运筹学案例

案例1 高压电器强电流试验计划的安排

某高压电器研究所属行业归口所，是国家高压电器试验检测中心，每年都有大量的产品试验、中试、出口商检等任务。试验计划安排及实施的过程一般如下：

·提前一个月接受委托试验申请

·按申请的高压电器类别及台数编制下月计划 ·按计划调度，试验产品进入试验现场 ·试验检测,出检测报告 ·试验完成，撤出现场

高压电器试验分强电流试验和高压电试验两部分，该研究所承担的强电流实验任务繁重，委托试验的电器量很大，因此科学地计划安排试验计划显得非常重要。

高压电器分十大类，委托试验的产品有一定随机性,但是试验量最多的产品（占85%以上）是以下八类：

1．35KV断路器 2．10KV等级断路器 3．35KV开关柜 4．10KV等级开关柜 5．高压熔断器 6．负荷开关 7．隔离开关 8．互感器

这八类产品涉及全国近千个厂家,市场广阔,数量庞大.当前的强电流产品试验收费标准见表1-1。

表1-1 强电流产品试验收费标准

产品类别 1 2 3 4 5 6 7 8 试验收费（万元） 8 6 4 2。5 1 2。2 1。5 1.4 由于强电流试验用的短路发电机启动时，会给城市电网造成冲击,严重影响市网质量，故只能在中午1点用电低谷时启动,从而影响全月连续试验工时只有

约108小时,任务紧张时只能靠加班调节。正常情况下各种试验所需试验工时见表8—2.

表1-2 各类产品试验所需工时

产品类别 1 2 3 4 5 6 7 8 试验收费（万元） 5 4 3 2 2 1.5 1 1。5 强电流试验特点是开机时耗电量大,而每次实验短路时，只持续几秒钟，虽然短路容量在“0\"秒时达2500 MVA，但瞬时耗电量却很小。每天试验设备提供耗电量为5000千瓦，每月135千千瓦,那麽每种产品耗量如表8-3所示。各类产品的冷却水由两个日处理能力为14吨的冷却塔供给。每月按27天计,冷却水月供给量为14×27=378吨。每月各类产品冷却水处理量见表8—3。

表1-3 各类产品试验耗电量与冷却水处理量

产品类别 耗电量（千瓦） 1 2 3 4 5 6 7 8 5000 75000 3000 3000 500 600 700 700 冷却水用量（吨） 10 9 8 8 1 4 2 2 根据以往的经验和统计报表显示第一类产品和第二类产品每月最多试验台数分别为6台和4台，第三类和第四类产品则每月至少需分别安排8台和10台。

根据上述资料,尝试建立数学模型辅助产生排产计划，对模型的优化结果进行解释，并与实际情况做对比分析.

案例2。福州市某乡作物种植计划的制定

福州市近郊某乡共有可耕地2000亩，其中沙质土地400亩，粘质土地600亩，中性土地1000亩，主要种植3类作物： 第1类是以水稻为主的粮食类作物,第2类是蔬菜类，第3类是经济作物,以本地特产茉莉花为代表作物.乡希望能制定一个使全乡总收益最大的作物种植计划,据此指导个作业小组和农户安排具体生产计划。

研究所面临的困难是缺乏历史统计资料及定量数据,只能靠实地调研及与有经验的老农交谈而获得。因此建立的模型及计算结果只能作为乡做决策的参考，但整个思路和运作过程无疑为科学决策起到了良好的示范作用。

为了简化问题，只考虑水稻、茉莉花作为粮食作物和经济作物的代表，蔬菜则以当地出产的主要品种为基础测算出每亩的收益及成本的平均值.

每亩土地的费用主要统计和测算外购化肥、劳力工时、灌溉用水及用电等可以计算的部分,每亩的收益也是根据可能收集到的数据如交公购粮、收购茉莉花以及在农贸市场上出售蔬菜所得销售收入的平均值，均为近似值.通过以上调研和数据处理得到表2—1。

表2-1 种植各类作物所需费用及收益表

作物种类 费 用 (元/亩） 砂质土地 粘质土地 160 290 260 中性土地 150 280 240 收 益 （元/亩） 300 500 450 水 稻 200 蔬 菜 300 茉 莉 花 260 考虑将不同土质土地上种植的各类作物的面积设置为决策变量，用表2—2表示。

表2-2 决策变量设置表

种植 土地 亩数 类别 作物种类 砂质土地 粘质土地 中性土地 水 稻 蔬 菜 茉 莉 花 X1 X4 X7 X2 X5 X8 X3 X6 X9 为防止作物的单一种植倾向，在保证全乡留有足够口粮的基础上，各种作物种植的协调发展.根据前些年的种植情况及取得的效益，乡认为水稻、蔬菜、茉莉花三种作物的播种面积比例大致以2：1:1为宜.按全乡2000亩种植面积计算，可设定三种作物种植面积的最高限额分别为1000、500、500亩。目标函数Z取总收益，要求极大化。试通过建立优化模型给出当前条件下的最优种植方案，进行结果分析及进一步讨论.

