浙江省向量试题评析及向量运算的几何解读

浙师大附中 周建峰

向量部分试题一直以来是浙江省高考数学试卷的一大亮点，多年来命题组形成了具有浙江卷特色的命题视角、命题方式，不断有创新型问题出现，题目简洁、新颖，思维创新性、灵活性强，试题丰富多彩。试题有单独成题，也有与其它知识交汇成题。

向量与其它知识交汇考查主要有以下三个方面：

（1）立体几何解答题一般可以用空间向量和空间逻辑推理两种方法解决。引入空间向量，大大降低了立体几何对空间想象能力的要求，充分发挥向量的工具性作用。

（2）平面向量可以与三角的交汇命题，往往借助向量的数量积、向量的模、向量的坐标运算等设置综合问题的背景。

（3）向量还可能与圆锥曲线大题交汇出题，主要是考查向量的坐标运算，实现向量运算、几何运算向代数运算转化。

向量单独考查多以选择题、填空题形式出现，尤以填空题居多，考查的重点是向量的性质和运算法则，数乘、数量积与共线问题，常用技巧是数形结合，文理科多以相同题（题号不同）或姊妹题出现。

一、浙江省2011——2013年样卷与高考真题向量部分试题回顾 2011年

样卷：（理14）已知单位向量α，β，满足(α＋2β)(2α－β)＝1，则α与β夹角的余弦值为_______．

（文13）已知平面向量α，β，|α|=1，|β|=2，α⊥（α-2β），则|2α+β|的值是________． 高考卷：（文15、理14）若平面向量α，β满足|α|=1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的

面积为

2012年

样卷：（理9）如图1，在圆O中，若弦AB=3，弦AC=5，则AOBC的

值是（ ）

A．8 B．1 C．1 D．8

高考卷：（文7、理5）设a，b是两个非零向量，则（ ）

A (图1)

O B 1，则α与β的夹角的取值范围是 ． 2C A．若|ab||a||b|，则ab B．若ab，则|ab||a||b| C．若|ab||a||b|，则存在实数，使得ba D．若存在实数，使得ba，则|ab||a||b| （文、理15）在ABC中，M是BC的中点，AM3，

D

BC10，则ABAC _．

2013年

A 样卷：(文7、理6) 如图2，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC．

若|AB|=a，|AD|=b，则ACBD=（ ）

A．ba B．ab C．ab D．ab

222222C

（图2）

B

1

高考卷：（理7）设△ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B=AB，且对于AB上任一点P，恒有

4

→→→PB∙→PC≥P0B∙P0C，则（ ） A．ABC=90 B．BAC=90

C．AB=AC

D．AC=BC

π(文、理17) 设e1，e2为单位向量，非零向量b=xe1+ye2，x，yR．若e1，e2的夹角为，6

|x|

则的最大值等于 ． |b|

二、浙江省向量部分试题命题视角解读

试题主要围绕向量运算设计，考查向量的概念、线性运算、坐标运算、几何运算。 1、向量运算的几何意义既是命题思路的源泉，也是快速解题的有效途径。 例1．（2008年浙江理）已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，

若向量c满足(ac)(bc)0,则|c|的最大值是（ ）

A．1 B．2 C．2 D．

B C M 解析：如图3，OAa,OBb,OCc,则ac=CA,bc=CB，

由(ac)(bc)0可得CA⊥CB，故点C在以AB为直径的圆M

上，|c||OC||OM|r（r为圆M的半径）=2，选C．

2 2O （图3）

A 例２．（2005年浙江理）ae，|e|1，对于ｔ∈Ｒ，恒有

B |ate||ae|，则（ ）

A．a⊥e B．a⊥（a-e） C．e⊥（a-e） D．（a+e）⊥（a-e）

E

解析：如图4，设OAa,OEe,OBte,则ae=EA,ate=BA.

O

（图4）

A 因为对于ｔＲ，恒有|ate||ae|，故|E又B在直线OE上，所以EA⊥OE，A||BA|恒成立，

即e⊥（a-e），选C．

2、数量积的四种运算交相呼应，一题多法展现亮点。

1例3．（2013年浙江理）设△ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B=AB，且对于AB上任一点P，

4

→→C 恒有→PB∙→PC≥PB∙PC，则

0

0

A．ABC=90 B．BAC=90 C．AB=AC D．AC=BC

→解法一：（几何意义）由题意，设|→AB|=4，则|PB|=1，如图5，过点C作AB

0

的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设HP0=a，则由数量积的几何意A →→→→义可得，→PB∙→PC=|→PH||→PB|=(|→PB| −(a+1))|→PB|，PB∙PC=−|PH||PB|=−a，

