抛物线_习题

抛物线

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．如果抛物线y 2=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为

A．（1, 0）

B．（2, 0）

C．（3, 0）

D．（－1, 0）

（ ）

2．圆心在抛物线y 2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 （ ）

A．x2+ y 2-x-2 y -

1=0 4B．x2+ y 2+x-2 y +1=0 D．x2+ y 2-x-2 y +

C．x2+ y 2-x-2 y +1=0

21=0 4（ ）

3．抛物线yx上一点到直线2xy40的距离最短的点的坐标是

A．（1，1）

B．（

11,） 24C．(,)

3924D．（2，4）

4．一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m时，水面宽4m，若水面下降1m，则水面宽为（ ）

A．6m

B． 26m

C．4.5m

D．9m

（ ）

5．平面内过点A（-2，0），且与直线x=2相切的动圆圆心的轨迹方程是

A． y 2=－2x

B． y 2=－4x

C．y 2=－8x

D．y 2=－16x

6．抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点（-5，m）到焦点距离是6，则抛物线的方程是

A． y 2=-2x C． y 2=2x

B． y 2=-4x

（ ）

D． y 2=-4x或y 2=-36x

7．过抛物线y 2=4x的焦点作直线，交抛物线于A(x1, y 1) ，B(x2, y 2)两点，如果x1+ x2=6，那么|AB|= A．8

B．10

C．6

D．4

（ ）

8．把与抛物线y 2=4x关于原点对称的曲线按向量a(2,3)平移，所得的曲线的方程是（ ）

A．(y3)4(x2) C．(y3)4(x2)

22B．(y3)4(x2) D． (y3)4(x2)

（ ）

229．过点M（2，4）作与抛物线y 2=8x只有一个公共点的直线l有

A．0条 B．1条 C．2条 D．3条

10．过抛物线y =ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于

（ ）

11

pq

A．2a B．

1 2aC．4a D．

4 a二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）

11．抛物线y 2=4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为43，则焦点到AB的距离为 ． 12．抛物线y =2x2的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是 ．

13．P是抛物线y 2=4x上一动点，以P为圆心，作与抛物线准线相切的圆，则这个圆一定经过一个定点Q，点Q的坐标是 ．

x2y21的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为 14．抛物线的焦点为椭圆94 ．

三、解答题（本大题共6小题，共76分）

15．已知动圆M与直线y =2相切，且与定圆C：x(y3)1外切，求动圆圆心M的轨迹方程．(12

分)

16．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（－3，m）到焦点的距离等于5，求抛物

线的方程和m的值．（12分）

22

17．动直线y =a，与抛物线y程．(12分)

21x相交于A点，动点B的坐标是(0,3a)，求线段AB中点M的轨迹的方2

18．河上有抛物线型拱桥，当水面距拱桥顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露

出水面上的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？(12分)

19．如图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1．以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到

点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=曲线段C的方程．(14分)

，|AN|=3，且|BN|=6．建立适当的坐标系，求

20．已知抛物线y2px(p0)．过动点M（a，0）且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，|AB|2p．

（Ⅰ）求a的取值范围；

（Ⅱ）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求RtNAB面积的最大值．(14分)

2

参

题号 答案 1 A 2 D 3 A 4 B 5 C 6 B 7 A 8 C 9 C 10 C 一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 二．填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 11．2 12．xk 13．（1，0） 14．y245x 4三、解答题（本大题共6题，共76分）

15．（12分）[解析]：设动圆圆心为M（x，y），半径为r，则由题意可得M到C（0，-3）的距离与到直线

y=3的距离相等，由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C（0，-3）为焦点，以y=3为准线的一

条抛物线，其方程为x12y．

16． (12分)[解析]：设抛物线方程为x2py(p0)，则焦点F（m26pm26m26 ，解之得或， 2p2p4p4m(3)522 故所求的抛物线方程为x8y，m的值为26

22p，由题意可得 ,0）2xa217．（12分）[解析]：设M的坐标为（x，y），A（2a，a），又B(0,3a)得 

y2a2y22 消去a，得轨迹方程为x，即y4x

418．（12分）[解析]：如图建立直角坐标系，

设桥拱抛物线方程为x2py(p0)，由题意可知， B（4，-5）在抛物线上，所以p1.6，得x3.2y，

22yOA'AxB 当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA’，则A（2,yA），由23.2yA得

25yA，又知船面露出水面上部分高为0．75米，所以hyA0.75=2米

419．(14分) [解析]：如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点．由题意

可知：曲线C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为C的端点．

设曲线段C的方程为y2px(p0),(xAxxB,y0)， 其中xA,xB分别为A、B的横坐标，pMN． 所以，M(2pp,0),N(,0)． 由AM17，AN3得 22

p(xA)22pxA17 ①

2p(xA)22pxA9 ②

2p4p24联立①②解得xA．将其代入①式并由p>0解得，或．

x1x2pAA因为△AMN为锐角三角形，所以

p2p． ∴p=4，xA1． xA，故舍去2xA2

由点B在曲线段C上，得xBBNp4．综上得曲线段C的方程为y28x(1x4,y0)．

220．(14分) [解析]：（Ⅰ）直线l的方程为yxa，将yxa代入y2px，

得 x22(ap)xa20． 设直线l与抛物线两个不同交点的坐标为A(x1,y1)、B(x2,y2)，

24(ap)24a20,则 x1x22(ap), 又y1x1a,y2x2a，

2x1x2a.∴|AB|(x1x2)2(y1y2)2 2[(x1x2)24x1x2]8p(p2a)．

∵

0|AB|2p,8p(p2a)0， ∴ 08p(p2a)2p． 解得 ppa． 24

（Ⅱ）设AB的垂直平分线交AB于点Q，令坐标为(x3,y3)，则由中点坐标公式，得

x3yy2(x1a)(x2a)x1x2p． ap， y31222

∴ |QM|2(apa)2(p0)22p2． 又 MNQ为等腰直角三角形， ∴ |QN||QM|12p， ∴SNAB|AB||QN|2p|AB| 2p2p 2p2

222即NAB面积最大值为2p2