求函数值域的几种常见方法详解

1．直接法：利用常见函数的值域来求。

一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R； 反比例函数ykx(k0)的定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}； 二次函数f(x)ax2bxc(a0)的定义域为R，

当a>0时，值域为{22y|y4acb4a}；当a<0时，值域为{y|y4acb4a}. 例1．求下列函数的值域

① y=3x+2 (-1x1) ②f(x)24x ③yxx1 解：①∵-1x1，∴-33x3，

∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5]

②∵4x[0,) ∴f(x)[2,) 即函数f(x)24x的值域是 { y| y2} ③yxx1x11x111x1 ∵

1x10 ∴y1 即函数的值域是 { y| yR且y1}（此法亦称分离常数法）（思考：如何使用口算法？）2．二次函数在给定区间上的值域(最值)。 例2． 求下列函数的最大值、最小值与值域：

①yx24x1； ②yx24x1,x[3,4]；

③yx24x1,x[0,1]； ④yx24x1,x[0,5]； y3解：①∵抛物线的开口向上，对称轴x2，函数的定义域R， 21∴x=2时，ymin=-3 , ∴函数的值域是{y|y-3 }. -2-1O-1123456x②∵抛物线的开口向上，对称轴x2 [3,4]， -2-3此时yx24x1在[3,4]

∴当x=3时，ymin=-2 当x=4时，ymax=1 ∴值域为[-2，1]. ③∵抛物线的开口向上，对称轴x2 [0,1]， 此时yx24x1在[0,1] 

∴当x=0时，ymax=1 当x =1时，ymin=-2 ∴值域为[-2，1]. ④∵抛物线的开口向上，对称轴x2 [0,5]，

∴当x=2时，ymin=-3 当 x=5时，ymax=6（思考：为什么这里直接就说当 x=5时，ymax=6，

而不去考虑x=0对应的函数值情况？答：因为观察图像可知x=5离对称轴较远，其函数值比x=0对应的函数值大）∴值域为[-3，6]. 注：对于二次函数f(x)ax2bxc(a0), ⑴若定义域为R时， ①当a>0时，则当xb时，其最小值2ymin4acb2a4a； ②当a<0时，则当xb2a时，其最大值y4acb2max4a. ⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其对称轴xb2a是否属于区间[a,b]. ①若b2a[a,b],则f(b2a)是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较f(a),f(b)的大小决定函数的最大（小）值.

②若b2a[a,b],则[a,b]是在f(x)的单调区间内，只需比较f(a),f(b)的大小即可决定函数的

最大（小）值.

注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；

②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论. 3．有解判别法：

有解判别法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，并且分子、分母，没有公因式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论 求函数y=x2例3．x1x2x1值域

解：原式可化为y(x2x1)x2x1,

整理得(y1)x2(y1)xy10，

若y=1,即2x=0,则x=0； 若y1,由题0， 即(y1)2-4(y-1)20, 解得

13y3且 y1. 综上：值域{y|

13y3}. 求函数yx2例4．5x6x2x6的值域（注意此题分子、分母有公因式，怎么求解呢？）

解：把已知函数化为y(x2)(x3)x36(x2)(x3)x31x3 (x2且 x-3) 由此可得 y1

∵ x=2时 y15 ∴ y15 ∴函数yx25x612的值域为 { y| y1且 yxx65} 说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称有解判别法.一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式并且分子、分母，没有公因式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论. 4．换元法

例5．求函数y2x41x的值域 解：设 t1x 则 t0 x=1t2

代入得 yf (t)2(1t2)4t2t24t2 开口向下，对称轴t1[0,)

∴t1时，ymaxf(1)4 ∴值域为(,4]

5．分段函数

例6．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.

y2x1(x2)3解：将函数化为分段函数形式：y3(1x2)，画出它的图象

2x1(x1)-1O2x（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y3}.

说明：以上是求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法.