云南省2017届高三第二次复习统一检测文科数学试卷及答案解析

2017年云南省第二次高中毕业生复习统一检测

文科数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合A. B. 【答案】B 【解析】

C.

，则

D.

（ ）

，那么

2.已知复数

，故选B.

，则的虚部为（ ）

A. B.

【答案】D 【解析】

C. D.

，虚部是，故选D.

3.已知向量

，且，则

的值为（ ）

A. B. C.

【答案】D 【解析】

D.

，即

4.命题“

，解得， ，那么，故选D.

”的否定是（ ）

A. C.

【答案】C 【解析】

B. D.

全称命题的否定“

5.已知等差数列

中，

”，故选C.

，则

的前项和的最大值是（ ）

A. B. C. D.

【答案】C 【解析】

，所以通项公式

即

，即前项和最大，

，当，故选C.

（ ）

，解得

6.若执行如图所示的程序框图，则输出的结果

A. B. C. D.

【答案】C 【解析】

进入循环，， ，此时否，第二次进入循环，

，

是，输出

， ，

否，第三次进入循环，

7.

，故选C.

，则

表示生成一个在内的随机数（实数），若

的概率为（ ）

A. B.

【答案】A 【解析】

C. D.

此概率表示几何概型，如图，表示阴影的面积与第一象限正方形面积的比值，选A.

，故

8.已知点是抛物线

A. B. C. D. 【答案】D 【解析】

上一点，为的焦点，的中点坐标是，则的值为（ ）

，那么 在抛物线上，即 ，即 ，解得 ，故选D.

9.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的

体积为（ ）

A.

【答案】B 【解析】

B. C. D.

几何体分上下两部分，下部分是圆锥，底面半径是2，高是4，上部分是正四棱锥，正四棱锥的底面是边长为2的正方形，高是2，所以体积B.

10.已知函数

，故选

，则（ ）

A. B. C. D.

【答案】D 【解析】

，

所以

11.已知函数

，

，故选D.

，将其图像向右平移

个单位后得到的函数为奇函数，则的最

小值为（ ）

A. B. C. D.

【答案】B 【解析】

向右平移

，当

个单位后，得到函数

时，

，故选B.

，当时，，即

【点睛】本题考查了三角函数的图象变换和三角函数的性质，总体难度不大，三角函数图象变换分先伸缩后平移，和先平移后伸缩，若数解析式是

，若

向右平移

个单位，得到的函

的横坐标缩短到原来的倍，得到的函数解析式是

，一定准确掌握两种变换规律.

12.设

若，则的最小值是（ ）

A. B. C. D.

【答案】A 【解析】

如图，画出三个函数的图象，根据条件联立

，解得

（舍）或

的图象是红色表示的曲线，点是函数的最低点，，此时

，故选A.

【点睛】本题考查学生的作图能力和综合能力，此类问题的基本解法是数形结合法，即通过画出函数

的图象，观察交点情况，得出结论.表面看觉得很难，但是如果认真审题，读懂题意，其解题的关键是正确地画出分段函数的图像找到函数的最低点，就是函数的最小值..

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.设【答案】【解析】

满足约束条件

则的最小值是__________．

如图，画出可行域，， 当目标函数过点时，函数取得最小值 .

14.设数列的前项和为，若成等差数列，且，则

__________．

【答案】【解析】

，即

从第二项起是公比为-2的等比数列，

15.已知抛物线

，

.

相交于

，所以数列

的准线与双曲线两点，双曲线的一条渐近线

方程是

【答案】【解析】

，点是抛物线的焦点，且

是正三角形，则双曲线的标准方程是__________．

准线方程线间的距离是

，与双曲线相交，得到交点坐标，设，又因为

是等边三角形，所以

，那么

，所以

，即

，焦点和准

，那

么，解得， ，所以双曲线的标准方程是.

【点睛】本题考查抛物线、双曲线的标准方程及其几何性质.本题中由渐近线方程，确定 的关系，

再由等边三角形的性质 ，确定交点坐标，从而得到又一组

的关系，.

