力矩分配法是在位移法的基础上发展起来的一种渐近法，它主要应用于分 析连续梁和无结点线位移的刚架。杆端弯矩的正负号规定与位移法相同。 一、名词解释
1.转动刚度Sij
转动刚度表示杆端对转动的抵抗能力，它在数值上等于使杆端产生单位 转角时需要施加的力矩。
远端固定：SAB=4i 远端铰支：SAB=3i 远端滑移：SAB=i 远端自由：SAB=0 其中：i=EI/l； 2.分配系数μ
ij
由转动刚度的定义可知： MAB= SAB•θA=4iAB•θA MAC= SAC•θA=iAC•θA MAD= SAD•θA=3iAD•θA
取结点A为隔离体，列ΣM=0，可得：
M= SAB•θA+ SAC•θA+ SAD•θA
M M
∴θ= ──────── = ── SAB + SAC + SAD ΣS
ΣS表示各杆A端转动刚度之和，把θ反代入，可得： MAB=M• SAB/ΣS MAC=M• SAC/ΣS MAD=M• SAD/ΣS 令μAj= SAj/ΣS 则 MAj=μAj•M μ
Aj
称为分配系数，等于某杆的转动刚度与交于结点的各杆的转动刚度
之和的比值；
同一结点各杆分配系数之间存在下列关系： ΣμAj=μ3.传递系数CAj
AB
+μ
AC
+μ
AD
= 1
MAB =4iAB•θA，MBA =2iAB•θA MAC =iAC•θA， MCA = -iAC•θA MAD =3iAD•θA，MDA =0 CAB= MBA / MAB =1/2 ∴远端固定：C=1/2 远端滑动：C=-1 远端铰支：C=0
用下列公式表示传递系数的应用： MBA = CAB• MAB
系数CAB称为由A端至B端的传递系数；
二、力矩分配的基本概念
如下图所示结构，用位移法计算时，此结构有一具未知量Z1，典型方程
为：r11•Z1 + R1p = 0
r11=3i12 + i13 + 4i14 = S12 + S13 + S14 =ΣS
R1P =ΣM1jg =M12g +M13g =M1g
R1P代表附加刚臂上反力矩，它等于汇交于结点1的各杆端的固端弯矩的代 数和，用M1g表示。由于它代表了各固端弯矩所不能平衡的差额，故称为结 点平衡力矩。
解得：Z1= - R1P/ r11 = - M1g/ΣS1j
然后按叠加法 M = MP + Z1M1 各杆端弯矩为：
M12 =M12g + Z1•3i12 = M12g + (-M1g)•S12/ΣS1j M13 =M13g + Z1•i13 = M13g + (-M1g)•S13/ΣS1j M14 =M14g + Z1•4i14 = M14g + (-M1g)•S14/ΣS1j 写成一般形式有：
M1k =M1kg + Z1•S1k = M1kg + (-M1g)•S1k/ΣS1k= M1kg + μ1k•(-M1g)
上式中，第一项为各杆由荷载产生的弯矩，即固端弯矩，第二项为附加刚 臂转动Z1角度时所引起的弯矩，这相当于把不平衡力矩反号按转动刚度 大小的比例分配给相交于该结点的各杆端，因此称为分配弯矩，而μ则 称为分配系数，其计算公式为：
M1kμ = -μ1k• M1g μ
1k
= S1k/ΣS1k
1k
显然，汇交于同一结点各杆端的分配系数之和应等于1，即Σμ各杆端远端的最后弯矩可写为： M21 =M21g + C12• M12μ M31 =M31g + C13• M13μ M41 =M41g + C14• M14μ
=1；
写成一般形式：Mk1 =Mk1g + C1k• M1kμ
上式中，第一项为各杆由荷载产生的弯矩，即固端弯矩，第二项为附加刚 臂转动Z1角度时所引起的弯矩，它好比是将各近端的分配弯矩M1kμ以传递 系数的比例传到各远端一样，故称为传递弯矩，其计算公式可表示为： Mk1 = C1k• M1kμ
得出上述规律后，可以不必绘出M1、MP图，也不必列出典型方程和计算未 知量Z1，就能直接计算各杆端的最后弯矩。 其作法可形象归纳为以下两步： ⑴固定结点
如下图所示，设想先在结点B加一个附加刚臂阻止结点B的转动，然后 再加砝码。
⑵放松结点
