2012年高考新课标理科数学试卷及答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试

理 科 数 学

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1、已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x-y∈A}，则B中所含元素的个数为

（A）3 （B）6 （C）8 （D）10

2、将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组有1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有

（A）12种 （B）10种 （C）9种 （D）8种 3、下面是关于复数z=

21i的四个命题

P1：z=2 P2: z2=2i P3:z的共轭复数为1+i P4 ：z的虚部为-1 其中真命题为

（A）. P2 ,P3 （B） P1 ,P2 （C）P2,P4 （D）P3,P4 4、设F1，F2是椭圆E:

xa22+

yb22=1 (a＞b＞0)的左、右焦点 ，P为直线x2a3上

的一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为

（A）

12 （B）

23 （C）

34 （D）

45

5、已知{an}为等比数列，a4a12，a5a68，则a1a10

（A）7 （B）5 （C）-5 （D）-7 6、如果执行右边的程序图，输入正整数N(N2)和

实数a1,a2,an，输入A，B，则 （A）A+B为的a1,a2,an和 （B）

AB2为a1,a2,an的算式平均数

第1页，共11页

（C）A和B分别是a1,a2,an中最大的数和最小的数

（D）A和B分别是a1,a2,an中最小的数和最大的数

7、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为

（A）6 （B）9 （C）12 （D）18

8、等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y216x的准线交于A，B两点，AB43，则C的实轴长为

（A）2 （B） 22 （C） 4 （D）8

9、已知w＞0，函数f(x)sin(x151324244)在(2,)单调递减，则的取值范围是

1（A）[,] （B）[,] （C）(0,] （D）(0,2]

2

第2页，共11页

10、已知函数f(x)

（A ）（B）1ln(x1)x，则yf(x)的图像大致为

yy1O1x1O1x

（C）yy1O1x1O1x

（D）11、已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为

（A）

26 （B）

12ex36 （C）23 （D）

22

12、设点P在曲线y上，点Q在曲线yln(2x)上，则|PQ|的最小值为

（A）1ln2 （B）2(1ln2) （C）1ln2 （D）2(1ln2)

第Ⅱ卷

第3页，共11页

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题~第24题为选考题，考试依据要求作答。

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13、已知向量a，b夹角为45°，且a1，2ab10，则b=____________.

xy1xy314、设x，y满足约束条件则zx2y的取值范围为__________.

x0y015、某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作。设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000,502），且各个元件能否正常工作互相，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为_________________.

16、数列an满足an1(1)nan2n1，则an的前60项和为________。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17、（本小题满分12分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，acosC3asinCbc0。

第4页，共11页

元件1 元件3 元件2

（Ⅰ）求A；

（Ⅱ）若a2，△ABC的面积为3，求b，c。

18、（本小题满分12分）

某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售。如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。

（Ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，nN）的函数解析式。

（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。

（ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，x表示当天的利润（单位：元），求x的分布列、数学期望及方差；

（ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由。 19、（本小题满分12分） 如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBCDC1BD。

A112AA1，D是棱AA1的中点，

C1B1（1） 证明：DC1BC；

（2） 求二面角1A1BDC的大小。 20、（本小题满分12分）

DCBA设抛物线C：x22py(p0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点。

（1） 若∠BFD=90°，△ABD的面积为42，求p的值及圆F的方程；

第5页，共11页

（2） 若A,B,F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C之有一个公共

点，求坐标原点到m，n距离的比值。

21、（本小题满分12分）

已知函数f(x)满足f(x)f'(1)ex1f(0)x（1） 求f(x)的解析式及单调区间； （2） 若f(x)12xaxb，求(a1)b212x2

的最大值。

请考生在第22、23、24题中任选一道作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请写清题号。 22、（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲

如图，D，E分别为△ＡＢＣ边ＡＢ，ＡＣ的中点，直线ＤＥ交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：

（Ⅰ）CD=BC；

第6页，共11页

AGDEF

（Ⅱ）△BCD∽△GBD。 23、（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程 已知曲线C1的参数方程式x2cosy3sin（为参数），以坐标原点为极点，x轴的

正半轴为极轴建立坐标系，曲线Ｃ２的极坐标方程式2。正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点Ａ的极坐标为(2,)。

2（Ⅰ）求点A，B，C，D的直角坐标；

（Ⅱ）设P为C1上任意一点，求PAPBPCPD的取值范围。 24、（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲 已知函数f(x)xax2

