小学奥数几何(燕尾模型)

燕尾定理

例题精讲

燕尾定理：

在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O， 那么，

SABO:SACOBD:DC

AEOB

上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO和ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.

FDC

通过一道例题 证明燕尾定理：

如右图，D是BC上任意一点，请你说明：S1:S4S2:S3BD:DC

AS2ES3BS1S4DC

【解析】 三角形BED与三角形CED同高，分别以BD、DC为底，所以有S1:S4BD:DC；

三角形ABE与三角形EBD同高，S1:S2ED:EA；

三角形ACE与三角形CED同高，S4:S3ED:EA，所以S1:S4S2:S3；

综上可得， S1:S4S2:S3BD:DC.

.

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【例 1】 （2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC的面积是1，点D在BCE是AC的中点，

上，且BD:DC1:2，AD与BE交于点F．则四边形DFEC的面积等于 ．

AAAEBDFCB33EF312CD

EFBDC【解析】 方法一：连接CF，

SBD1S△ABFAE根据燕尾定理，△ABF，1,

S△ACFDC2S△CBFEC设S△BDF1份，则S△DCF2份，S△ABF3份，S△AEFS△EFC3份，如图所标

55所以SDCEFS△ABC

121211方法二：连接DE，由题目条件可得到S△ABDS△ABC，

33BFS△ABD11121， S△ADES△ADCS△ABC，所以

FES△ADE122331111111S△DEFS△DEBS△BECS△ABC，

223232122115而S△CDES△ABC．所以则四边形DFEC的面积等于．

32312

【巩固】如图，已知BDDC，EC2AE，三角形ABC的面积是30，求阴影部分面积.

AEFFAEFAE

BDCBDCBDC

【解析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步

判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，

(法一)连接CF，因为BDDC，EC2AE，三角形ABC的面积是30，

11所以S△ABES△ABC10，S△ABDS△ABC15．

32SSAE1BD根据燕尾定理，△ABF，△ABF1,

S△CBFEC2S△ACFCD

1所以S△ABFS△ABC7.5，S△BFD157.57.5，

4所以阴影部分面积是30107.512.5．

1 (法二)连接DE，由题目条件可得到S△ABES△ABC10，

3AFS△ABE1112， S△BDES△BECS△ABC10，所以

FDS△BDE1223111111 S△DEFS△DEAS△ADCS△ABC2.5，

223232.

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21 而S△CDES△ABC10．所以阴影部分的面积为12.5．

32

【巩固】如图，三角形ABC的面积是200cm2，E 在AC上，点D在BC上，且AE:EC3:5,BD:DC2:3，

AD与BE 交于点F．则四边形DFEC的面积等于 ．

AAAEFBDCBFDCEEBDFC【解析】 连接CF，

S△ABFBD26SAE36，△ABF, S△ACFDC39S△CBFEC510根据燕尾定理，

设S△ABF6份，则S△ACF9份,S△BCF10份，S△EFC9以SDCFE200(6910)(53份，S△CDF106份，所

35823456)8(6)93(cm2) 88

【巩固】如图，已知BD3DC，EC2AE，BE与CD相交于点O,则△ABC被分成的4部分面积各占△ABC

面积的几分之几？

AA11E24.5D1CEO9O213.5BDCB3

【解析】 连接CO,设S△AEO1份，则其他部分的面积如图所示，所以S△ABC1291830份，所以四部

124.5139313.59分按从小到大各占△ABC面积的, ,,30306030103020

11【巩固】(2007年圣公会数学竞赛)如图所示，在△ABC中，CPCB，CQCA，BQ与AP相交于

23点X，若△ABC的面积为6，则△ABX的面积等于 ．

CCQX 【解析】 方法一：连接PQ．

11由于CPCB，CQCA，所以S23CPBAQXBPQ41XA14PAB ．

211，SSSSABQABCBPQBCQ32621由蝴蝶定理知，AX:XPSABQ:SBPQSABC:SABC4:1，

34122所以SABXSABPSABCSABC62.4．

55255.

