《大学物理》第二版课后习题答案解析第九章

习题精解

9-1.在气垫导轨上质量为m的物体由两个轻弹簧分别固定在气垫导轨的两端，如图9-1所示，试证明物体m的左右运动为简谐振动，并求其振动周期。设弹簧的劲度系数为k1和k2.

解：取物体在平衡位置为坐标原点，则物体在任意位置时受的力为

F(k1k2)x 根据牛顿第二定律有

d2xF(k1k2)xmam2dt

化简得

d2xk1k2x02m dt

d2xk1k22x02m则dt令所以物体做简谐振动，其周期

2T22mk1k2 9-2 如图9.2所示在电场强度为E的匀强电场中，放置一电偶极矩P=ql的电偶极子，+q和-q相距l，且l不变。若有一外界扰动使这对电荷偏过一微小角度，扰动消息后，这

对电荷会以垂直与电场并通过l的中心点o的直线为轴来回摆动。试证明这种摆动是近似的简谐振动，并求其振动周期。设电荷的质量皆为m，重力忽略不计。

解 取逆时针的力矩方向为正方向，当电偶极子在如图9.2所示位置时，电偶极子所受力矩为

llMqEsinqEsinqElsin22

电偶极子对中心O点的转动惯量为

ll1Jmmml2222

22由转动定律知

12d2MqElsinJml•22dt

化简得

d22qEsin02dtml

当角度很小时有sin0，若令

22qEml，则上式变为

d22sin02dt

所以电偶极子的微小摆动是简谐振动。而且其周期为

T22ml2qE

9-3 汽车的质量一般支承在固定与轴承的若干根弹簧上，成为一倒置的弹簧振子。汽车为开动时，上下为自由振动的频率应保持在v1.3Hz 附近，与人的步行频率接近，才能使乘客没有不适之感。问汽车正常载重时，每根弹簧松弛状态下压缩了多少长度？

解 汽车正常载重时的质量为m，振子总劲度系数为k，则振动的周期为频率为

v11T2km

T2mk，正常载重时弹簧的压缩量为

mgT2gx2g220.15(m)k44v

9-4 一根质量为m，长为l的均匀细棒，一端悬挂在水平轴O点，如图9.3所示。开始棒在平衡位置OO，处于平衡状态。将棒拉开微小角度后放手，棒将在重力矩作用下，绕O点在竖直平面内来回摆动。此装置时最简单的物理摆。

若不计棒与轴的摩擦力和空气的阻力，棒将摆动不止。试证明摆角很小的情况下，细棒的摆动为简谐振动，并求其振动周期。

解 设在某一时刻，细棒偏离铅直线的角位移为，并规定细棒在平衡位置向右时为

正，在向左时为负，则力矩为

1Mmglsin2

1Jml23负号表示力矩方向与角位移方向相反，细棒对O点转动惯量为,根据转动定律

有

112d2MmglsinJml23dt2

化简得

d23gsin02dt2l

当很小时有sin，若令

23g2l则上式变为

d22sin02dt

所以细棒的摆动为简谐振动，其周期为

T222l3g

29-5 一放置在水平光滑桌面上的弹簧振子，振幅A210m，周期T0.50s，当t=0

时，

（1）物体在正方向的端点；

（2）物体在负方向的端点；

(3) 物体在平衡位置，向负方向运动;

(4）物体在平衡位置，向负方向运动;

2(5)物体在x1.010m处向负方向运动

2(6)物体在x1.010m处向正方向运动。求以上各种情况的振动方程。

解 由题意知

A2.0102m,T0.5s,24s1T

（1）由初始条件得初想为是10,所以振动方程为

x2102cos4(m)

（2）由初始条件得初想为是2，所以振动方程为

x2102cos(4t)(m)

