伴随矩阵相关问题求解方法小结(2)

来源：文都教育

在一部分求矩阵的行列式的题目中，会将其与伴随矩阵相结合进行考查. 根据性质

AA*A*AAE，很容易得到伴随矩阵的行列式，即

若A为n阶矩阵，则AA*n1.

例1 设A，B为n阶矩阵，A2，B3，则2A*B1 . 解 由kAknA，A*AA1，AA*n1及B11B，得到

n12A*B12A*B12nA*(1B)2nAB22n13.

伴随矩阵的每个元素都是原矩阵A的代数余子式，使得伴随矩阵与矩阵A之间有各种联系. 与伴随矩阵相关的另一个重要的知识点是求矩阵的秩. 矩阵A的秩与其伴随矩阵A*的秩之间有如下关系：

n,r(A)n,*设A为n（n2）阶方阵, 则r(A)1,r(A)n1, r(A)表示秩(A).

0,r(A)n1.上述关系在解与伴随矩阵相关的求解矩阵的秩的题目应用广泛，不仅要会求已知矩阵

A的秩求矩阵A*的秩，还要会求已知矩阵A*的秩求矩阵A的秩，应该在理解的基础上熟

记，遇到同类题目可直接应用，将会对解题提供很大的便利.

例2 设四阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A的秩为 .

解 根据上述矩阵A的秩与其伴随矩阵A的秩之间的关系，因为A的秩为2<4，因此可得矩阵A的秩为0.

*

例3 设A是n阶可逆矩阵，A是A的伴随矩阵，常数k≠0，则(kA)等于（ ）.

*1*

*

*

A. kAA B. k1A11A C. k1A1A1 D. kA1A1

解 因为A可逆，所以A*AA1，从而

(kA*)1k1(A*)1

k1(AA1)1

k1A(A1)1 k1A11A. 故选择B.

综上可知，掌握与伴随矩阵相关问题的求解方法，可以很好地解决诸如求已知矩阵A求其伴随矩阵或已知其伴随矩阵求矩阵A，求与伴随矩阵有关的秩，及求逆矩阵问题. 在《2016考研数学客观题简化求解》赠送的《客观题同步测试题》中会有相对于的测试题，帮生巩固复习效果，是考生复习过程中的得力助手.