ABC精选版doc

方法二：连接CX设S△CPX1份，根据燕尾定理标出其他部分面积， 所以S△ABX6(1144)42.4

【巩固】如图，三角形ABC的面积是1，BD2DC，CE2AE，AD与BE相交于点F，请写出这4部分

的面积各是多少?

AEFBDCB68A1F24ECD

【解析】 连接CF，设S△AEF1份，则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示，所以

1628242S△AEF,S△ABF,S△BDF,SFDCE

2121721217

【巩固】如图，E在AC上，D在BC上，且AE:EC2:3,BD:DC1:2，AD与BE交于点F．四边形DFEC的面积等于22cm2，则三角形ABC的面积 ．

AAA1.6E2F2.412CDEFBDCBFDEBC【解析】 连接CF,根据燕尾定理，

S△ABFBD1S△ABFAE2，, S△ACFDC2S△CBFEC3

设S△BDF1份，则S△DCF2份，S△ABF2份，S△AFC4份，S△AEF4份,S△EFC4所以S△ABC21.6 2332.4份,如图所标,所以SEFDC22.44.4份,S△ABC2349份 23224.4945(cm2)

【巩固】三角形ABC中，C是直角，已知AC2，CD2，CB3，AMBM，那么三角形AMN(阴影部

分)的面积为多少？

AMNCDBAMNCDB

【解析】 连接BN．

△ABC的面积为3223

根据燕尾定理，△ACN:△ABNCD:BD2:1； 同理△CBN:△CANBM:AM1:1

设△AMN面积为1份，则△MNB的面积也是1份，所以△ANB的面积是112份，而△ACN的面积就是

.

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224份，△CBN也是4份，这样△ABC的面积为441110份，所以△AMN的面积为31010.3．

【巩固】如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC2DE，F是DG的中点．阴影部分的面积是多少平

方厘米?

AFBGDECBBAA3F3G1DDEFx2y3xyCEG

C【解析】 设S△DEF1份，则根据燕尾定理其他面积如图所示S阴影55S△BCD平方厘米. 1212

【例 2】 如图所示，在四边形ABCD中，AB3BE，AD3AF，四边形AEOF的面积是12，那么平行四边

形BODC的面积为________．

AF2EBOCDBE1A4O6F8D6C

【解析】 连接AO,BD,根据燕尾定理S△ABO:S△BDOAF:FD1:2,S△AOD:S△BODAE:BE2:1,设S△BEO1,

则其他图形面积，如图所标，所以SBODC2SAEOF21224.

【例 3】 ABCD是边长为12厘米的正方形，E、F分别是AB、BC边的中点，AF与CE交于G，则四边形

AGCD的面积是_________平方厘米．

DCDCGFGFAEB（111）26【解析】 连接AC、设S△AGC1份，根据燕尾定理得S△AGB1份，S△BGC1份，则S正方形GB，

AEB

份，SADCG314份，所以SADCG1226496(cm2)

【例 4】 如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF 的

面积是_____平方厘米．

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ADADEGHEGH

【解析】 连接BH,根据沙漏模型得BG:GD1:2,设S△BHC1份，根据燕尾定理S△CHD2份，S△BHD2份，

1277（122)210份，SBFHG，所以SBFHG1201014(平方厘米). 因此S正方形2366

【例 5】 如图所示，在△ABC中，BE:EC3:1，D是AE的中点，那么AF:FC ．

BFC

BFCAFAFDDBECBEC

【解析】 连接CD．

由于S△ABD:S△BED1:1，S△BED:S△BCD3:4，所以S△ABD:S△BCD3:4，

根据燕尾定理，AF:FCS△ABD:S△BCD3:4．

【巩固】在ABC中，BD:DC3:2， AE:EC3:1，求OB:OE？

AAOB【解析】 连接OC．

EDC

OBDEC

因为BD:DC3:2，根据燕尾定理，SAOB:SAOCBD:BC3:2，即SAOB又AE:EC3:1，所以SAOC所以OB:OESAOB:SAOE3SAOC； 24334SAOE．则SAOBSAOCSAOE2SAOE， 32232:1．

【巩固】在ABC中，BD:DC2:1， AE:EC1:3，求OB:OE？

AEOC

【解析】 题目求的是边的比值，一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积

.