案例3 南方某百泥矿合理配车问题的研究

南方某白泥矿是一个南北狭长的露天矿，划分为北区、中区、南区三个开采区,主要开采生产盆、碗用的白泥，在采矿场附近设有5个排土场。

由于开采条件日趋恶化,矿山运输设备效率又不高，人们普遍认为运输问题已成为影响生产的主要矛盾，希望通过改善管理，挖掘运输潜力，提高经济效益。

全矿共有4种型号的运输车辆34台,当前的平均单位运费为0.90元/t，运输车辆的数量和使用费见表3—1，核定的标准定额见表3—2.

表3—1运输车辆的数量及使用费

汽 车 型 号 太 脱 拉 贝 拉 斯 T-20 北京—370 合 计 在 册 台 数 5 4 8 30 47 可 用 台 数 3 2 5 24 34

表3—2 运输标准定额表

标(t/准定台南区运矿 北区运矿 南区运岩 北区运岩 使用费（元/台班） 210 0 340 240 额 作业 班) 类型汽车型号 太 脱 拉 贝 拉 斯 T-20 北京—370 504 650 510 459 378 600 374 323 480 630 6 448 516 756 490 420

由于不同型号的汽车在各类采区运输不同类型的采剥物时效率和成本均不相同,于是可以考虑按不同型号的汽车分配运输任务。现有4类型号的汽车进行4类不同的作业，可以归结为“指派问题\"，使运输作业的总成本最小。根据表3-1和表3-2的数据，用各种型号汽车的使用费与核定的不同作业标准定额相除即可得到单位运输成本,见表3-3.

表3-3 单位运输成本表

标准定南区运矿 北区运矿 南区运岩 北区运岩 额 作业 （t/台班） 类型汽车型号 太 脱 拉 贝 拉 斯 T-20 北京-370 0．4167 0．8308 0．6667 0．5228 0．5556 0．9000 0．9091 0．7430 0．4375 0．4070 0．8571 0．7143 0．6227 0．6939 0．5357 0．5714 讨论给出使单位总运费最小最优分配车方案，请注意运输汽车必须是整数,该如何建模优化？

案例4 某开发区养老保险定量分析模型

养老保险属于社会保障系统的重要内容，社会保障系统作为一个国家社会制度的重要组成部分，其内容、形式和其中所使用的各种计算方法不仅关系到国民的自身利益，而且对一个国家的政治和社会经济的发展具有重要的作用.社会保障系统中所包含的定量分析和计算是多种多样的，主要包括三个方面：第一，对社会保障基金提取量的测算；第二，对职工享受社会保障待遇的标准测算;第三,对社会保障基金各阶段收付额的预测.

基本养老保险金的提取比例一般是一年或若干年调整一次，从数学模型的角度看两者并无实质性区别,这里定义一年为一个阶段。考虑到养老保险制度是一个长期制度，具体年限并不确定,因而阶段数可以根据实际问题的研究目标制定。如:要确定10年内各年的提取比例,则阶段数就定为10;也可以将老龄化程度最高、养老保险金支付额最大的年份作为决策过程的终止年.不失一般性，将整个决策过程定义为n个阶段。

状态变量xk定义为阶段k开始时的储备基金，M是最大储备金额。 决策变量uk为阶段k基本养老保险金按工资总额提取的比例,这一比例也应在一定范围之内。按照国际标准，提取比例达到20％时即为社会预警线，29%即

达到社会承受的极限,因此我们设定R为提取的最大比例,若sk为阶段k的工资总额，则有：

dk-xk≤sk•uk≤min｛sk•R，dk+dk+1+…+dn+A—xk｝ 其中sk•R就是基本养老保险金所能提取的最大金额。

已知阶段k开始时的储备基金是xk，阶段k的基本养老保险金收入额为sk•uk ，支付额是dk。假定储备基金的年增值率为ik，考虑资金的时间价值，则阶段末即阶段k+1的初始储备基金为：

xk+1=（1+ik)xk+sk•uk-dk，即状态转移方程。

可以看出，k+1阶段的储备基金xk+1完全由k阶段的储备基金xk和基本养老保险金的提取比例uk所决定，与前面的状态和决策无关，即满足无后效性。

设单位资金的管理费用为L,则阶段k的管理费用为：L•sk•uk；设储备基金的机会损失率为jk，,则阶段k时储备基金的机会损失额为：

jk•xk+1=jk[(1+ik）xk+sk•uk-dk],于是可写出阶段效益的表达式： rk（xk，uk）=L•sk•uk+jk[（1+ik)xk+sk•uk—dk］ 目标函数为各阶段效益之和，即

在此基础上，即可写出动态规划基本方程:

根据这一模型得到的阶段k的提取比例uk对于全过程而言是最优的。 值得注意的是sk、dk、jk都是利用预测技术得出的今后若干年的预测值，它们本身的准确程度会受到就业率、工资增长率，人口死亡率、退休率、生活费指数，各种投资利率等的影响，必须进一步进行理论分析以提高预测的准确程度。

根据开发区职工年龄结构上的特点是以中青年为主和职工平均年龄30岁的抽样统计结果，开发区在25年后养老保险金的支付将达到一次高潮.因而在计算过程中选择整个计划期为25年，共分为5个阶段,每个阶段代表5年.

