2020年江西省九江市高三一模数学试题

数学试题

考试时间120分钟 总分150分

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有

一个是符合题目要求的） 1．已知集合A1,1,2，Bx|x10，则AB（ ）

A．1,1,2

1,2 B．

C．1,2 D．2

2．若复数z满足(1i)z2i（i为虚数单位），则复数z虚部为（ ） A．i B．i C．1 3.等差数列an中，a3a58，则a1a4a7（ ）

A．8 B．12 C．16 D．20 4. 在平面直角坐标系中，P(3,4)为角的终边上一点，则sin(D．1

4)（ ）

A．

227272 B． C． D． 10101010x2y215．已知椭圆C:221(ab0)的离心率为，且椭圆C的长轴长与焦距之和为6，

2ab则椭圆C的标准方程为（ ）

4x2y2x2y21 B．1 A．252x2x2y2y21 1 D．C．

2436.若平面向量a在b方向上的投影为2，且b(1,3)，则ab（ ） A．10 B．10 C．210 D．20

x2cosx7．函数f(x)的图象大致为（ ）

xA． B． C． D．

8.已知aloge,b(6)2,c1，则a,b,c的大小关系为（ ） ln2A．cba B．cab C．abc D．acb

9．下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b，i的值分别为6，8，0，则输出a和i的值分别为（ ）

A． 2，3 B．0，3 C． 0，4 D．2，4

10．偶函数f(x)x(eae)的图象在x=1处的切线斜率为（ ）

A．2e 11. 已知椭圆

B．e

C．

xx2 eD．e+1 ex2y221(ab0)的左顶点和上顶点分别为A、B，左、右焦点分别是2abF1,F2,在线段AB上有且只有一个点P满足PF1PF2，则椭圆的离心率为( )

A.355131 B. C. D. 232212．已知定义在R上的函数yf(x)对于任意的x都满足f(x1)f(x)，当1x1

3时，f(x)x，若函数g(x)f(x)loga|x|至少有6个零点，则a的取值范围是

（ ）

A．(0,](5,) B．(0,)[5,) C．(,](5,7) D．(,)[5,7) 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.某校现有高一、高二、高三三个年级共48个教学班，各年级学生数分别是1000人、1050人、1200人，若按分层抽样从全校抽出65名学生，则高二年级比高一年级多抽出 名学生. 14. 在区间0,3上随机取两个数a、b,则其中使函数f(x)bxa1在0,1内有零点的概率是 _____.

15.设数列an满足a2a410，点Pn(n,an)对任意的nN，都有向量PnPn1(1，2)，则数列an的前n项和Sn .

16. 已知长方体ABCDA1B1C1D1各个顶点都在球面上，ABAD8, AA16, 过棱

151511751175AB作该球的截面，则当截面面积最小时，球心到截面的距离为 ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17、（本小题满分12分）在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，函数f(x)2cosxsin(xA)sinA(xR)在x11处取得最小值.

12（1）求角A的大小.

（2）若a7且sinBsinC133，求ABC的面积. 1418、（本小题满分12分）为了研究数学、物理成绩的关联性，某位老师从一次考试中随机抽取30名学生，将数学、物理成绩进行统计，所得数据如下表，其中数学成绩在120分以上（含120分）为优秀，物理成绩在80分以上（含80分）为优秀。

数学成物理成数学成物理成数学成物理成

编号 编号 编号 绩xi 绩yi 绩xi 绩yi 绩xi 绩yi

1 108 82 11 124 80 21 122 2 112 76 12 136 86 22 136 82 3 130 78 13 127 83 23 114 84 4 132 91 14 80 73 24 121 80

5 108 68 15 138 81 25 88 52 6 140 88 16 141 91 26 142 83 7 143 92 17 109 85 27 125 69 8 99 72 18 100 80 28 135 90 9 106 84 19 92 73 29 112 82 10 120 77 20 132 82 30 128 92

（1）根据表格完成下面22的列联表： 物理成绩不优秀 物理成绩优秀 合计 数学成绩不优秀 数学成绩优秀 合计 并判断有多少把握数学成绩优秀与物理成绩优秀有关联？ ˆaˆbxˆ，由图中数据计算（2）若这一次考试物理成绩y关于数学成绩x的回归方程为y成x120,y80，

(xx)(yy)2736,(xx)iiii1i12nn28480，据此估计，数学成绩

每提高10分，物理成绩约提高多少分？（精确到0.1）.

n(adbc)2【附1】性检验：K

(ab)(cd)(ac)(bd)P(K2k) 0.15 2.072 0.10 2.706 0.050 3.841 0.010 6.635 k 【附2】若(x1,y1),(x2,y2),ˆa,(xn,yn)为样本点，yˆbxˆ为回归直线，

ˆ则b(xx)(yy)iii1n(xx)ii1nˆˆybx,a

19．（本小题满分12分）如图，在矩形ABCD中，AD2,AB4,E,F分别为AB,AD的中点，现将ADE沿DE折起，得四棱锥ABCDE . (1)求证：EF//平面ABC；

(2)若平面ADE平面BCDE，求四面体FACE的体积.

x2y2320.（本小题满分12分）已知椭圆C：221(ab0)的离心率为e，其左

ab2右焦点分别为F1、F2，|F1F2|23，设点M(x1,y1)、N(x2,y2)是椭圆上不同两点，

1且这两点分别与坐标原点的连线的斜率之积为.

