九江市高一年级上数学期末试卷(2021-2022)

数学试卷

本试卷共4页，22小题，满分150分，考试时间120分钟.

考生注意：

1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名等项内容填写在答题卡上.

2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第II卷用黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合A{x|xx20},集合B{x|yA.(0,1)

C.(1,) 解:

21}，则AlnxB(A)

B.(0,1] D.[1,)

A{x|2x1}，B{x|0x1或x1}，AB(0,1)，故选A．

2.已知0ab1，c1，则下列不等式不成立的是（B） ．．． A.acbc C.

B.acbc

ccD.logcalogcb 

abc解:ab，c0，acbc，A正确；由幂函数yx(c1)在(0,1)单调递增可知

11ccB错误；0ab1，0，又c1，，C正确；由对数函数

ababylogcx(c1)的单调性可知D正确．故选B．

3.从某品牌500包口罩中抽取50包检查产品质量．抽取时，先将500包口罩按001，002，…，500进行编号，然后利用下面的随机数表选取样品(下面为随机数表的第7行至第9行) ．如果从随机数表的第7行第9列开始，从左向右每次选取3个数字，则抽中的第五个编号为（C）

8442 1753 3157 2455 0688 7704 7447 6721 7633 1525 8392 1206 7663 0163 7859 1695 5567 1998 1050 7175 1286 7358 0744 3952 3879 3321 1234 2978 56 0782 5242 0744 3815 5100 1342 9966 A.447

B.258

C.392

D.120

解:从随机数表从第7行第9列开始向右读，每次选取3个数字，依次为：315，724，550，688，770，474，476，721，763，315，258，392，其中724，550，668，770，721，763超出范围，去掉；315重复了，因此所选第5个数为392，故选C. 4.下列函数中，偶函数的是(D) A.yx

C.ylnxln(x)

3B.ye

x

1xD.yln(1x)ln(1x)

解:选项A为奇函数，选项B为非奇非偶函数，选项C的定义域为(1,)，故为非奇非偶函数，选项D的定义域为(1,1)，且f(x)f(x)为偶函数，故选D.

5.在中国古代，开方是传统数学中一个重要门类，在《九章算术》、《周髀算经》、《张丘建算经》、《数书九章》、《杨辉算法》等著作中均有记载，其中《九章算术》最为重要，早在公元一世纪左右《九章算术》中就已经有了开平方和开立方的算法．某校为拓展学生的课外学习兴趣，拟从上述五部著作中任选三部作为学生课外拓展的参考书目，则所选三部著作中《九章算术》恰好被选中的概率为（D） A.

1 3B.

2 5C.

2 3D.

3 5解:将五部著作编号为：a1，a2，a3，a4，a5，从五部著作中随机选取三部的所有事件为:

a1a2a3，a1a2a4，a1a2a5，a1a3a4，a1a3a5，a1a4a5，a2a3a4，a2a3a5，a2a4a5，a3a4a5，

共10个，其中a1出现的有6个，故所求概率P63，故选D. 105logax,x1,6.已知函数f(x)在R上单调递增，则实数a的取值范围是（C）

ax2,x1.A.(0,1)

B.[2,)

C.(1,2]

D.(1,)

解:依题意得a1,a20. 解得1a2.故选C.

7.已知正数x,y满足(x1)(y1)4，则xy的最小值为(B) A.4

解:由题意可知y1，

B.6

C.8

D.10

(x1)(y1)4，x4y3， 1y1y1x0，y0，y10，x解法一：

411，即x10， y1(x1)(y1)2(x1)(y1)4，xy6，

当且仅当x1y12，即xy3时，等号成立，故xy的最小值为6.

解法二：xy441y(y1)2， y1y1426， y1y10，xy2(y1)当且仅当y14，即xy3时，等号成立，故xy的最小值为6. y1解法三：由(x1)(y1)4，得xyxy3，

xy(xy2xy2)，xy3()，即(xy)24(xy)120， 22x0，y0，xy60，

(xy6)(xy2）0，

当且仅当xy3时，等号成立，故xy的最小值为6.故选B.