0

0

0

0

P H P0

B （图5）

→→→→→→于是PB∙PC≥P0B∙P0C恒成立，相当于(|PB|−(a+1))|PB|≥−a恒成立，整理得|→PB|2−(a+1)|→PB|+a≥0恒成立，只需∆=(a+1)2−4a=(a−1)2≤0即可，于是a=1，因此我们得到HB=2，

即H是AB的中点，故△ABC是等腰三角形，所以AC=BC，选D． 解法二：（坐标法）设 O为AB的中点，以O为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立直角坐标系

→xOy，设|→AB|=4，C(x,y)，则|P 0B|=1，通过计算可求得x=0，故点C在y轴上，所以AC=BC，选D．3、数量积的极化恒等式成为新宠，体现向量的数量积与和差运算的内在联系。

1

例3．（2013年浙江理）设△ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B=AB，且对于AB上任一点P，

4

→→恒有→PB∙→PC≥PB∙PC，则

0

0

A．ABC=90 B．BAC=90 C．AB=AC D．AC=BC

解法三：（数量积的极化恒等公式）如图6，分别以PB,PC和P0B，C PC为邻边作平行四边形PBDC和PBEC，则→PB∙→PC

0

0

222211→→=（PDCB)，P0B∙P0C=（P0ECB)， 44E D A P

故对于AB上任一点P ，恒有|PD||P0E|，又PB∥CD，且PD、

H P0

(图6)

B 1

P0E都过BC的中点，所以P0E⊥AB，即P0E∥CH，得到HP0=CE=AB，即H是AB的中点，故△ABC

4是等腰三角形，所以AC=BC，选D 例4．（2012年浙江文、理15）在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，

A BC10，则→AB∙→AC=_________.

B

1122解析：如图7，→AB∙→AC=(→AD-→CB)=|AM||CB|=16．

444、向量运算代数化后判别式使用别出心裁。

M C D (图7)

例5．（2010年浙江理16）已知非零平面向量a，b满足|b|1,且a与b-a的夹角为120°，则|a|的取值范围是__________________ ．

解析：因为ba(ba)，所以|a(ba)|21，即|a|22a(ba)|b-a|21， 所以|b-a|2|a||(ba)||a|210，看成关于|b-a|的一元二次方程，则

|a|24(|a|21)0，得到|a|(0,23]． 3三、向量运算的几何解读

向量运算包含和差运算、实数与向量的积和数量积运算。各种运算都有其几何意义，完美体现了数形结合的思想。向量本身具有代数形式（有序实数对表示）与几何形式（有向线段表示）的双重特点，在向量的教学中，应及时引导学生捕捉知识与问题中的数形信息，揭示数与形的内在联系与转换方法，帮助学生养成遇数思形，以形助教的良好思维习惯。

1、向量的几何意读：向量用有向线段表示，向量的模即为线段的长或两点间的距离。 例6．（2009年北京文）设D是正PP12P3及其内部的点构成的集合，点P若集合S{P|PD,|PP ,2,3}，0||PPi|,i10是PP12P3的中心，则集合S表示的平面区域是 ( ) A． 三角形区域 B．四边形区域 C．五边形区域 D．六边形区域

(图8)

解析：如图8，A、B、C、D、E、F为各边三等分点，集合S表示的平面区域为六边形ABCDEF，

其中，P,3 ，即点P可以是点A． 0AP2APAii12、和差运算的几何解读：三角形法则和平行四边形法则。

(1) 平行四边形法则：以两个已知向量为邻边作平行四边形，和向量是以这两个向量的公共起点为起点的对角线所对应的向量，另一对角线对应的向量为差向量（减向量指向被减向量）．（如图9 A） (2) 向量加法的三角形法则：第二个向量的起点是第一个向量的终点，和向量是以第一个向量的起点为起点，第二个向量的终点为终点的向量．（如图9 B）

向量减法的三角形法则：共起点的两向量终点连线对应的向量（减向量指向被减向量）．（如图9 C）

 a A O C C

 b b b

E (图9

B

(图9B)

例7．已知ABC和点M满足MAMBMC0，存在实数m使得ABACmAM成立，

A a

B

A a

(图9C)

B

则m=( )

A．2 B．3 C．4 D．5

解析：设D为BC的中点，由平行四边形法则可知，ABAC2AD.由MAMBMC0，

得点M为ABC的重心，AM2AD，所以m=3． 312AB,BEBC,若233、实数与向量的积的几何解读：向量共线定理，三点共线的向量表示。 例8．（2013年江苏）设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点,ADDE1AB2AC (1，2为实数),则12的值为__________．