BD精选版doc

比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以应该通过面积比而得到边长的比．本题的图形一看就联想到燕尾定理，但两个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步要连接

.

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OC． 连接OC．

AEOC

因为BD:DC2:1，根据燕尾定理，SAOB:SAOCBD:BC2:1，即SAOB2SAOC； 又AE:EC1:3，所以SAOC4SAOE．则SAOB2SAOC24SAOE8SAOE， 所以OB:OESAOB:SAOE8:1．

【例 6】 （2009年清华附中入学测试题）如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、BC上的点，且

11AEAB，CFBC，AF与CE相交于G，若矩形ABCD的面积为120，则AEG与CGF的

34面积之和为 ．

BDAEGBFDAEHBDAEDGFCBGFC

【解析】 (法1)如图，过F做CE的平行线交AB于H，则EH:HBCF:FB1:3，

1所以AEEB2EH，AG:GFAE:EH2，即AG2GF，

212231所以SAEGSABFSABCD10．

3394222311且EGHFECEC，故CGGE，则SCGF1SAEG5．

33422所以两三角形面积之和为10515． (法2)如上右图，连接AC、BG．

根据燕尾定理，SABG:SACGBF:CF3:1，SBCG:SACGBE:AE2:1，

1而SABCSABCD60，

23121所以SABG，SABC6030，SBCG，SABC6020，

3212321311则SAEGSABG10，SCFGSBCG5，

34所以两个三角形的面积之和为15．

【例 7】 如右图，三角形ABC中，BD:DC4:9，CE:EA4:3，求AF:FB．

C

.

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AFBODEC【解析】 根据燕尾定理得S△AOB:S△AOCBD:CD4:912:27

S△AOB:S△BOCAE:CE3:412:16

（都有△AOB的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以S△AOC:S△BOC27:16AF:FB

【点评】本题关键是把△AOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果

能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！

【巩固】如右图，三角形ABC中，BD:DC3:4，AE:CE5:6，求AF:FB.

AFBODE

C【解析】 根据燕尾定理得S△AOB:S△AOCBD:CD3:415:20 S△AOB:S△BOCAE:CE5:615:18

（都有△AOB的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以S△AOC:S△BOC20:1810:9AF:FB

【巩固】如图，BD:DC2:3,AE:CE5:3,则AF:BF

AEC

FBDG【解析】 根据燕尾定理有S△ABG:S△ACG2:310:15,S△ABG:S△BCGS△ACG:S△BCG15:65:2AF:BF

5:310:6,所以

【巩固】如右图，三角形ABC中，BD:DC2:3，EA:CE5:4，求AF:FB.

AFBODEC【解析】 根据燕尾定理得S△AOB:S△AOCBD:CD2:310:15

S△AOB:S△BOCAE:CE5:410:8

（都有△AOB的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以S△AOC:S△BOC15:8AF:FB

【点评】本题关键是把△AOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果

能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！

.