8.函数f(x)

x的图象大致是（A） ln|x|y y 3-1 o

-1 o 1 x -1 o 1 x A

y B

y 1 x -1 o 1 x C

D

解:

x3xf(x)f(x)，f(x)为奇函数，故排除C；

ln|x|ln|x|3当0x1时，lnx0,3x0，f(x)0，排除D， 当x1时，lnx0,3x0，f(x)0，排除B.故选A．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9.下列各组函数中，不是同一函数的一组是（BD） ．．A.f(x)log21x与g(x)log2x

2t24B.f(t)与g(x)x2

t2D.f(x)x与g(x)alogaxC.f(x)1x与g(t)解:对于A，函数f(x)log2t1,t1,

1t,t1.

x定义域是(0,)，g(x)1log2x定义域为(0,)，对2应法则相同，f(x)与g(x)是同一函数；

t24对于B，函数f(t)定义域是(,2)(2,)，g(x)x2定义域为R，f(t)t2与g(x)不是同一函数；

x1,x1,f(x)1x对于C，因为函数f(x)与g(t)的定义域均为R，对应法则相1x,x1.同，f(x)与g(t)是同一函数；

对于D，函数f(x)x定义域为R，g(x)a一函数． 故选BD.

10.2021年12月2日是第10个全国交通安全日，某市交通部门为增强群众交通安全意识，在某路口随机调查500个成年人是否了解全国交通安全日，结果其中有450个成年人了解全国交通安全日．在这一过程中，下列说法正确的是（AD） A.数据的获取方式是直接获取 B.样本是450个成年人

logax定义域是(0,)，f(x)与g(x)不是同

C.总体是500个成年人 D.该市约有10%的成年人不了解全国交通安全日

解:由题意知，数据的获取方式是直接获取，所以A选项正确；因为样本是这500个成年人，总体是该市成年人，所以B、C选项均不正确，根据样本数据，可得该市成年人了解全国交通安全日的概率为故选AD．

11.甲、乙两人破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为译出密码”，事件B “乙译出密码”，则（ACD） A.A与B为相互事件 C.两人都译出密码的概率为

B.A与B为对立事件

5010%，所以D选项正确． 50011和，记事件A“甲341 12D.恰有一人译出密码的概率为

5 12解:因为事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，故A与B为相互事件 ，A正确，B错误；

记事件C“两人都译出密码”,则P(C)P(AB)P(A)P(B)记事件D“恰有一人译出密码”， 则P(D)P(AB故选ACD．

12.设alog0.30.4，blog30.4，则(ABC) A.0a1 C.abab0 解:

B.1b0 D.ab0ab

111，C正确； 341213215AB)P(A)P(B)P(A)P(B)，D正确．

343412alog0.30.4log0.310，alog0.30.4log0.30.31，0a1，

11，1b0， 3blog30.4log310，blog30.4log3ab0，又

11log0.40.3log0.43log0.40.9(0,1)， ab0ab1，abab0，故选ABC. ab三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．其中第16题第1问2分，第2问3分. 13.“lnalnb”是“ab”的充分不必要条件．（填：“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”）

解:

lnalnbab0，“lnalnb”是“ab”的充分不必要条件．

14.对正在肆虐全球的“新冠病毒”，某科研团队研发了一款新药用于治疗．为检验药效，该团队从“新冠病毒”感染者中随机抽取100名，检测发现感染了“普通型毒株”、“Omicron型毒株”、“其他型毒株”人数占比为5:2:3，对其进行治疗后，统计出该药对

55%、70%，“普通型毒株”、“Omicron型毒株”、“其他型毒株”的有效率分别为80%、

那么预估该药对“新冠病毒”的总体有效率为72%． 解:依题意，该药对“新冠病毒”的总体有效率为

0.580%0.255%0.370%40%11%21%72%．

15.已知f(x)为R上的偶函数，g(x)为R上的奇函数，且f(x)g(x)2，则3xf(log32)5． 22 ①， x3解:f(x)为R上的偶函数，g(x)为R上的奇函数，f(x)g(x)f(x)g(x)23x，即f(x)g(x)23x ②，

