-22）0ε20εrω求解这一波动方程，可得：Ex(z,t)=[Aexp(−βt)+Bexp(βt)]exp(iωt)（3-23）式中A和B为常数。4221如果只研究x轴方向传播的电磁波，则上式可以表达为：Ex(z,t)=Acos(ωt−βz)（3-24）相应地，磁场只在y方向上有磁场分量，可以表达为：Hy(z,t)=(ε0εrωA)cos(ωt（3-25）上述E两式还可以表达为：β−βz)x、HyEνt−zx(z,t)=Acos[2π(（3-26）Hy(z,t)=(ε0εA)cos[λ)]2π(νt−z)]zrωβt（3-27）式中λ为波长，2π(νt−)为相位。在y，即z一定时在同一平面上，无论λEx和Hy中，不出现坐标x、x、y为何值，电磁波的相位相同。这种等相位面为平面的光波叫平面波，传播常数为：β=2π2λ=πnλ=nk0（3-28）0λ的传播常数，o为该光波在真空中的波长，n为介质的折射率，kko为真空中o=2π/λo。43无损耗介质中的线偏振平面波xEXHyzEXHyy4422令(ωt−βz)=0，则可求出平面波在介质中的相速度(即等相位面的传播速度)为：V=dzdt=ω2πν（3-29）β=2πλ=νλ则有：V=1μ=11=c（3-300ε0εrμ0ε0εrn）为真空中的光速，n为介质的折射率。在β=2πnλ0的表达式中，已经没有电学参量ε学折射率n来描述介质中的传播常数了。上述推导中，我们r，而是用光已经不自觉地作了一个假定，介电常数ε率)为实数，即介质中不存在光损耗。事实上，光在介质中r(亦即对应的折射会因各种原因被吸收、散射，引起相应的损耗，这就会使上述平面波变为衰减的平面波。45介质中的折射率可以表达为：n=n−jk（3-31）因而εn2−k2r=−j2nk（3-32）β可以得出：也为一复数，β=β0+jr，代入Ey、Hx的表达式，Ex(z,t)=Aexp(−rz)cos(ωt−β0z)（3-34）Hy(z,t)=(r+jβ0)Aexp(−rz)cos(ωt−β0z)（3-34）通过推导、比较，可以很容易得出：jωμ0β0=2πnλ（3-35）0r=2πkλ（3-36）04623在实际的光学测量中，当光强为的光波传播一定距离后，其光强呈指数关系下降，这一关系可以表示为：I=I为材料的吸收系数。0exp(−αz)（3-37）式中αI=(E)2∝exp(−2rz)（3-38）比较上述两式，则有：α=2r（3-39）即光波的吸收系数为电场衰减系数的两倍。将代入上式，则得:r=2πkλ0α=4πkλ（3-40）以上我们分析推导了平面波在介质中传输的情况，导出0了各种电学、光学参数之间的关系，打下了光学波导分析的理论基础。下面将给出平板介质波导的边界条件，从而推导出其电磁分量的表达式，从而给出非常明确的物理图象。47损耗介质中的衰减平面波10.8α0.6~e−2z0.4E ( z)E0.2002π4π6π-0.2βββ-0.4-0.6E(z,t)=E0.ejωt.e−jβz.e−α2z-0.8-1directionofpropagation4824损耗介质中衰减的线偏振平面波x2zEx~e−α⋅zHy~e−α⋅z2ywithlossdampedwave49平板介质波导xz对称波导设平板在向无穷大，则有∂∂y=0。y从麦克斯韦方程出发，并利用∂H∂y=0，则有：TE模：E与z=0，y无关。利用分离变量法对波动方程求解，便可得到对y=Ex=0，因此电场只有Ey存在，且只是x的函数，称平板介质波导的电场为：Ey(x,z,t)=Ey(x)exp[j(ωt−βz)]（3-41）其中满足：∂2Ey(x)∂x2+(n22k20−β2)Ex=0（3-42）该方程的解为：Ey(x)=AecosKx+A0sinKx（3-43）式中Ao、Ae为常数，由坡印亭矢量给出。K表示为：K2=n22k20−β2（3-44）5025在x
β251有源区之外的电场分量则可以表达为：Ey(x,z,t)=Aecos(Kd2)exp(−rx−d2)⋅exp[j(ωt−βz)]（3-47）同样可以推导出：Hx(x,z,t)=(−xx)(jrωμ)A0ecos(Kd2)⋅exp(−rx−d2)⋅exp[j(ωt−βz)]式中r2=β2−n21k20（3-48）5226从K2、r2 的表达式可以看出，如果要保持有源区的传播而在有源区外衰减的波导模式传播，要求：n2222k0>β2β2>n21k0(3-49）n2>n1(3-50)这正是前面介绍过的光波导的条件。在垂直方向(x向)上，x>±d/2的区域内光场呈指数衰减，这种场称之为消失场。这种衰减不是由于介质1和3的光学吸收所引起的，而是由于n1和n2的折射率差引起光在界面处的完全反射所致。在异质结界面处，电场和磁场的切向分量和应当是连续的：E1t=E2t(3-51)H1t=H2t(3-52)53偶阶TE模式在x=±d2处，波导内的E、H表达式和波导外的E、H表达式应当彼此相等。