（3）由初始条件得初想为是

32，所以振动方程为

x2102cos(4t)(m)2

（4）由初始条件得初想为是

3)(m)2

432，所以振动方程为

x2102cos(4tx011025cos50.5,552A210333（因为速度小于零）（5）因为，所以，取，所

以振动方程为

x2102cos(4t)(m)3

x01102244cos60.5,662A210333（因为速度大于零）（6），所以，取，所

以振动方程为

4)(m)3

x2102cos(4t9-6一质点沿x轴做简谐振动，振幅为0.12m，周期为2s，当t=0时，质点的位置在0.06m处，且向x轴正方向运动，求；

（1）质点振动的运动方程；

（2）t=0.5s时，质点的位置、速度、加速度；

（3）质点x=-0.06m处，且向x轴负方向运动，在回到平衡位置所需最短的时间。

解 （1）由题意可知：所以质点的运动方程为

A0.12m,2,x0Acos00T3（初速度为零）可求得，

x0.12cost3 xt0.50.12cos0.50.1(m)3（2）

任意时刻的速度为

v0.12cost3 所以

vt0.50.12cos0.50.19(m•s1)3

任意时刻的加速度为

a0.122cost3 所以

at0.50.122cos0.51.0m•s23

（3）根据题意画旋转矢量图如图9.4所示。

由图可知，质点在x=-0.06m处，且向x轴负方向运动，再回到平衡位置相位的变化为

325236

所以

50.833s6

t9-7 一弹簧悬挂0.01kg砝码时伸长8cm，现在这根弹簧下悬挂0.025kg的物体，使它作自由振动。请建立坐标系，分析对下述3种情况列出初始条件，求出振幅和初相位，最后建立振动方程。

（1）开始时，使物体从平衡位置向下移动4cm后松手；

（2）开始时，物体在平衡位置，给以向上的初速度，使其振动；

（3）把物体从平衡位置向下拉动4cm后，又给以向上21cm•s的初速度，同时开始

1计时。

解 （1）取物体处在平衡位置为坐标原点，向下为x轴正方向，建立如图9.5所示坐标系。

系统振动的圆频率为

kmm1gx10.01g0.087s1m0.025

根据题意，初始条件为

x04cm1v00cm•s

2v0振幅

Ax2024cm，初相位10

振动方程为

x4cos7t(m)

（2）根据题意，初始条件为

x00cm1v021cm•s

振幅

Ax202v023cm，初相位

22

振动方程为

x3cos(7t)(m)2

（3）根据题意，初始条件为

x04cm1v021cm•s

2v0振幅

Ax2025cm，

tan3v00.75x0，得30.

振动方程为

x5cos(7t0.)(m)

2A1.010m做简谐振动，其最大加速度为9-8 质量为0.1kg的物体，以振幅

4.0m•s2，求：（1）振动周期；（2）通过平衡位置时的动能；（3）总能量。

解 （1）简谐振动的物体的最大加速度为

amaxA2

amax4.022120sT0.314sA1.010220，所以周期为。

（2）做简谐振动的物体通过平衡位置时具有最大速度

vmaxA

所以动能为

12112222EkmvmaxmA0.11.010202103J222

（3）总能量为

E总Ek2103J

9-9 弹簧振子在光滑的水平上面上做振幅为A0的简谐振动，如图9.6所示，物体的质量为M，弹簧的劲度系数为k，当物体到达平衡位置且向负方向运动时，一质量为m的小泥团以速度v从右打来，并粘附于物体之上，若以此时刻作为起始时刻，求：

（1）系统振动的圆频率；

（2）按图示坐标列出初始条件；

（3）写出振动方程；

解 （1）小泥团粘附于物体之后与物体一起做简谐振动，总质量为M+m，弹簧的劲度系数为k，所以系统振动的圆频率为

kMm （2）小泥团粘附于物体之上后动量守恒，所以有

MvmvMmv0

v0MvmvMm

x00Mvmvv0Mm 按图9.6所示坐标初始条件为

（3）根据初始条件，系统振动的初相位为能量守恒，有

2；假设，系统的振动振幅为A，根据

1211(Mvmv)22kAMmv0222Mm

其中

112Mv2kA022

故得

AmvMA0kM(Mm)k 振动方程为

xmvMA0kkMcos•tm2(Mm)kMm

34，（1）写出它

29-10 有一个弹簧振子，振幅A210m，周期T=1s，初相位



的振动方程；（2）利用旋转矢量图，作x-t图。

22T，所以弹簧振子的振动方程为

解 （1）由题意可知，

3x2102cos2tm4

（2）利用旋转矢量图做x-t图如图9.7所示

9-11 一物体做简谐振动，（1）当它的位置在振幅一半处时，试利用旋转矢量计算它的相位可能为哪几个值？做出这些旋转矢量；（2）谐振子在这些位置时，其动能。势能各占总能量的百分比是多少？