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【例 8】 (2008年“学而思杯”六年级数学试题)如右图，三角形ABC中，AF:FBBD:DCCE:AE3:2，

且三角形ABC的面积是1，则三角形ABE的面积为______，三角形AGE的面积为________，三角形GHI的面积为______．

AEFHBGIDC

AEFHBGIDC

【分析】 连接AH、BI、CG．

222AC，故SABESABC； 555根据燕尾定理，SACG:SABGCD:BD2:3，SBCG:SABGCE:EA3:2，所以

49SACG:SABG:SBCG4:6:9，则SACG，SBCG；

19192248那么SAGESAGC；

5519959同样分析可得SACH，则EG:EHSACG:SACH4:9，EG:EBSACG:SACB4:19，所以

19EG:GH:HB4:5:10，同样分析可得AG:GI:ID10:5:4，

55215511所以SBIESBAE，SGHISBIE．

1010551919519由于CE:AE3:2，所以AE

【巩固】 如右图，三角形ABC中，AF:FBBD:DCCE:AE3:2，且三角形GHI的面积是1，求三角形

ABC的面积．

AAFIBHGDEFICBHGDEC

【解析】 连接BG，S△AGC6份

根据燕尾定理，S△AGC:S△BGCAF:FB3:26:4，S△ABG:S△AGCBD:DC3:29:6

S6得S△BGC4(份)，S△ABG9(份)，则S△ABC19(份)，因此△AGC,

S△ABC19S6S6同理连接AI、CH得△ABH,△BIC,

S△ABC19S△ABC19S196661所以△GHI S△ABC1919三角形GHI的面积是1，所以三角形ABC的面积是19

【巩固】(2009年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级)如图，ABC中BD2DA，CE2EB，AF2FC，

那么ABC的面积是阴影三角形面积的 倍．

.

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ADGFHBEIC

ADGFHBEIC

【分析】 如图，连接AI．

根据燕尾定理，SBCI:SACIBD:AD2:1，SBCI:SABICF:AF1:2，

所以，SACI:SBCI:SABI1:2:4，

22那么，SBCISABCSABC．

1247同理可知ACG和ABH的面积也都等于ABC面积的

2，所以阴影三角形的面积等于ABC面积721的13，所以ABC的面积是阴影三角形面积的7倍．

77

【巩固】如图在△ABC中，

AEHFIBGDCBFIGDCH△GHI的面积DCEAFB1的值． ,求

△ABC的面积DBECFA2AE

【解析】 连接BG,设S△BGC1份，根据燕尾定理S△AGC:S△BGCAF:FB2:1,S△ABG:S△AGCBD:DC2:1,

S2得S△AGC2(份)，S△ABG4(份),则S△ABC7(份)，因此△AGC,同理连接AI、CH得

S△ABC7S△ABH2S△BIC2,, S△ABC7S△ABC7所以

S△GHI72221 S△ABC77【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.

【巩固】如图在△ABC中，

AEHFIBGDCBFIGDCH△GHI的面积DCEAFB1的值． ,求

△ABC的面积DBECFA3AE【解析】 连接BG,设S△BGC1份，根据燕尾定理S△AGC:S△BGC.

AF:FB3:1,S△ABG:S△AGCBD:DC3:1,

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得S△AGC3(份)

.

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，S△ABG9(份),则S△ABC13(份)，因此所以

S△GHI133334 S△ABC1313S△AGCSS33,同理连接AI、CH得△ABH13,△BIC, S△ABC13S△ABCS△ABC13

【巩固】如右图，三角形ABC中，AF:FBBD:DCCE:AE4:3，且三角形ABC的面积是74，求角形GHI 的面积．

AAFIBHGDEFICBHGDEC【解析】 连接BG，S△AGC12份

根据燕尾定理，S△AGC:S△BGCAF:FB4:312:9，S△ABG:S△AGCBD:DC4:316:12

S12得S△BGC9(份)，S△ABG16(份)，则S△ABC9121637(份)，因此△AGC,

S△ABC37同理连接AI、CH得所以

S△ABH12S△BIC12,, S△ABC37S△ABC37S△GHI371212121 S△ABC3737三角形ABC的面积是74,所以三角形GHI的面积是7412 37

【例 9】 两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积 分别是3，7，7，

则阴影四边形的面积是多少？

AD377AEx+3ED73F7xB3F77CBC

【解析】 方法一：遇到没有标注字母的图形，我们第一步要做的就是给图形各点标注字母，方便后面的计算.