连续梁的结点B本来没有约束（刚架），在不存在约束力矩MBg，所以必 须修正，放松结点B，让其自由转动，即让MBg =0；如上图所示；
力矩分配法的物理概念：
先在刚结点B加上阻止转动的约束（刚臂），把连续梁分为单跨梁，求 出杆端产生的固端弯矩。结点B各杆固端弯矩之和即为约束力矩MBg 。 去掉约束，求出各杆B端新产生的分配力矩和远端新产生的传递力矩， 叠加各杆端记下的力矩就得到实际的杆端弯矩。 例：如下图所示为一连续梁，用力矩分配法求作弯矩图。
解：转动刚度：SBA=4i，SBC=3i； 分配系数：μBA=4i/(4i+3i)=0.571 μBC=3i/(4i+3i)=0.429 MgAB=-200X6/8=-150KN•m MgBA=200X6/8=150KN•m MgBC=-20X6²/8=-90KN•m
分配系数 0.571 0.429 固端弯矩 -150 150 分配 与 传递 -17.2 X 0.5 -34.1 -90 0 -34.1 X 0 0 -115.7 0 杆端弯矩 -167.2 115.7
例：试求如下图所示等截面刚架各杆的杆端弯矩。各杆线刚度标注于图中。
解：分配系数：
μAB=3*2/(3*2+4*1.5+4*2)=0.3 μAC=4*2/(3*2+4*1.5+4*2)=0.4 μAD=4*1.5/(3*2+4*1.5+4*2)=0.3 MgAB=1*30*4²/8=60KN•m MgAD=-100*3*2²/5²=-48 KN•m
MgDA=100*3²*2/5²=72 KN•m
力矩分配法的计算过程列表进行，如下表所示：
结 点 杆 端 分配系数 固端弯矩 分配弯矩 传递弯矩 最后弯矩 0 0 0 B BA AB 0.3 60.0 -3.6 56.4 A AC 0.4 0 -4.8 -4.8 AD 0.3 -48.0 -3.6 -51.6 72.0 -1.8 70.2 D DA 0 -2.4 -2.4 C CA
§8.2力矩分配法计算多结点连续梁和无侧移刚架
前述单结点力矩分配法的基本原理可推广到多结点的连续梁和无侧移（即无结点线位移）刚架。对于多结点的连续梁和刚架，只要逐次对每一结点应用上节的基本运算，就可求出杆端弯矩，下面以实例加以说明。
如下图所示三跨连续梁：
MgAB=-(30*2*4²/6²+30*2²*4/6²)=-40KN•m MgBA=40KN•m
MgBC=-40*4/8=-20KN•m MgCB=20KN•m
MgCD=-8*6²/8=-36KN•m
则结点B和C的一平衡力矩（约束力矩）分别为：
MgB=ΣMgBj=40-20=20 KN•m； MgC=ΣMgCj=20-36=-16 KN•m；
然后再设法消除这两个结点上的不平衡力矩； 分配系数：
μBA=（4*EI/6）/（4*EI/6+4*EI/4）=0.4 μBC=（4*EI/4）/（4*EI/6+4*EI/4）=0.6
通过力矩分配（即将不平衡力矩MμBA反号乘以分配系数），求得各相应杆端
的分配弯矩为：
MμBA=0.4*(-20)=-8 KN•m MμBc=0.6*(-20)=-12 KN•m
把分配弯矩向各自的远端传递，得传递弯矩为：
MCAB=0.5*(-8)=-4 KN•m MCCB=0.5*(-12)=-6 KN•m
放松结点B后，将暂时处于平衡的结点B在新的位置上重新用附加刚臂固 定。此时，放松结点C，考虑到放松结点C，考虑到放松结点B时传至CB 端的传递弯矩 -6 KN•m应计入结点C的不平衡力矩，其值为： MgC=ΣMgCj=20-36-6=-22KN•m
放松结点C并将不平衡力矩反号后分配，计算结点C的有关各杆端的分配 系数为：
μCB=（4*EI/4）/（4*EI/4+3*2EI/6）=0.5 μCD=（3*2EI/6）/（4*EI/4+3*2EI/6）=0.5
有关分配弯矩为：MμCB= MμCD=0.5*22=11 KN•m 同时把它们向各自的远端传递，得传递弯矩为： MCBC=0.5*11=5.5 KN•m ，MCDC=0；