本题属于小综合题，也是一道能力题，在较全面考查抛物线、双曲线等基础知识的同时，考查考生的计算能力及分析问题解决问题的能力. 16.已知正四面体

的四个顶点都在球心为的球面上，点为棱的中点，，过点作

球的截面，则截面面积的最小值为__________．

【答案】【解析】

连结,截面与垂直时，截面面积最小，因为截面圆的半径

，

，最小，即最大，

表示球心到截面的距离，而球心到截面距离的最大值就是

，，，那么

，所以

,

，，

所以 ，所以截面圆的面积的最小值是.

【点睛】本题以球为背景考查空间几何体的体积和表面积计算，要明确球的截面性质：平面截球得到

圆，正确理解球心距公式，得到截面的最大时的情形，较全面的考查考生的视图用图能力、空间想象能力、数学基本计算能力等，立体几何是的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值来求解．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.在

中，为边上一点，，，.

（1）若（2）设

【答案】（1）

，求

，若;（2）

外接圆半径的值；

，求.

的面积.

【解析】

试题分析：（1）的半径；（2）因为

，在

积公式表示为

内，根据余弦定理求

，

，再根据正弦定理，求三角形外接圆，先求

，再设

，那么根据已知条件可知

内根据余弦定理求 ，再根据正弦定理求

.

，

,最后根据三角形面

（1）由余弦定理，得试题解析：解得

.

. ，

由正弦定理得，（2）设

，则

∵∴∵∴即∴∵∴

18.某校

，∴.

.

，∴. ，

，解得

.

. ，∴

.

.

届高三文（1）班在一次数学测验中，全班名学生的数学成绩的频率分布直方图如

的学生数有人.

下，已知分数在

（1）求总人数和分数在的人数；

（2）利用频率分布直方图，估算该班学生数学成绩的众数和中位数各是多少？ （3）现在从比分数在的概率.

【答案】（1）;（2）【解析】

名学生（男女生比例为）中任选人，求其中至多含有名男生

，;（3）.

试题分析：（1）根据频率分布图求分数在数，再计算分数在

的频率0.35，根据公式总人数频率=频

的频率，再根据总人数求分数在的人数；（2）众数是最高；（3）首先计算分数在

的小矩形的底边的中点值，中位数是中位数两边的面积分别是

115~120的学生有6人，其中男生2人，女生4人，给这6人编号，列举所有任选2人的基本事件的个数，以及其中至多有1名男生的基本事件的个数，并求其概率.

（1）分数在试题解析：所以该班总人数为分数在

内的学生的频率为.

，

内的学生的频率为：

，

分数在内的人数为.

（2）由频率直方图可知众数是最高的小矩形底边中点的横坐标，

即为

设中位数为，∵

.

，∴

，

.

名，其中男生有名.

.

∴众数和中位数分别是（3）由题意分数在设女生为

内有学生

，男生为，从名学生中选出名的基本事件为：

共种，其中至多有名男生的基本事件共种， ∴所求的概率为

19.已知三棱锥

. 中，

，

，

，是

中点，是

中点.

（1）证明：平面（2）求点到平面

平面的距离.

；

【答案】（1）见解析;（2）【解析】

.

试题分析：（1）连结，根据勾股定理可证明，以及根据等腰三角形证明

，

所有证明了点到平面

平面的距离.

，也即证明了面面垂直；（2）根据等体积转化，求

（1）证明：连结试题解析：，在中，，是中点，

∴又∵∵∴又∴

，

，，∴

.

，平面

是中点，

平面平面

，∴，∵

平面

平面

，

平面，∴平面

. .

，∴

平面

，

， 平面

.

，∴，

，

.

（2）∵∵是又平面∵

的中位线，∴

，∴

，两平面的交线为

.

设点到平面∴

的距离为，则

，

，

.

【点睛】本题考查了立体几何中垂直的证明，以及等体积转化法求点到面的距离，垂直关系的证明是线

面关系的重点也是难点，一般证明线线垂直，转化为证明线面垂直，或是转化为相交直线后，可根据三边证明满足勾股定理；若要证明线面垂直，可根据判断定理证明，即线与平面内的两条相交直线垂直，则线与面垂直；若要证明面面垂直，则根据判断定理，转化为证明线面垂直，总之，在证明垂直关系时，

“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在. 20.已知点

是椭圆的左、右顶点，为左焦点，点是椭圆上异于

于点.

