2011年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学试题 (理科)(解析版)

2011年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）

数 学（供理科考生使用）

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

ai2，则a（ ） 1．a为正实数，i为虚数单位，i A．2 B．3 C．2 D．1

2．已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若NðIM，则MN（ ） A．M B．N C．I D．

3．已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，AFBF=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（ ） A．

4．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=2a，则 A．23 B．22 C．3 D．2

5．从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件A=“取到的2个数之和 为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P（B︱A）=（ ） A．

357 B．1 C． D． 444b （ ）

a1121 B． C． D． 8452

6．执行右面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的P是（ ） A．8 B．5 C．3 D．2

1+）=，则sin2（ ） 437117 A． B． C． D．

9999（7．设sin

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8．如图，四棱锥S—ABCD的底面为正方形，SD底面ABCD， 则下列结论中不正确的是（ ） ．．．

A．AC⊥SB B．AB∥平面SCD C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角

21x,x19．设函数f(x)，则满足f(x)2的x的取值范围是（ ）

1log2x,x1 A．[1，2] B．[0，2] C．[1，+] D．[0，+]

10．若a，b，c均为单位向量，且ab0，(ac)(bc)0，则|abc|的最大值为（ ） A．21 B．1 C．2 D．2

11．函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对任意xR，f(x)2，则f(x)2x4的解集为（ ） A．（1，1） B．（1，+） C．（，1） D．（，+）

12．已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=3，ASCBSC30，则棱锥S—ABC的体积为（ ）

A．33 B．23 C．3 D．1

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

x2y213．已知点（2，3）在双曲线C：221(a0,b0)上，C的焦距为4，则它的离心率

ab为 ．

13．2

14．调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：ˆ0.2x0.321．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加y____________万元．

14．0.2

15．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，它的三视图中的俯 视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是 ．

15．23

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16．已知函数f(x)=Atan（x+）（0,||的部分图像如下图，则f(2），y=f(x)

24) ．

16．3

三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=-10 （I）求数列{an}的通项公式；

a （II）求数列nn的前n项和． 12

17．解：（I）设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得解得a1d0,

2a112d10,a11,

d1.故数列{an}的通项公式为an2n. ………………5分

anana2}的前n项和为SSa,故S11， ，即nn122n12n1Sna1a2an. 2242n所以，当n1时，

Snaaaaa1a12nn1n1n2222n1112n 1(n1n)242212n1(1n1)n22n =n.

2n所以Snn1.

2an}的前n项和S. ………………12分 综上，数列{nnn1n122 （II）设数列{

18．（本小题满分12分）

如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB= （I）证明：平面PQC⊥平面DCQ； （II）求二面角Q—BP—C的余弦值．

1P D． 2

18．解：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直

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角坐标系D—xyz.

（I）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）. 则DQ(1,1,0),DC(0,0,1),PQ(1,1,0).

所以PQDQ0,PQDC0. 即PQ⊥DQ，PQ⊥DC. 故PQ⊥平面DCQ.

又PQ平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ. …………6分 （II）依题意有B（1，0，1），CB,0),1((12B,P.)1

nCB0,x0,设n(x,y,z)是平面PBC的法向量，则 即x2yz0.nBP0,因此可取n(0,1,2).

mBP0,设m是平面PBQ的法向量，则

mPQ0.可取m(1,1,1).所以cosm,n故二面角Q—BP—C的余弦值为15. 515. ………………12分 5 19．（本小题满分12分）

某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．

（I）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望；

（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表： 397 390 404 388 400 412 406 品种甲 403 403 412 418 408 423 400 413 品种乙 419 分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？

1附：样本数据x1,x2,,xn的的样本方差s2[(x1x)2(x2x)2(xnx)2]，其中x为样本

n平均数．

19．解： （I）X可能的取值为0，1，2，3，4，且

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P(X0)11,4C87013C4C48P(X1),435C822C4C418P(X2), 435C831C4C48P(X3),435C8P(X4)11.C8470即X的分布列为

………………4分 X的数学期望为

E(X)018188112342. ………………6分 7035353570 （II）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：

1x甲(403397390404388400412406)400,8

1S甲(32(3)2(10)242(12)20212262)57.25.8 ………………8分 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：

1x乙(419403412418408423400413)412,8

12S乙(72(9)20262(4)2112(12)212)56.8 ………………10分

由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙. 20．（本小题满分12分）

如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D． （I）设e1，求BC与AD的比值； 2 （II）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．

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20．解：（I）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设

x2y2b2y2x2C1:221,C2:421,(ab0)

abaa设直线l:xt(|t|a)，分别与C1，C2的方程联立，求得

a22b22A(t,at),B(t,at). ………………4分

ba13当e时,ba,分别用yA,yB表示A，B的纵坐标，可知

222|yB|b23|BC|:|AD|2. ………………6分

2|yA|a4 （II）t=0时的l不符合题意.t0时，BO//AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，

即

b22a22atatab,

ttaab21e22a. 解得t22abe1e22因为|t|a,又0e1,所以21,解得e1.