分配系数 固端弯矩 分配与传递 -40 40 -4 -8 -1.10 -2.20 -0.09 -0.17 -45.19 29.63 -20 20 -12 -6 5.50 11.0 -3.30 -1.65 0.42 0.83 -0.25 -0.13 0.06 -36 11 0 0.83 0 0.06 0 0.4 0.6 0.5 0.5
最后弯矩 -29.63 24.11 -24.11
例：试用力矩分配法计算下图所示等截面连续梁的各杆端弯矩并作M图。
解：分配系数
μDC=4*4/（4*4+3*6）=0.471，μDE=3*6/（4*4+3*6）=0.529
分配系数 固端弯矩 B、D分配传递 C分配传递 B、D分配传递 C分配传递 B、D分配传递 C分配传递 B、D分配传递 C分配传递 最后弯矩 0.600 0.400 0.500 0.500 0.471 0.529 0 0 24.0 48.00 -0.92 -1.84 -0.1 -0.20 -0.1 -0.20 -80 +40 -60 +60 32.00 16.00 3.06 6.12 -1.22 -0.61 0.33 0.66 -0.13 -0.07 0.04 0.07 -0.02 -0.01 0.01 -8.24 -16.49 6.12 3.06 -0.72 -1.44 0.67 0.33 -0.08 -0.16 0.08 0.04 -0.01 -0.02 0.01 -25 40 -18.51 -1.62 -0.17 -0.02 -40 22.97 45.94 -45.94 62.17 -62.17 45.32 -45.32 40 -40
例：试用力矩分配法求如下图所示的刚架的弯矩图。各杆E相同。
解：各杆的EI取相对值计算，为计算方便，可令EI=1
转动刚度：
iBA=4EI/4=1，SBA=3iBA=3；
iBC=5EI/5=1，SBC=SCB=4iBC=4； iCD=4EI/4=1，SCD=3iCD=3； iBE=3EI/4=3/4，SBE=4iBE=4*3/4=3； iCF=3EI/6=1/2，SCF=4iCF=4*1/2=2； 分配系数：
μBA=3/10=0.3，μBC=4/10=0.4，μBE=3/10=0.3， μCE=4/9=0.0.445，μCD=3/9=0.333，μCF=2/9=0.222， 固端弯矩：
MgBA=ql²/8=20*4²/8=40KN•m MgBC=-ql²/12=-20*5²/12=-41.7KN•m MgCB=ql²/12=20*5²/12=41.7KN•m 力矩分配与传递
结 点 杆 端 分配系数 固端弯矩 分 配 及 传 递 最后弯矩 A AB E EB BA 0．3 4．00 B BE 0．3 3．3 0．15 3．5 BC 0．4 -41.7 -9.3 4.4 -0.5 0.2 -46.9 CB 0.445 41.7 -18.5 2.2 -1.0 24.4 C CF 0.222 -9.3 -0.5 -9.8 CD 0.333 -13.9 -0.7 -14.6 D DC F FC -4.7 -0.2 -4.9 1．6 3．3 0．1 0．15 1．7 43．4 计算最后弯矩作M图如下图所示；
对于刚架的力矩分配及传递过程，也可在图上进行，如下图所示。
例：试求如下图所示连续梁支座C下沉1CM时的弯矩图。已知
E=2.6*106N/cm²，I=30*603/12=5.4*105cm4。
解：计算转动刚度与分配系数 SBA=3i，SBC=4i；
μBA=3i/(3i+4i）=0.43，μBC=4i/(3i+4i）=0.57； 计算固端弯矩 EI=1.4*105KN•m²
MgBC= MgCB= - 6EI•Δ/l²= -6 *1.4 *105 * 0.01/6²=-233.3KN•m； MgCD= 3EI•Δ/l²= 3 *1.4 *105 * 0.01/6²=116.7KN•m； 力矩分配和传递过程，如下图所示：
作弯矩图，如下图所示：
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容