的任

意一点，直线与过点且垂直于轴的直线交于点，直线

与直线

的斜率之积为定值；

，求实数的值.

.

（1）求证：直线（2）若直线

过焦点，

【答案】（1）见解析;（2）【解析】

试题分析：（1）设的斜率分别是的斜率，根据值.

，利用点在椭圆上的条件，化简 ，并且表示直线三点共线，表示

，得到定值；（2）设直线

，表示直线

，以及求出交点的坐标，根据

，得到的齐次方程，求的值，并且代入求的

（1）证明：设试题解析：∴

.①

，由已知，

∵点在椭圆上，∴.②

由①②得（定值）.

∴直线与直线

与

的斜率之积为定值斜率分别为

， .

. ，故

，

.

，

（2）设直线直线直线∵

，由已知

的方程为，则，∴

由（1）知又

，

三点共线，得

即∵

，得，∴，解得

或

.

，

（舍去）.

∴由已知将

.

，得

代入，得

，故，

时，求

的单调区间；

，都有

，

成立，求的最大值. ，单调递减区间为

;（2）.

， .

.

21.已知函数

（1）当（2）当

时，若对任意

【答案】（1）【解析】

的单调递增区间为

试题分析：（1）当时，代入函数，求

成立，整理为

， ，设

是函数的增区间，

，利用导数求

是函数的减区间；（2）当

函数的最小值，求整数的最大值.

（1）解：由题意可知函数试题解析：当

时，

，

.

①当②当综上，（2）由整理得∵令

，∴

，则或时，

时，，

，

单调递增. 的定义域为

.

单调递减.

，

，单调递减区间为

，

.

的单调递增区间为

，得

， .

.

令∴∴∴当∴当∴∴要使又

在在

时，在

，∵上递增，

，∴.

，

.

. ，

存在唯一的零点

，得

上递减； 时，

，

上递增.

，

对任意，且

恒成立，只需

.

，∴的最大值为.

【点睛】本题考点为导数的应用，本题属于中等问题，分两步，第一步，利用导数求函数的单调区间，

是一道比较常规的问题，第二步参变分离后，利用导数研究函数单调性，进而求最值，利用最值求参数取值范围，这一步涉及求二次导数，根据二次导数的恒成立，确定一次导数单调的，再根据零点存在性定理，得到函数的极值点的范围，思维巧妙，有选拔优秀学生的功能.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴正半轴为

.直线交曲线于

两点.

极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为

（1）写出直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程； （2）设点的直角坐标为

【答案】（1）【解析】

，求点到,

两点的距离之积.

;（2）.

试题分析：（1）先写出直线的普通方程，再根据极坐标和直角坐标的转化公式转化为极坐标方程；曲线两边同时乘以，转化为直角坐标方程；（2）直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得到

，而

求解.

（为参数）得的普通方程为

.

.

（1）由直线的参数方程为试题解析：

∴直线的极坐标方程为

曲线的直角坐标方程为（2）∵直线：

. 经过点

，

∴直线的参数方程为（为参数）.

将直线的参数方程为代入，化简得

，∴

23.选修4-5：不等式选讲

.

已知函数（1）求证：

.

的最小值等于；

，求实数的取值范围.

.

（2）若对任意实数和，

【答案】（1）见解析;（2）【解析】

试题分析：（1）根据含绝对值三角不等式将不等式整理为解.

（1）证明：∵试题解析：当且仅当∴

的最小值等于.

即.

时，

可转化为

时“=”成立，即当且仅当

时，

.

，证明结论；（2）

的最小值，利用含绝对值三角不等式求

，转化为求

，∴.

（2）解：当即当∵当且仅当∴

成立，∴时，

，

，

时“=”成立，即当且仅当

，且当

时，

，

时“=”成立，

∴∵∴

的最小值等于，

，即

. ，∴

. 时，.

.

，

由（1）知

由（1）知当且仅当综上所述，的取值范围是