联立①②解得：f(x)33，则f(log32)3log323log32x2a,x0,16.已知函数f(x)

xa2,x0.xx5． 2(1)若a1，则f(x)的最小值为2；

(2)若f(x)存在两个不同的零点，则实数a的取值范围是(0,1)解:(1)若a1，当x0时，f(x)21(1,0)，

当x0时，f(x)|x1|2[2,)，综上可知，x1时，f(x)min2． (2)①若a0，当x0时，f(x)2a0， 当x0时，f(x)|xa|2xa2，

所以f(x)至多有一个零点，如图1.不合题意，舍去；

②若0a1，当x0时，f(x)2a与x轴有一个交点， 当x0时，f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,)上单调递增，

xxx[2,)．

y O 图1 y x O x 图2 f(0)a20，f(a)20，所以x0时，f(x)有且仅有1个零点，

故0a1时，f(x)有两个不同的零点，如图2，符合题意． ③若a1，当x0时，f(x)2a与x轴没有交点，

xy x0时，f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,)上单调递增， f(a)20，f(x)有两个不同的零点，则f(0)a20， 解得a2，如图3： 综上，a的取值范围为(0,1)O x 图3 [2,)．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分10分)

(1)计算：log516log45log13log2453121212log52；

(2)已知xy12，xy9，且xy，求

xyxy12的值．

解:(1)

log516log45log2log452loglog452………1分

log13log331………2分

3log242log222………3分

5log522………4分

log516log45log13log245log5221223………5分

312121212122121212(2)

xyxy12(xy)1212(xy)(xy)(xy)2(xy) ① ………7分

xyxy12，xy9， ②

(xy)2(xy)24xy12249108………8分

又

xy， xy63 ③ ………9分

将②③代入①，得

xyxy1212121212293………10分

3631218.(本小题满分12分)

已知集合P{x|(xa1)(x2a1)0}，Q{x|(x3)(7x)0}(aR). (1)若a1，求(RP)(RQ)；

(2)若“xP”是“xQ”的充分不必要条件，求a的取值范围． 解:(1)因为a1，所以P{x|2x3}，则有又Q{x|3x7}，所以所以(RP)RP{x|x2或x3}………2分

RQ{x|x3或x7}………4分

(RQ){x|x2或x7}………6分

(2)因为“xP”是“xQ”的充分不必要条件，所以PQ………7分 由(xa1)(x2a1)0得x1a1，x22a1， ①若a0，则a12a1，此时P{x|2a1xa1}，

a0,因为PQ，则2a13,，a无实数解………8分

a17.②当a0时，P{1}，此时不满足PQ，舍去………9分 ③当a0时，a12a1，此时P{x|a1x2a1}，

a0,因为PQ，则a13,解得2a3………11分

2a17.综上，a的取值范围是{a|2a3}………12分 19.(本小题满分12分)

良好的体育锻炼习惯，对学生的学习和生活都非常有益．为响应双减，某校调查了学生的课外体育锻炼时间情况，在全体学生中随机抽取了200名学生进行调查，并将数据分成六组，得到如图所示的频率分布直方图.将平均每天课外体育锻炼时间在[40,60)上的学生评

价为锻炼达标，将平均每天课外体育锻炼时间在[0,40)上的学生评价为锻炼不达标． (1)估计这200名学生每天课外体育锻炼时间 的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点 值为代表）；

(2)在上述锻炼达标的学生中按分层抽样的方法 抽取8名，再从这8名同学中随机抽取2名， 求这两名同学中至少有一名每天体育锻炼时间 在[50,60)的概率；

(3)学校需要对位于样本数据的15%分位数之前的同学家长发出微信消息提醒，请求出

15%分位数．

解:(1)x50.08150.16250.32350.24450.15550.0528.7 ………3分

(2)根据题意可得，抽取的8名同学中，时间在[40,50)的有6名，记为a1，a2，a3，a4，

a5，a6，时间在[50,60)的有2名，记为b1，b2………5分

从8名同学中随机抽取2人的基本事件为a1a2，a1a3，a1a4，a1a5，a1a6，a1b1，a1b2，

a2a3，a2a4，a2a5，a2a6，a2b1，a2b2，a3a4，a3a5，a3a6，a3b1，a3b2，a4a5，a4a6，a4b1，a4b2，a5a6，a5b1，a5b2，a6b1，a6b2，b1b2共28个………6分

