高中函数图像大全()

概念：一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。

注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。 ⒉指数函数的定义仅是形式定义。

指数函数的图像与性质：

规律：1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个

函数都不具有奇偶性。

2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴；

当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。

在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。

3.四字口诀：“大增小减”。即：当a＞1时，图像在R上是增函数；当0＜a

＜1时，图像在R上是减函数。

4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。

比较幂式大小的方法：

1. 当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较； 2. 当底数中含有字母时要注意分类讨论；

3. 当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较； 4. 对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较

底数的平移：

在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。

在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。

对数函数

1.对数函数的概念

由于指数函数y=ax在定义域(-∞，+∞)上是单调函数，所以它存在反函数， 我们把指数函数y=ax(a＞0，a≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=logax(a＞0，a≠1).

因为指数函数y=ax的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，所以对数函数y=logax的定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).

2.对数函数的图像与性质

对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x. 据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质.

为了研究对数函数y=logax(a＞0，a≠1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数 y=log2x，y=log10x，y=log10x,y=log1x,y=log1x的草图

210由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分析出对数函数y=logax(a＞0，a≠1)的图像的特征和性质.见下表. 图 象 性 质 (1)x＞0 (2)当x=1时，y=0 (3)当x＞1时，y＞0 0＜x＜1时，y＜0 (4)在(0，+∞)上是增函数 补充 性质 (3)当x＞1时，y＜0 0＜x＜1时，y＞0 (4)在(0，+∞)上是减函数 a＞1 a＜1 设y1=logax y2=logbx其中a＞1，b＞1(或0＜a＜1 0＜b＜1) 当x＞1时“底大图低”即若a＞b则y1＞y2 当0＜x＜1时“底大图高”即若a＞b，则y1＞y2 比较对数大小的常用方法有：

(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断. (2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论. (3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较. (4)若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较.

3.指数函数与对数函数对比

名称 一般形式 指数函数 y=ax(a＞0，a≠1) 对数函数 y=logax(a＞0，a≠1) 定义域 值域 函 数 值 变 化 情 况 单调性 (-∞，+∞) (0，+∞) 当a＞1时， 当0＜a＜1时， (0，+∞) (-∞，+∞) 当a＞1时 当0＜a＜1时， 当a＞1时，ax是增函数； 当0＜a＜1时，ax是减函数. 当a＞1时，logax是增函数； 当0＜a＜1时，logax是减函数. 图像 y=ax的图像与y=logax的图像关于直线y=x对称. 幂函数

幂函数的图像与性质

幂函数yxn随着n的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握yxn，当n2,1,,,3的图像和性质，列表如下．

从中可以归纳出以下结论：

① 它们都过点1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像

都不过第四象限．

112311321③ a,1,2时，幂函数图像不过原点且在0,上是减函数．

2② a,,1,2,3时，幂函数图像过原点且在0,上是增函数．

④ 任何两个幂函数最多有三个公共点．

奇函数

偶函数

非奇非偶函数

y

O x

y y O x

O x

y

O x

y y O x

O x

y O x y y O x O x 定义域 奇偶性 在第Ⅰ象 R 奇 R 奇 在第Ⅰ象 R 奇 非奇非偶 奇 在第Ⅰ象在第Ⅰ象限单在第Ⅰ象限限单调递调递增 单调递减 增 在第Ⅰ象限限的增减单调递增 性 增 限单调递yx幂函数（xR，是常数）的图像在第一

象限的分布规律是：

yx①所有幂函数（xR，是常数）的图像

都过点(1,1)；

②当

1,2,3,12时函数yx的图像都过原点(0,0)；

③当1时，yx的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如c2）；

yx2,3④当时，的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如c1）

⑤当

12时，yx的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如c3）

⑥当1时，yx的的图像不过原点(0,0)，且在第一象限是“下滑”曲线（如c4）

当0时，幂函数yx有下列性质：

（1）图象都通过点(0,0),(1,1)； （2）在第一象限内都是增函数；

（3）在第一象限内，1时，图象是向下凸的；01时，图象是向上凸的； （4）在第一象限内，过点(1,1)后，图象向右上方无限伸展。

当0时，幂函数yx有下列性质：

（1）图象都通过点(1,1)；

（2）在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的；

（3）在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近；向右无限地与x轴无限地接近； （4）在第一象限内，过点(1,1)后，