4⑴求椭圆C的方程； ⑵求证：x1x2为定值，并求该定值. 21．（本小题满分12分）已知函数fxxlnx,fx为fx的导函数.

(1)令gxfxax,，试讨论函数gx的单调区间；

222(2)证明：fx2ex2．

请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．

22.（本小题满分10分）直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x1cos（为

ysinx2y21. 参数），曲线C2:3(1)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求C1,C2的极坐标方程； (2)射线3(0)与C1异于极点的交点为A，与C2的交点为B，求|AB|.

（

）．

的解集；

23.（本小题满分10分）已知函数

（1）当时，求

（2）若

的解集包含集合，求实数的取值范围．

参

1-12 ACBBC CCBDA DA 13. 1 14.

2 15.n2 16. 5 917.解：由已知得f(x)sin(2xA)；………………3分

f(x)在x11311A2k,其中kZ,即A2k,kZ 处取得最小值2122312A（0，）,A………………6分

3(2)由正弦定理abc得sinBsinCbcsinA………………8分

sinAsinBsinCa即133bc3,bc13由余弦定理a2b2c22bccosA得 1472a2(bc)22bc2bccosA,即49=169-3bc,bc=40………………10分

ABCS113bcsinA40103………………………12分 22218.解：（1）2×2列联表

物理成绩不优秀 物理成绩优秀 合计 数学成绩不优秀 6 6 12 数学成绩优秀 4 14 18 合计 10 20 30 ……………………2分

30(61464)22.5.……………4分 ∴K102012182而P(K2.072)0.15. ∴有85℅把握数学成绩优秀与物理成绩优秀有关联。……6分 （2）根据所给公式可求：b0.32,a41.6.……………8分 ∴y关于x的回归方程为y0.32x41.6.……………10分

据此估计，数学成绩每提高10分，物理成绩约提高3.2分。……………12分 19．解：(1)取线段AC的中点M，连接MF,MB， ……………………………1分

因为F为AD的中点，所以MF//CD，且MF21CD， 2

在折叠前，四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，

1CD.…………………………………………………2分 2所以MF//BE，且MFBE,…………………………………………………………3分 所以四边形BEFM为平行四边形，故EF//BM， …………………………………4分

所以BE//CD，且BE又EF平面ABC,BM平面ABC，

所以EF// 平面ABC.…………………………………………………………………5分 (2) 在折叠前，四边形ABCD为矩形，AD2,AB4,E为AB的中点， 所以ADE,CBE都是等腰直角三角形，且ADAEEBBC2， 所以DEACEB45，且DEEC22.

又DEADECCEB180,DEC90，………………………………7分 又平面ADE平面BCDE，平面ADE平面BCDEDE,CE平面BCDE，

所以CE平面ADE，即CE为三棱锥CEFD的高. ……………………………9分 因为F为AD的中点，所以SAEF所以四面体FACE的体积V11ADAE1，………………………10分 221122SAEFCE122.……………12分 33320.解：⑴c3，e3，∴a2，b2a2c21 2x2y21 ……………4分 则椭圆C的方程为4⑵由于

y1y21，则x1x24y1y2，x12x2216y12y22 …………6分 x1x24x22x12x12x22222y21，则1y1，1y11，y22 而

4444x12x22)(1)y12y22，则(4x12)(4x22)16y12y22 …………9分 ∴(14424为一定值. …………12分 (4x12)(4x22)x12x22，展开得x12x221．【解析】（1） gxfxax21lnxax2, gx112ax2axxx112ax2g(x)2ax(x0)…………………………………………………1分

xx

当a0时， gx0,gx单调递增，

gx的单调增区间为0,，无单调减区间；………………………………………2分

当a0时， gx0得x2a，…………………………………………………3分 2a当x0,2a2a；所以的单调递增区间为，……………4分 0,,gx0gx2a2a2a2a当x，单调递减区间为……………………5分

2a,,gx02a,.2ex2lnx2ex22.………………………6分 （2）即证： lnx，即证：

xxxx2ex22ex2exx2ex2x2ex222(x0),hx22令hx，……7分 2xexex4ex3当0x2时， hx0,hx单调递减； 当x2时， hx0,hx单调递增；

1，………………………………………………………8分 2lnx1lnx令kx，则kx，…………………………………………………9分

xx2所以hx的最小值为h2当0xe时， kx0,kx单调递增； 当xe时， kx0,kx单调递减； 所以kx的最大值为ke因为

1，……………………………………………………10分 e11

，……………………………………………………………………………11分 e2

2ex2所以kxhx，即lnx.…………………………………………………12分

xx1cos2222.解：（1）曲线C1:（为参数）化为普通方程为xy2x0，

ysin所以曲线C1的极坐标方程为2cos，……………………2分 曲线C2的极坐标方程为(12sin)3.……………………4分

22（2）射线射线3(0)与曲线C1的交点的极径为12cos31，……………6分

32(0)与曲线C2的交点的极径满足2(12sin23)3，

解得230，…………………8分 5所以|AB||12|23.解：（1）当

时，

301 …………………………………10分 5，

,

上述不等式可化为或或,

解得或或, ∴或或，

∴原不等式的解集为. ……………………………5分

（2）∵立，

∴

的解集包含，∴在上恒成

，即∴,

∴在上恒成立，∴∴，

所以实数a的取值范围是．……………………………10分