解析：DEDBBE故12121212ABBCAB(ACAB)ABAC, 2323631． 24、数量积运算的解读：

数量积运算是向量试题考查的核心知识，有四种不同的运算方法。从数的角度看，它有定义式和坐标式，从形的角度看，它有几何意义式和极化恒等式。

A ①定义式：ab|a||b|cos，适用于向量的模和夹角问题。 例9．如图10，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，点D是边BC上一点，DC=2BD，则ADBC ． 解

析

：

B D （图10）

C 1ADBC(ABBD)(ACAB)(ABBC)(ACAB)

322212118 (ABAC)(ACAB)ABACABAC=．

333333②坐标式：abx1x2y1y2，适用于向量的坐标运算。

例10．已知a(2,1)，b(1,k)，a(2ab)0，则实数k= ． 解析：a(2ab)(2,1)(5,2k)12k0，故k=12．

③几何意义式：ab等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos的乘积。

CBD=（ ）例11．如图2，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC．若|AB|=a，|AD|=b，则A

A．ba B．ab C．ab D．ab

222222D 解析：ACBDAC(ADAB)ACADACAB

=ADABb2a2． ④极化恒等式：ab22C

A 1[(ab)2(ab)2]。从数的视角，将4（图2）

B 数量积运算转化为向量和与向量差的平方差运算，从形的视角，将数量积运算与平行四边形法则和三角形法则联系起来，适用于求最值问题。（如例4、例5） 例12．（浙师大附中2013年期中考试高三数学）已知曲线C1:y24x和C2:(x3)2y21，

若P是C1上的一个动点，MN是C2的直径，则PMPN的最小值是 .

四、命题趋势与复习建议

1、2014年命题趋势：2014年向量问题会延续近几年浙江省的命题风格，出现1至2个小题，其中数量积的运算和向量线性运算是重点。对向量的考查每年都给高考命题注入新的活力，命题创新点仍会在数量及运算的几何意义求值和极化恒等式求范围或最值。 2、复习建议：

（1）理解向量概念的本质，回归数学基本思想方法。向量是从物理模型中抽象出来的形数合一的数学概念，在复习中要从形和数两方面来揭示向量相关的几何意义和数量特征，回归到概念和运算形成的起点；

（2）掌握向量问题的基本处理方法，熟练向量问题的三种计算方法：向量法、几何法和坐标法； （3）设计题组进行专项、小单元复习，通过变式，一题多变，难度拾阶而上，培养学生将知识和方法迁移到不同情境解决问题的能力。如： 题组一：利用数量积公式运算

例题．已知a和b的夹角为135°，|a|2,|b|3,则ab ． 变式1：已知a(2,1)，b(1,k)，a(2ab)0，则实数k= ．

变式2：已知向量a，b满足|a|1,|b|2,a(ab)2，则向量a，b的夹角为 ．

|x|π

变式3：设e1,e2为单位向量，非零向量bxe1ye2，x，yR．若e1,e2的夹角为，则的

6

|b|最大值等于 ．

题组二：利用向量线性运算和数量积几何意义求解 例题．如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1， 点D是边BC上一点，DC=2BD,则ADBC ． 变式1：在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，

B

A D （题组二） D C 则ABAC=________．

变式2：如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC．若|AB|=2，

C

A B |AD|=3,则ACBD= ________．

变式3：如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为AD的中点， F为正方形ABCD内部或边界上一点，则ADEF的最大值为 ． 变式4：A，B是边长为1的正八边形相邻两顶点，M，N是 该正八边形边或其内部的点，则ABMN的最大值为 ．

(变式2)

D E C F A B 变式5：如图,已知圆M:(x3)2(y3)24,四边形ABCD为

圆M的内接正方形,E为边AB的中点,当正方形ABCD绕圆心M转动,同时

(变式3)

yCD点F在边AD上运动时,MEOF的最大值是__________． 题组三：向量与三角形的“四心”（内心、外心、重心、垂心） 例题． 若P为ABC的平面上任意一点，若PG=

FAOMBEx1（PA+PB+PC），则3(变式5) G为ABC的 ．特别地，若GA+GB+GC=0时，G为ABC的 ． 变式1：若|PA|= |PB|= |PC|，P为ABC的 ．

变式2：若PA·PB=PB·PA，则P为ABC的 ． PC=PC·变式3：若OPOA(ABAC),[0,),则点P的轨迹必过ABC的 ．

AB|AB|AC|AC|AB|AB|cosABC),[0,),则点P的轨迹必过ABC的 ．

AC|AC|cosBCA变式4：若OPOA(变式5：若OPOA(),[0,),则点P的轨迹必过

ABC的 ．

变式6：若OPABACOBOC),[0,),则点P的轨迹(2|AB|cosABC|AC|cosBCA必过ABC的 ．