解 （1）根据题意做旋转矢量如图9.8所示。

由图9.8可知，当它的位置在振幅的一半时，它的可能相位是

323

121kAWpkx222，在任意位置时的时能为，所以

2,（2）物体做简谐振动时的总能量为

W111WpkAkA2228当它的位置在振幅的一半时的势能为，势能占总能量的百分比为25%，

动能占总能量的百分比为75%。

9-12 手持一块平板，平板上放以质量为0.5kg的砝码，现使平板在竖直方向上下振

动，设该振动是简谐振动，频率为2Hz，振幅是0.04m,问：

（1） 位移最大时，砝码对平板的正压力多大？

（2）以多大的振幅振动时，会使砝码脱离平板？

(3) 如果振动频率加快一倍则砝码随板保持一起振动的振幅上限是多大？

1解 （1）由题意可知，2v4s,A0.04m。因为物体在作简谐振动，物体在最

大位移时加速度大小

amaxA20.041620.2

根据牛顿第二定律有

N1mgmamaxmgN2mamax

解得N18.06N（最低位置），N21.74N (最高位置)

（2）当

mgmamaxmA2，即时A0.062m 会使砝码脱离平板。

mgmamaxmA11221（3）频率增大一倍，把代入得

A11A1.55102m4

9-13 有两个完全相同的弹簧振子A和B，并排地放在光滑的水平面上，测得它们的周期都是2s。现将两个物体从平衡位置向右拉开5cm，然后先释放A振子，经过0.5s后，

再释放B振子，如图9.9所示，若以B振子释放的瞬间作为时间的起点，

（1）分别写出两个物体的振动方程；

（2）它们的相位差为多少？分别画出它们的x-t图。

2T，若以B振子释放的瞬

解 （1）由题可知，两物体做简谐振动的圆频率为

时作为时间的起点，则B物体振动的初相位是B0，振动方程应为

xB5cost(cm)

0.5T2，所以A物

由于A物体先释放0.5s时的时间，所以相位超前B物体体振动的初相位是

A2，振动方程应为

2•xA5costcm2

（2）它们的相位差为

2

作A,B两物体的振动曲线如图9.10所示。

9-14 一质点同时参与两个方向、同频率的简谐振动，它们的振动方程分别为

x16cos2tcm6x28cos2tcm3 试 用旋转矢量求出合振动方程。

解 作旋转矢量如图9.11所示。

由平面几何关系可知

A2A12A210cmtanA160.75A28

合振动的初相位是

0.43

所以合振动的振动方程为

x10cos2t0.4cm

9-15 有两个同方向、同频率的简谐振动，其合振动的振幅为0.2，合振动的相位于第

一个振动的相位之差为6，若第一个振动的振幅为0.173m，求第二个振动的振幅，第一、

第二两振动的相位差。

解 做旋转矢量如图9.12所示。

由平面几何关系可知

A2A2A122AA1cos60.1m

假设A1和A2的夹角为，则由平面几何可知

2AA12A22A1A2cos

把已知数代入解得

2，

9-16 质量为0.4kg的质点同时参与互相垂直的两个振动：

x0.08cost,y0.06cost63 33式中x,y以m计，t以s计。

（1） 求运动轨迹方程；

（2） 质点在任一位置所受的力。

解 （1）由振动方程消去时间因子得轨迹方程为

x2y21220.080.06

（2） 质点在任意时刻的加速度为

d2xd2yaij0.08costi0.06costjdtdt63 333322质点在任一位置所受的力为

22Fma32costi24cost633333 j103N

9-17 质点参与两个方向互相垂直的、同相位、同频率的简谐振动；

（1）证明质点的合振动时简谐振动；

（2）求合振动的振幅和频率。

解 （1）根据题意，假设两个分振动的振动方程分别为

xAxcost

yAycost

合成的轨迹是直线

yAxxAy，在任意时刻质点离开平衡位置的距离为

22xx2y2AxAycost

所以质点的合振动是简谐振动。

（3） 合振动的振幅为

2AAx2Ay，圆频率为.