H(d2,z,t)=−jKωμAKd)exp[j(ωt−βz)]=−jνAKdzesin(ecos()exp[j(ωt−βz)]02ωμ102Kdr(β2−n21k20)2tan(2)=K=(n2（3-53）2k20−β2)12Kdrd令2=X2=Yrd（3-54）则上式改写为：tanX=r2K=Kd=YY=XtanX2X（3-55）5427对于偶阶模X=mπ，m=0，2，4，6……（3-56）K2+r2=(n222k220−β)+(β−n21k20)=(n22−n21)k20（3-57）将上式两边各乘以(d22)，则得：(n2k0d2−n21)(2)2（3-58）若令R=(n21kd2−n21)2(0)（3-59）则有：X2+Y2=(Kd2)2+(rd)2=R2（3-60）这就是一个半径为的园方程。22将两式联立求解：⎧2⎨X+Y2=R2（3-61）⎩Y=XtanX555628在平板介质波导中，n1和n2的折射率差对模式的影响很大。波导的数字孔径为：NA=(n2−n2)1212（3-62）平板波导中的模式数目与R成正比，即与(n221k0d2−n1)2()成正比。这就是说，随着nn22的增大、1的减小、d的增大和λ0的减小，模式数目在增加。对于偶阶模来说，阶模的截止厚度：d=mλ0=mλ04(n22−n211)24(NA)（3-63）m=0,2,4,6⋅⋅⋅⋅⋅⋅，要想使半导体激光器以低阶偶横模的方式工作，其厚度必须小于其一允许值λ04(NA)。57Number Aperture数值孔径数值孔径（n和孔径角NAθ）是物镜前透镜与被检物体之间介质的折射率g半数的正弦之乘积。N.A.=nsin(θ/2)孔径角又称的有效直径所形成的角度。孔径角越大，进入物镜的光通“镜口角”，是物镜光轴上的物体点与物镜前透镜亮就越大，它与物镜的有效直径成正比，与焦点的距离成反比。显微镜观察时，若想增大的办法是增大介质的折射率NA值，孔径角是无法增大的，唯一了水浸系物镜和油浸物镜，因介质的折射率n值。基于这一原理，就产生NA值就能大于一。n值大于一，数值孔径与其它技术参数有着密切的关系，它几乎决定和影响着其它各项技术参数。它与分辨率成正比，与正比，放大率成宽度与焦深工作距离与数值孔径的平方成反比，都会相应地变小。NA值增大，视场5829奇阶TE模式对奇阶模进行偶阶模类似的分析，有源层内的电磁场为：Ey=A0sin(Kx)exp[j(ωt−βz)]（3-64）H=jKxωμA0cos(Kx)exp[j(ωt−βz)]（3-65）0在有源层之外电磁场为：HjKKdx=(−ωμ)A0sin()exp[−r(x−d)]⋅exp[j(ωt−βz)]（3-66）022ExKddy=xA0sin(2)exp[−r(x−2)]⋅exp[j(ωt−βz)]（3-67）59利用边界上电场和磁场的切向分量连续这一边界条件，可以得到奇阶模的本征方程为：tanKdr2=−K（3-68）或者表达为：Y=−XcotX（3-69）X2+Y2=R2（3-70）将此二式相结合，就可获得奇阶模的本征方程的图解。只有R<π2时才有可能以基横模（m=0）的方式工作。R=(n21d=(NA)2ππ2−n21)2k0λd<（3-71）02要想使半导体激光器以基模的方式工作，D必须满足：d<λ04(NA)（3-72）603061偶阶和奇阶模式的图解6231半导体激光器的模式¾模式：在一定的边界条件下，电磁波在谐振腔内形成驻波，光强呈稳定分布，这种稳定的分布为激光模式。¾纵模：光波在传播方向上的分布情况。¾横模：光波在垂直谐振腔方向上的分布情况。其中垂直pn结平面方向为垂直横模，平行pn结平面方向为水平横模。¾求解麦克斯韦方程，得出电磁波定态解，可用一组整数(m,n,q)表征，它们为模式指数。E(x,y,z)=EqπmnqmnqXm(x)Yn(y)cos(Lz)cos(2πνmnqt)636432矩形波导中的模式n1n1n1AEEA1100EEA1210EE2101n1EA2211653.5 半导体材料的折射率在上几节的推导中，我们假定n2>n1、n3，这表明：为了获得有效的光波导效应，要求光电器件的有源层的折射率比毗邻的限制层的折射率高。一般要求相对折射率差Δn/n为3-7%。半导体材料的折射率既与材料本身有关，也同光子能量E（亦即光波波长λ）有关。不同半导体的折射率不同，由二种或二种以上半导体固溶体合金的折射同其组分有关。例如：Al随着x值的增大而减小。一般而言，半导体材料的xGa1-xAs的折射率折射率随光子能量的增加而增加。即使是同一种半导体材料，当其注入的自由载流子的浓度不同时，也会引起折射率的变化，载流子浓度的增加会引起折射率的减小。