记事件A为两名同学中至少有一名每天体育锻炼时间在[50,60)， 则A包含的基本事件个数有13个………7分 所以P(A)13………8分 28(3)由图可知，前两组频率之和为0.24，所以15%分位数在第二组………9分 设其为x,则0.08(x10)0.0160.15………11分

解得x14.375，即样本数据的15%分位数为14.375………12分 20.(本小题满分12分)

近期九江市各部门掀起创建文明城市高潮，为增强师生创建全国文明城市意识，某校组织了一次教师创建全国文明城市知识考核，每位教师必需参加且最多参加2次考核，一旦第一次考核通过则不再参加第二次考核，2次考核未通过的教师将被扣除文明积分.已知教师甲每

21，教师乙每次考核通过的概率为，且甲乙每次是否通过相互. 32(1)求甲通过考核的概率；

(2)求甲乙两人考核的次数和为3的概率.

次考核通过的概率为

解:(1)解法一：甲第一次考核通过的概率为P1甲第二次考核通过的概率为P2(1)2………2分 322………4分 39228P………6分 甲通过考核的概率PP12399221解法二：甲考核未通过的概率为P(1)(1)………3分

33918甲通过考核的概率P1P1………6分

99211(2)甲考核1次乙考核2次的概率为P(1)………8分 3323211乙考核1次甲考核2次的概率为P4(1)………10分

326111甲乙两人考核的次数和为3的概率为PP3P4………12分

36221.(本小题满分12分)

232a (a0). 2xa(1)证明：f(x)在R上单调递增；

已知函数f(x)1(2)若存在区间[m,n](mn)，使得f(x)在[m,n]的值域为[2,2]，求a的取值范围. 解:(1)设任意x1x2，则

mn2a2a2a2a2a(2x22x1) f(x1)f(x2)(1x1)(1x2)x12a2a2a2x2a(2x1a)(2x2a)………2分

a0，x1x2，2x12x2，2a(2x22x1)0，2x1a0，2x2a0

………4分

f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2),f(x)在R上单调递增………5分 2am12,2ma(2)由(1)知，f(x)在[m,n]上单调递增，………6分

2an12.n2a2a即m,n是方程1x2x的两个不等实数根………7分

2ax2x即方程(2)(a1)2a0有两个不等实数根………8分

x令t20，则方程方程t(a1)ta0有两个不等正实数根，

2(a1)24a0,故a10, ………10分 a0.a322,或a322,解得a1, ………11分

a0.即322a0，故a的取值范围是(322,0)………12分

22.(本小题满分12分)

已知函数f(x)是定义在(2,2)上的奇函数，当x(0,2)时，

f(x)logaxloga(2x). (1)求f(x)的零点；

1(2)若f()0，求f(x)的单调区间.

2解:(1)f(x)是定义在(2,2)上的奇函数，f(0)0，0是f(x)的一个零点

………2分

当x(0,2)时，令f(x)logaxloga(2x)0，得loga(2xx2)0，

2xx21x1 ，1是f(x)的一个零点………4分 0x2又f(x)是定义在2,2上的奇函数，f(1)f(1)0，1是f(x)的一个零

点………5分

1………6分 故f(x)的零点为1,0,(2)当x(0,2)时，f(x)loga(x22x)，

13f()0，loga0，0a1………7分 24f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增………9分

又f(x)是定义在(2,2)上的奇函数，f(x)在(1,0)上单调递减，在(2,1)上单调递

增………11分

故f(x)的增区间为(2,1)和(1,2)，减区间为(1,0)和(0,1)………12分