再看这道题，出现两个面积相等且共底的三角形．

设三角形为ABC，BE和CD交于F，则BFFE，再连结DE． 所以三角形DEF的面积为3.设三角形ADE的面积为x，

则x:33AD:DBx10:10，所以x15，四边形的面积为18．

方法二：设S△ADFx，根据燕尾定理S△ABF:S△BFCS△AFE:S△EFC,得到S△AEFx3，再根据向右下飞的燕子，有(x37):7x:3，解得x7.边形的面积为7.57.5318

【巩固】右图的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积

是 ．

.

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2134

【解析】 方法一：整个题目读完，我们没有发现任何与边长相关的条件，也没有任何与高或者垂直有关系的

字眼，由此，我们可以推断，这道题不能依靠三角形面积公式求解.我们发现右图三角形中存在一个比例关系：

2:S阴影13:4，解得S阴影2.

:S阴影4）1:3，解得S阴影2. 方法二：回顾下燕尾定理，有2（

【例 10】 如图，三角形ABC被分成6个三角形，已知其中4个三角形的面积，问三角形ABC的面积是多

少?

AF84O403035E

【解析】 设S△BOFx，由题意知BD:DC4:3根据燕尾定理,得

33S△ABO:S△ACOS△BDO:S△CDO4:3,所以S△ACO(84x)63x，

443再根据S△ABO:S△BCOS△AOE:S△COE，列方程(84x):(4030)(63x35):35解得x56

4S△AOE:35(5684):(4030),所以S△AOE70

所以三角形ABC的面积是844030355670315

【例 11】 三角形ABC的面积为15平方厘米，D为AB中点，E为AC中点，F为BC中点，求阴影部分

的面积．

AABDCDEDEMNBFCBFC【解析】 令BE与CD的交点为M，CD与EF的交点为N，连接AM，BN．

在△ABC中，根据燕尾定理，S△ABM:S△BCMAE:CE1:1,S△ACM:S△BCMAD:BD1:1,

1所以S△ABMS△ACMS△BCNS△ABC

311由于S△AEMS△AMCS△ABMS，所以BM:ME2:1

22在△EBC中，根据燕尾定理，S△BEN:S△CENBF:CF1:1S△CEN:S△CBNME:MB1:2

设S△CEN1(份)，则S△BEN1(份)，S△BCN2(份)，S△BCE4(份)，

1111所以S△BCNS△BCES△ABC,S△BNES△BCES△ABC，因为BM:ME2:1,F为BC中点,

2448

.

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22111111所以S△BMNS△BNES△ABCS△ABC,S△BFNS△BNCS△ABC,

3381222485511所以S阴影S△ABCS△ABC153.125(平方厘米)

2424128

【例 12】 如右图，△ABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点，AD与BG交于M，

AF与BG交于N，已知△ABM的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米，则△ABC的面积是多少平方厘米？

AGMFCBDEAGNMBDENFC

【解析】 连接CM、CN．

1根据燕尾定理，S△ABM:S△CBMAG:GC1:1，S△ABM:S△ACMBD:CD1:3，所以S△ABMS△ABC；

5再根据燕尾定理，S△ABN:S△CBNAG:GC1:1，所以S△ABN:S△FBNS△CBN:S△FBN4:3，所以

AN:NF4:3，那么

1根据题意，有S△ABC5S△ANG15122，所以SFCGN1S△AFCS△ABCS△ABC．

7428S△AFC243775S△ABC7.2，可得S△ABC336(平方厘米) 28

【巩固】(2007年四中分班考试题)如图，ABC中，点D是边AC的中点，点E、F是边BC的三等分点，若

ABC的面积为1，那么四边形CDMF的面积是_________．

ADNCBADNBEMMCFE

【解析】 由于点D是边AC的中点，点E、F是边BC的三等分点，如果能求出BN、NM、MD三段的比，

那么所分成的六小块的面积都可以求出来，其中当然也包括四边形CDMF的面积． 连接CM、CN．

根据燕尾定理，SABM:SACMBF:CF2:1，而SACM2SADM，所以SABM2SACM4SADM，那

4么BM4DM，即BMBD．

5BMBF4214147那么SBMF． SBCD，S四边形CDMFBDBC53215215301111另解：得出SABM2SACM4SADM后，可得SADMSABD，