越大，图象下落的速度越快。

无论取任何实数，幂函数yx的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。

对号函数

b函数yax（a>0,b>0）叫做对号函数，因其在（0，+∞）的图象似符

x号“√”而得名，利用对号函数的图象及均值不等式，当x>0时，axbb2（当xa且仅当ax即x质:

当xbxbb+

时取等号），由此可得函数yax（a>0,b>0,x∈R）的性axbbb+

时，函数yax（a>0,b>0,x∈R）有最小值2，特别地，当aaxbb（a>0,b>0）在区间（0，）上是减函

axa=b=1时函数有最小值2。函数yax数，在区间（

b，+∞）上是增函数。 a因为函数yax（a>0,b>0）是奇函数，所以可得函数yax（a>0,b>0,x∈R-）的性质：

当xbbb时，函数yax（a>0,b>0,x∈R-）有最大值-2，特别地，aaxbb（a>0,b>0）在区间（-∞，-）上axbxbx当a=b=1时函数有最大值-2。函数yaxb，0）上是减函 a是增函数，在区间（-

奇函数和偶函数

（1）如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x值，都有f(－x)=－(x)．那么就称f(x)为奇函数．

如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x值，都有f(－x)=f(x)，那么就称f(x)为偶函数．

说明：(1)由奇函数、偶函数的定义可知，只有当f(x)的定义域是关于原点成对称的若干区间时，才有可能是奇

(2)判断是不是奇函数或偶函数，不能轻率从事，例如判断f(x) 是不易的．为了便于判断有时可采取如下办法：计算f(x)+f(－x)，视其结果而说明是否是奇函数．用

这个方法判断此函数较为方便：f(x)

(3)判断函数的奇偶性时，还应注意是否对定义域内的任何x值，

当x≠0时，显然有f(－x)=－f(x)，但当x=0时，f(－x)=f(x)=1，∴f(x)为非奇非偶函数．

(4)奇函数的图象特征是关于坐标原点为对称的中心对称图形；偶函数的图象特征是关于y轴为对称轴的对称图形．

(5)函数的单调性与奇偶性综合应用时，尤其要注意由它们的定义出发来进行论证．

例 如果函数f(x)是奇函数，并且在(0，+∞)上是增函数，试判断在(－∞，0)上的增减性．

解 设x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2＜0 则有－x1＞－x2＞0，

∵f(x)在(0，+∞)上是增函数， ∴f(－x1)＞f(－x2)

又∵f(x)是奇函数，∴f(x)=－f(x)对任意x成立， ∴=－f(x1)＞－f(x2) ∴f(x1)＜f(x2)．

∴f(x)在(－∞，0)上也为增函数．

由此可得出结论：一个奇函数若在(0，+∞)上是增函数，则在(－∞，0)上也必是增函数，即奇函数在(0，+∞)上与(－∞，0)上的奇偶性相同．

类似地可以证明，偶函数在(0，+∞)和(－∞，0)上的奇偶性恰好相反． 时，f(x)的解析式

解 ∵x＜0，∴－x＞0．

又∵f(x)是奇函数，∴f(－x)=－f(x)．

偶函数图象对称性的拓广与应用

我们知道，如果对于函数y＝f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做偶函数．偶函数的图象关于y轴对称，反之亦真．由此可拓广如下：

如果存在常数a，b，对于函数y＝f(x)定义域内任意一个x，a+x，b-x仍在

(a+b-x，f(x))，而f(a＋b－x)＝f[a＋(b－x)]＝f[b－(b－x)]＝f(x)，对称点P'(a+b-x， 称；