2e2所以当0e时，不存在直线l，使得BO//AN；

22当e1时，存在直线l使得BO//AN. ………………12分

2 21．（本小题满分12分）已知函数f(x)lnxax2(2a)x． （I）讨论f(x)的单调性； （II）设a0，证明：当0x111时，f(x)f(x)； aaa （III）若函数yf(x)的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f（x0）＜0．

21．解：（I）f(x)的定义域为(0,), f(x)1(2x1)(ax1)2ax(2a). xx （i）若a0,则f(x)0,所以f(x)在(0,)单调增加. （ii）若a0,则由f(x)0得x且当x(0,)时,f(x)0,当x1, a1a1时,f(x)0. a所以f(x)在(0,)单调增加，在(,)单调减少. ………………4分 （II）设函数g(x)f(1a1a11x)f(x),则 aa北大附中广州实验学校 王 生 E-mail: wangsheng@bdfzgz.net 第6页 （共8页）

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g(x)ln(1ax)ln(1ax)2ax,aa2a3x2

g(x)2a.221ax1ax1ax1当0x时,g(x)0,而g(0)0,所以g(x)0.

a111故当0x时，f(x)f(x). ………………8分

aaa

（III）由（I）可得，当a0时,函数yf(x)的图像与x轴至多有一个交点， 故a0，从而f(x)的最大值为f(),且f()0. 不妨设A(x1,0),B(x2,0),0x1x2,则0x1由（II）得f(1a1a1x2. a211x1)f(x1)f(x1)0. aaaxx212. 从而x2x1,于是x01a2a由（I）知，f(x0)0. ………………12分

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答是用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED． （I）证明：CD//AB；

（II）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A，B，G，F 四点共圆．

22．解：

（I）因为EC=ED，所以∠EDC=∠ECD.

因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA. 故∠ECD=∠EBA，

所以CD//AB. …………5分

（II）由（I）知，AE=BE，因为EF=FG，故∠EFD=∠EGC 从而∠FED=∠GEC.

连结AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE=∠GBE， 又CD//AB，∠EDC=∠ECD，所以∠FAB=∠GBA. 所以∠AFG+∠GBA=180°.

故A，B，G，F四点共圆 …………10分 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系统与参数方程

xcos在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），曲线C2的参数方程为

ysin北大附中广州实验学校 王 生 E-mail: wangsheng@bdfzgz.net 第7页 （共8页）

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xacos（ab0，为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：ybsinθ=与C1，C2各有一个交点．当=0时，这两个交点间的距离为2，当=合．

（I）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值； （II）设当=

2时，这两个交点重

4时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当=4时，l与C1，C2的交点为

A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．

23．解：

（I）C1是圆，C2是椭圆.

当0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），因为这两点间的距离为2，所以a=3. 当所以b=1.

2时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b），因为这两点重合，

x2y21. （II）C1，C2的普通方程分别为xy1和92 当时，射线l与C1交点A1的横坐标为x，与C2交点B1的横坐标为

42310 x.

10当时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此，

422四边形A1A2B2B1为梯形. 故四边形A1A2B2B1的面积为

(2x2x)(xx)2. …………10分

25

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)=|x-2||x-5|． （I）证明：3≤f(x)≤3；

（II）求不等式f(x)≥x28x+15的解集． 24．解：

x2,3, （I）f(x)|x2||x5|2x7,2x5,

3,x5. 当2x5时,32x73.

所以3f(x)3. ………………5分

（II）由（I）可知，

当x2时,f(x)x8x15的解集为空集；

当2x5时,f(x)x28x15的解集为{x|53x5}； 当x5时,f(x)x8x15的解集为{x|5x6}.

综上，不等式f(x)x28x15的解集为{x|53x6}. …………10分

22北大附中广州实验学校 王 生 E-mail: wangsheng@bdfzgz.net 第8页 （共8页）