55210117则S四边形CDMFSACFSADM．

31030

【例 13】 如图，三角形ABC的面积是1，BDDEEC，CFFGGA，三角形ABC被分成9部分，

请写出这9部分的面积各是多少?

F.

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AAGGPQFBBFNDECM

【解析】 设BG与AD交于点P，BG与AE交于点Q，BF与AD交于点M，BF与AE交于点N．连接CP，

CQ，CM，CN．

根据燕尾定理，S△ABP:S△CBPAG:GC1:2，S△ABP:S△ACPBD:CD1:2，设S△ABP1(份)，则

1S△ABC1225(份)，所以S△ABP

5211213121同理可得，S△ABQ,S△ABN,而S△ABG，所以S△APQ，S△AQG．

72375353721311239同理，S△BPM，S△BDM,所以S四边形PQMN3521273570139511511115,S四边形NFCES四边形MNED,S四边形GFNQ

33570423214263212

【巩固】如图，ABC的面积为1，点D、E是BC边的三等分点，点F、G是AC边的三等分点，那么四边

形JKIH的面积是多少？

DECCFGKAIHB

CDEAGKIHB

JFJDE【解析】 连接CK、CI、CJ．

根据燕尾定理，SACK:SABKCD:BD1:2，SABK:SCBKAG:CG1:2，

1111所以SACK:SABK:SCBK1:2:4，那么SACK，SAGKSACK．

12473212类似分析可得SAGI．

151又SABJ:SCBJAF:CF2:1，SABJ:SACJBD:CD2:1，可得SACJ．

41117那么，SCGKJ．

4218417根据对称性，可知四边形CEHJ的面积也为，那么四边形JKIH周围的图形的面积之和为

84172161619SCGKJ2SAGISABE2，所以四边形JKIH的面积为1．

84153707070

【例 14】 如右图，面积为1的△ABC中，BD:DE:EC1:2:1，CF:FG:GA1:2:1，AH:HI:IB1:2:1，

求阴影部分面积．

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AHGHNMFPECAGIBDEFCBID

【解析】 设IG交HF于M，IG交HD于N，DF交EI于P．连接AM， IF ．

9 ∵AI:AB3:4，AF:AC3:4，S△AIFS△ABC

16 ∵S△FIM:S△AMFIH:HA2，S△FIM:S△AIMFG:GA2，

193 ∴S△AIMS△AIFS△ABC ∵AH:AI1:3 ∴S△AHMS△ABC，

43 ∵AH:AB1:4 AF:AC3:4 ∴S△AHFS△ABC ．

163733同理 S△CFDS△BDHS△ABC ∴S△FDHS△ABC HM:HF:1:4，

161616 ∵ AI:AB3:4,AF:AC3:4， ∴IF∥BC ，

又∵IF:BC3:4,DE:BC1:2，

∴DE:IF2:3,DP:PF2:3，

同理 HN:ND2:3，∵HM:HF1:4，∴HN:HD2:5，

177 ∴S△HMNS△HDF． S△ABC101601607 同理 6个小阴影三角形的面积均为．

160721 阴影部分面积6．

16080

【例 15】 如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA 的三等分点,求阴

影部分面积.

ADEIHEQBFGCBFGCDPAIMHN 【解析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！

令BI与CD的交点为M，AF与CD的交点为N，BI与AF的交点为P,BI与CE的交点为Q,连接AM、BN、CP

⑴求S四边形ADMI：在△ABC中，根据燕尾定理，

S△ABM:S△CBMAI:CI1:2S△ACM:S△CBMAD:BD1:2

设S△ABM1(份)，则S△CBM2(份),S△ACM1(份),S△ABC4(份),

1111所以S△ABMS△ACMS△ABC，所以S△ADMS△ABMS△ABC,S△AIMS△ABC,

431212.