6633折射率同组分的关系 表3.1 二元化合物半导体的折射率 化合物 AlP AlAs AlSb GaP GaAs GaSb InAs InSb 对应Eg的n 3.027 2.871 >3.4 3.452 3.590 3.82 3.45 ～3.5 对于化合物合金来说，并无禁带宽度Eg同折射率n的明确关系式，但趋势是明显的。组分x的改变对Eg和n的影响正好相反，即材料组分引起禁带宽度E其折射率n 会减小(或增加)。g增加(或减小)时，67AlxGa1-xAs的n同x值的关系6834GaxIn1-xAsyP1-y的n同λ的关系69对于三元或四元合金的折射率或其它物理参数，人们常常采用已知二元化合物的折射率（或其它物理参数）进行线性插入法求得合金的折射率。然而此法常常不够准确。下面介绍一种与实验结果相近的内插法，可以用来计算四元化合物合金（如InGaAsP）的折射率，这就是塞尔迈耶（Sellmeyer）公式：n2(λ)=(A+B1−c)（3-74）式中λ为波长，A、B、C为Sellmeyerλ2参数，设x1、x2为中III族元素的组分，y1、y2为V族元素的组分，则：A(x1,x2,y1,y2)=A11x1y1+A12x1y2+A21x2y1+A22x2y2（3-75）B(x1,x2,y1,y2)=B11x1y1+B12x1y2+B21x2y1+B22x2y2（3-76）C(x11,x2,y1,y2)=Cx11y1+x11y2++111C12Cx2y121Cx2y2（3-77）227035表3-2 用于内插计算的Sellmeyer参数化合物 Aij Bij Cij GaP 4.54 4.31 0.220 GaAs 8.05 2.054 0.390 InP 7.225 2.316 0.392 InAs 11.10 0.710 0.508 利用上述公式和表3-2所列的参数，可以计算InGaAsP任何组分的的折射率。71载流子浓度折射率n同光子能量N和P的关系E和自由载流子吸收和注入载流子所引起的吸收边漂移都会引起介电常数的色散而引起折射率减少。如果考虑自由载流子吸收，即光场中运动的自由电子和空穴的等离子体色散效应，则有：Δn=−r0λ2N2πn(m+P)emh（3-78）式中ro=2.82×10-13cm为电子的经典半径，me、mh为电子、空穴的有效质量。可见，随着注入电子和空穴浓度N和P的增加，折射率差Δn将出现负增长。进一步分析表明，由载流子注入引起吸收漂移，由此使折射率产生比自由载流子吸收大一个数量级的变化。7236GaAs的折射率同载流子浓度和能量的关系731.38eV下GaAs的年同载流子浓度的关系743775P-和n-GaAs的吸收系数α同N、P和E的关系7638GaN折射率的经验公式nGaN=b1−b2b2+b4λ2−b6*λ23+λb5+b1=7.2757576 ，b2=3.1884011 μm2bb3=1.0577376 μm2，b4=0.3028841 μm25=0.219*10-6μm2，b6=0.7133304μm2Optics Letters, V21,pp1529-1531,1996nGaN=A+BCλ2+λ4A=2.2796±0.00064B= 0.011750 ±0.000375 cm2C=0.0044175 ±5.18 e-5cm4Jpn.J.Appl.Phys.V37(1998),ppL110577AlGaN、InGaN的折射率N(y)= nGaN{ E-[Eg(y) –Eg(GaN)] }Prog.Quantum, Electron.V20 (1996),pp.3617839折射率n随温度的变化温度的变化不但能使半导体材料的禁带宽度产生变化，而且能使其折射率随着温度的升高而升高，不同温度下的折射率同光子能量的关系可以定量地表示：Δn≈4×10−4ΔT（3-79）79半导体材料的折射率¾半导体材料的折射率随组分x、能量E、载流子浓度n、温度T而变化。¾一方面，n的选择为我们设计光电子器件提供了一个非常有用的变量，利用它可以设计出非常有用的波导结构；¾另一方面，载流子浓度N或P 温的变化会引起折射率的变化，导致激光器的模式、线宽及其它特性的变化。¾因此，必须深入了解其性能，利用其利，避开其弊。8040习题1.对称平板介质波导中，光波导是怎样形成的？请推导出E、H的表达式。2.已知对称介质波导中，有源层nn，对于平板波导来说，为了获得基横2=3.501，限制层模，试求中心层厚度应满足什么条件？1=3.2203.已知n2=2.234，n1=2.214，d=1μm，λ0=0.6328，求该波导的数值孔径和特征方程的值。4.GaAs中，n=3.59，试求出注入电子浓度分别为n=1×1017cm-3、8×1017cm-3、4×1018cm-3三种情形的Δn/n。（已知Eg=1.42eV）5.试计算出Al种情形的ΔE0.1Ga、Δ0.9As/GaAs、AlE0.3Ga0.7As/GaAs两gc、ΔEv和Δn。8141