根据开发区各年龄段人数（见表4-1)，期望寿命按70岁计算，推算出今后25年中各阶段的退休人数；结合开发区未来25年发展规模及经济增长速度,预测出各阶段新增职工人数和新增职工退休人数，在此基础上计算出开发区25年中各阶段退休职工人数，见表4-2.

表4-1 开发区职工按年龄段分布人数

年 龄 人 数 20—24 6137 25-29 11552 30—34 13357

表4—2 开发区25年中各阶段退休职工人数

阶 段 人 数 1 0 2 0 3 3427 4 10830 5 39202 35-39 3249 40-44 1805

各阶段每个职工平均养老保险金支付额的计算以年平均工资4800元为基数,分90%，80％,70％三个档次计算。各期职工年平均工资分别按年平均工资增长率5％、10％来计算.

由于开发区内大多数企业属于电子及化工行业,查这两类企业平均投资利润率为14%，按银行三年整存整取利率10.8%计算，年机会损失率为3.2％,基金管理费按缴纳量的5％提取。选取支付额占工资90％，年平均工资增长率5％的计算结果为代表,见表4-3。

表4—3 支付额占工资90％,年平均工资增长率5％的计算结果

阶 段 1 2 0 278624 3 0．917 20076992 4 0．15 57332536 61617084 5 0．15 37920152 提取比例 0．0025 最小费用 307632 期初储备量 0 1000000 1670000 188480528 动态规划模型从开发区整体出发，以退休人员养老保险金的支付额来确定应从在职职工中按工资总额提出养老保险金的比例，并在保证各阶段最大提取比例条件基础上，使得整个计划期内总的费用或损失最小.实际应用中，还结合其它模型的计算进行对比和综合调整，进一步进行了可行性分析和提出相应的建议。

案例5 利用最短路算法确定自动充气站位置

电缆的气压维护是保障通讯完好畅通的重要手段,某城市经调查分析,并

结合电缆分布情况确定安装14个传感器，建立相应的14个遥测点。在选定的测试头上有3处可供建立自动充气站，见图5—1所示.

在详细分析了技术上的要求之后，最终将问题抽象成如何确定自动充气站

位置，使以充气站为起点，所需建设的遥测点总线路最短的问题.已知建立遥测点每100M的造价是1200元,因此归结为一个使总造价最省的问题。

试进行讨论分析自动充气站位置应如何确定？

追踪该案例的研究实施过程与结果,得知，原计划要进行一周的调查、定线工作，现经计算并结合现场情况略加修正，仅用1天半的时间就确定了方案，费用比原计划至少节省了16800元,且缩短了工期，提前使自动充气站投入运行。

案例6 某厂运输网络改善方案设计

v1、v2、v3为某工厂下属三个分厂所在地.已知三个分厂的产品生产能力

各为40、20、10个单位，产品每天均需运往车站仓库vt.现有的运输网络如图8—3所示，箭杆边的数字为相应运输线路的日运输能力。由于目前的运输网络不能保证每天将所有的产品及时运送到仓库，试分析原因何在？为了改善目前的运输状况，该厂计划在车站新建一个仓库，并考虑开通

的

单方向行驶运输道路（图8-3中虚线所示），对于新开通的运输通道设计运输能力要求如何确定才能保证每天将所有的产品及时运送到车站仓库？单行道方向如何确定？通过分析计算,对该厂改善运输状况的计划作简单评论，并提出一些有益的设想和建议。

图8—3 案例6运输网络

案例7 排队模型在医院科室编制方面的应用

某医院妇产科在所在城市颇具影响力，慕名而来的患者及孕妇络绎不绝，平均每天接纳200多名病人,一段时间高达280余人，三长一短的现象非常突出，即候诊时间长、取药交款时间长、辅助检查时间长，看病时间短，病人排队等待的时间很长，很有意见，医院压力也很大。在调查中，具体观察了病人在候诊室的等待时间和医生的服务时间,记录了病人到达的时间间隔，整理成频数表，结果见表7—1。

表7-1 病人到达频数表

一分钟内到达 的病人数X 频 数fi 0 1 2 3 4 5 6 111 168 78 31 6 3 2 合 计 399 计算出每分钟的病人平均到达率：

假设病人的到达服从参数λ=1。173的泊松分布,经皮尔逊-χ2检验，可以接受该假设。

类似地可得，检查看病时间服从阶数为8，参数μ=0。14997的爱尔朗分布。 该医院妇产科共有4个诊室，8位门诊大夫，每天看病人280人，由此确定排队模型为M/E8/C/N，其中C=8,N=280。一位门诊医生相当于一个服务台，各服务台相互，并设平均服务率μ1=μ2=…=μ8=μ.整个妇产科的平均服务率为Cμ,系统的服务强度：

请通过计算分析该模型排队系统的特征量，对该科室的人员配备和工作运转情况作出评价，给出相应的改进建议。还能进一步发现些什么有用信息？