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111所以S四边形ADMI()S△ABCS△ABC,

12126同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是△ABC面积的⑵求S五边形DNPQE：在△ABC中，根据燕尾定理

S△ABN:S△ACNBF:CF1:2S△ACN:S△BCNAD:BD1:2, 11111所以S△ADNS△ABNS△ABCS△ABC,同理S△BEQS△ABC

3372121在△ABC中，根据燕尾定理S△ABP:S△ACPBF:CF1:2,S△ABP:S△CBPAI:CI1:2

1所以S△ABPS△ABC

511111所以S五边形DNPQES△ABPS△ADNS△BEPS△ABCS△ABC

5212110511同理另外两个五边形面积是△ABC面积的

10511113所以S阴影13 36105701 6

【例 16】 如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA 的三等分点,求中

心六边形面积.

ADEIHEQBFGCBMFSGCDAIPHNR【解析】 设深黑色六个三角形的顶点分别为N、R、P、S、M、Q，连接CR

在△ABC中根据燕尾定理，S△ABR:S△ACRBG:CG.2:1,

S△ABR:S△CBRAI:CI1:2

222所以S△ABRS△ABC,同理S△ACSS△ABC,S△CQBS△ABC

7772221所以S△RQS1

77771同理S△MNP

711131根据容斥原理，和上题结果S六边形

777010

【例 17】

（2009年数学解题能力大赛六年级初试试题）正六边形A1，A2，A3，A4，A5，A6的面积是2009B1，B2，B3，B4，B5，B6分别是正六边形各边的中点；平方厘米，那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米．

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A1B6A6B5B1A2B2A3B3B6A6B5A1B1DGEA2B2A3B3

【解析】 （方法一）因为空白的面积等于△A2A3G面积的6倍，所以关键求△A2A3G的面积，根据燕尾定理可

3311得S△A2A3GS△A1A2A3S正六边形，但在△A1A2A3用燕尾定理时，需要知道A1D,A3D的长度比，

7732连接A1A3,A6A3,A1G,过B6作A1A2的平行线，交A1A3于E，根据沙漏模型得A1DDE,再根据金字塔模型得A1EA3E,因此A1D:A3D1:3,在△A1A2A3中，设S△A1A2G1份，则S△A2A3G3份,S△A3A1G3份，

A5B4A4A5B4A433111所以S△A2A3GS△A1A2A3S正六边形S正六边形，

77321414因此S阴影（16）S正六边形20091148（平方厘米）

147（方法二）既然给的图形是特殊的正六边形，且阴影也是正六边形我们可以用下图的割补思路，把正

8六边形分割成14个大小形状相同的梯形，其中阴影有8个梯形，所以阴影面积为20091148（平

14方厘米）

ADA1B6B1GA2EDB2A3EGBFCA6B5A5B4A4B3

【例 18】

已知四边形ABCD，CHFG为正方形，S甲:S乙1:8，a与b是两个正方形的边长，求a:b?

Aa甲DOCGDMBAa甲OBCG乙EHbFENH乙bF

【解析】 观察图形，感觉阴影部分像蝴蝶定理，但是细细分析发现用蝴蝶定理无法继续往下走，注意到题目

条件中给出了两个正方形的边长，有边长就可以利用比例，再发现在连接辅助线后可以利用燕尾，那么我们就用燕尾定理来求解 连接EO、AF，

根据燕尾定理：S△AOE:S△AOFa:b，S△AOF:S△EOFa:b

所以 S△AOE:S△EOFa2:b2，作OM⊥AE、ON⊥EF，

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∵AEEF

∴OM:ONa2:b2 ∴S甲:S乙a3:b31:8 ∴a:b1:2

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