（Ⅰ）当a3时，求不等式x3的解集；

（2）若fxx4的解集包含[1,2]，求a的取值范围。

2222答案

一、选择：

1 D

2 A 3 C 第7页，共11页

4 C 5 D 6 C

7 B 二、填空：

8 C 29 A 10 B 11 A 12 B 13、38 14.、[-3,3]

15、3 16、1830

三、解答： 17、（1）由正弦定理得：

acosC3asinCbc0sinAcosC3sinAsinCsinBsinC

sinAcoCscoAs3sAin160CsinsAin(asinC(130)2)Csin 3sinA

A3030A （2）S12bcsinA3bc4

a2b2c22bcosAbc2

b 4c18、（1）当n16时，y16(105)80

当n15时，y5n5(16n)10n80

10n80(n15)y(nN) 得：(n16)80 （2）（i）X可取60，70，80

P(X60)0.1,P(X70)0.2,P(X80)0.7 X的分布列为

X P 60 0.1 70 0.2 80 0.7 EX600.1700.2800.776 DX160.160.240.744

第8页，共11页

222

（ii）购进17枝时，当天的利润为

y(14535)0.1(15525)0.2(16515)0.161750.76.4

76.476 得：应购进17枝

19、（1）在RtDAC中，AD 得：ADC45

AC

同理：A1DC145CDC190

得：DC1DC,DC1BDDC1面BCDDC1BC （2）DC1BC,CC1BCBC面ACC1A1BCAC

取A1B1的中点O，过点O作OHBD于点H，连接C1O,C1H

 A1C1B1C1C1O1ABA1B1C1面A1BDC1O面A1BD ，面1BD 得：点H与点D重合

OHBDCH 且C1DO是二面角A1BDC1的平面角

2a2 设ACa，则C1O，C1D2a2C1OC1DO30

 既二面角A1BDC1的大小为30

20、（1）由对称性知：BFD是等腰直角，斜边BD2p

点A到准线l的距离dFAFB2p SABD4212BDd42p2

圆F的方程为x2(y1)28 （2）由对称性设A(x0,x022p)(x00)，则F(0,2p2)

点A,B关于点F对称得：B(x0,px02p)px022pp2x03p

22第9页，共11页

3pp3y3p20

得：A(3p,3p2)，直线m:y22xpx23p3333 x2pyy2x22pyxpxp切点P(3p3,p6)

直线n:yp633(x3p3)x3y36p0

坐标原点到m,n距离的比值为

3p212:3p63。

21、（1）f(x)x1f(1)ef(0)x2x1xf(x)f(1)ef(0)x

令x1得：f(0)1

x1 f(x)f(1)ex1221xf(0)f(1)e1f(1)e

得：f(x)ex

x122xxg(x)f(x)e1x

g(x)ex10yg(x)在xR上单调递增 f(x)0f(0)x0,f(x)0f(0)x0 得：f(x)的解析式为f(x)exx12x

2 且单调递增区间为(0,)，单调递减区间为(,0) （2）f(x)12xaxbh(x)e(a1)xb0得h(x)e(a1)

2xx ①当a10时，h(x)0yh(x)在xR上单调递增 x时，h(x)与h(x)0矛盾

②当a10时，h(x)0xln(a1),h(x)0xln(a1) 得：当xln(a1)时，h(x)min(a1)(a1)ln(a1)b0 (a1)b(a1)(a1)ln(a1)(a10) 令F(x)xxlnx(x0)；则F(x)x(12lnx)

第10页，共11页

2222

F(x)00x 当x 当ae,F(x)0xe

e时，F(x)maxe1,be2

e2e时，(a1)b的最大值为

22、（1）CF//AB，DF//BCCF//BD//ADCDBF

CF//ABAFBCBCCD （2）BC//GFBGFCBD

BC//GFGDEBGDDBCBDCBCDGBD

541124、（1）点A,B,C,D的极坐标为(2,),(2,),(2,),(2,)

3636 点A,B,C,D的直角坐标为(1,3),(3,1),(1,3),(3,1) x02cos(为参数) （2）设P(x0,y0)；则y03sin tPAPBPC 5620s2in222PD4x4y40

222[56 ,76]23、（1）当a3时，f(x)3x3x23

x22x3x3 或或3x2x33xx23x3x23

x1或x4

（2）原命题f(x)x4在[1,2]上恒成立

xa2x4x在[1,2]上恒成立

2xa2x在[1,2]上恒成立 3a0

第11页，共11页