选修2-1椭圆、双曲线、抛物线经典解析(含详细答案)

知识点

一 定义和性质的应用

x2y2

设F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上的一点，已知P、F1、F2是一个

94

|PF1|

直角三角形的三个顶点，且|PF1|>|PF2|，求的值．

|PF2|

解 由题意知，a＝3，b＝2，则c2＝a2－b2＝5，即c＝5. 由椭圆定义，知|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝25. (1)若∠PF2F1为直角，则|PF1|2＝|F1F2|2＋|PF2|2， |PF1|2－|PF2|2＝20.

10|PF1|－|PF2|＝3，

即

|PF1|＋|PF2|＝6，

144

，|PF2|＝. 33

|PF1|7所以＝. |PF2|2

(2)若∠F1PF2为直角，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2. 即20＝|PF1|2＋(6－|PF1|)2，

解得|PF1|＝4，|PF2|＝2或|PF1|＝2，|PF2|＝4(舍去)．

|PF1|所以＝2.

|PF2|

二 圆锥曲线的最值问题

x2y2

已知A(4,0)，B(2,2)是椭圆＋＝1内的两定点，点M是椭圆上的动点，求|MA|＋|MB|

259

的最值．

解得|PF1|＝

解 因为A(4,0)是椭圆的右焦点，设A′为椭圆的左焦点，则A′(4,0)，由椭圆定义知|MA|+|MA′|=10.

如图所示，则|MA|+|MB|=|MA|+|MA′|+|MB||MA′|=10+|MB||MA′|≤10+|A′B|. 当点M在BA′的延长线上时取等号．

所以当M为射线BA′与椭圆的交点时，(|MA|+|MB|)max=10+|A′B|=10+210.

又如图所示，

|MA|+|MB|=|MA|+|MA′||MA′|+|MB|=10 (|MA′||MB|)≥10|A′B|，当M在

A′B的延长线上时取等号．

所以当M为射线A′B与椭圆的交点时，(|MA|+|MB|)min=10|A′B|=10 210.

三 轨迹问题

抛物线x2＝4y的焦点为F，过点(0，－1)作直线交抛物线于不同两点A、B，以AF，BF为邻边作平行四边形FARB，求顶点R的轨迹方程．

y＝kx－1

解 设直线AB：y＝kx－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，R(x，y)，由题意F(0,1)，由2，

x＝4y

可得x2

－4kx＋4＝0，

∴x1＋x2＝4k.

又AB和RF是平行四边形的对角线， ∴x1＋x2＝x，y1＋y2＝y＋1.

而y1＋y2＝k(x1＋x2)－2＝4k2－2， ∴x＝4k

，消去k得

y＝4k2

－3x2＝4(y＋3)． 由于直线和抛物线交于不同两点，∴Δ＝16k2－16>0， ∴k>1或k<－1，∴x>4或x<－4.

∴顶点R的轨迹方程为x2＝4(y＋3)，且|x|>4.

四 直线与圆锥曲线的位置关系

已知直线l：y＝kx＋b与椭圆x2 2

＋y2

＝1相交于A、B两点，O为坐标原点．

(1)当k＝0,0(2)OA⊥OB→

，求证直线l与以原点为圆心的定圆相切，并求该圆的方程．

解 (1)把y＝b代入x2＋y2

＝1，得x＝±2－2b22

.

∴|AB|=222b2 ∴S△AOB=

12×222b2·b =b22b2=2b1b2≤2·b21b2222 ， 当且仅当b212 =2，即b =2 时取等号．

∴△AOB的面积S的最大值为22.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由󰀀得(1+2k2)x2+4kbx+2b22=0，

2b224kb∴x1+x2=，x1·x2= . 2212k1k又∵OA⊥OB，

∴(x1，y1)·(x2，y2)=0， 即x1x2+y1y2=0.

又x1x2+ y1y2= x1x2 +( k x1+b)(k x2+b) =(k2+1)·x1x2+kb(x1 + x2) +b2

2b224kb=(k+1) kb+b2 2212k1k3b22k22=0， 212k2

∴3b2 = 2k2+2.

又设原点O到直线l的距离为d，

则d =

|b|1k22(1k2)63.

231k∴l与以原点为圆心，以该圆的方程为x2 + y2 =

6为半径的定圆相切， 32 3高考分析

x2y2

1．如图所示，椭圆C：2＋2＝1 (a>b>0)的一个焦点为F(1,0)，且过点(2,0)．

ab

(1)求椭圆C的方程；

(2)若AB为垂直于x轴的动弦，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M， (ⅰ)求证：点M恒在椭圆C上； (ⅱ)求△AMN面积的最大值．

解 方法一 (1)由题设a=2，c=1，从而b2=a2c2=3，

x2y21 所以椭圆C的方程为43(2)(ⅰ)由题意得F(1,0)、N(4,0)．

m2n21.① 设A(m，n)，则B(m，n)(n≠0)，43AF与BN的方程分别为：n(x－1)－(m－1)y＝0，

n(x－4)＋(m－4)y＝0.

n(x0－1)－(m－1)y0＝0， ②

设M(x0，y0)，则有

n(x0－4)＋(m－4)y0＝0， ③5m－83n

由②③得x0＝，y0＝. 2m－52m－52

(5m－8)2x2y03n20

由于＋＝＋ 434(2m－5)2(2m－5)2

(5m－8)2＋12n2(5m－8)2＋36－9m2＝＝＝1.

4(2m－5)24(2m－5)2所以点M恒在椭圆C上．

x2y2

(ⅱ)设AM的方程为x＝ty＋1，代入＋＝1，

43

得(3t2＋4)y2＋6ty－9＝0.

－6t

设A(x1，y1)、M(x2，y2)，则有y1＋y2＝2，

3t＋4

－9

y1y2＝2，

3t＋443·3t2＋3

|y1－y2|＝(y1＋y2)－4y1y2＝.

3t2＋4

令3t2＋4＝λ (λ≥4)，则

43·λ－1121

|y1－y2|＝＝43 －λ＋λ λ

1121

＝43 －λ－2＋4，

1111

因为λ≥4,0<≤，所以当＝，

λ4λ4

即λ＝4，t＝0时，|y1－y2|有最大值3，此时AM过点F.

19

△AMN的面积S△AMN＝|NF|·|y1－y2|有最大值. 22

方法二 同方法一．

(2)(ⅰ)由题意得F(1,0)、N(4,0)，

m2n2

设A(m，n)，则B(m，－n) (n≠0)，＋＝1.①

43

AF与BN的方程分别为n(x－1)－(m－1)y＝0，② n(x－4)＋(m－4)y＝0.③

5x－853y

由②③得：当x≠时，m＝，n＝.④

22x－52x－5x2y2

把④代入①，得＋＝1 (y≠0)．

43

3

n－(m－1)y＝0，25

当x＝时，由②③得

23

－n＋(m＋4)y＝0，2

2

n＝0，x2y2

解得与n≠0矛盾．所以点M的轨迹方程为＋＝1 (y≠0)，即点M恒在椭圆C

43y＝0，

上．

随堂练习

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．双曲线3mx2－my2＝3的一个焦点是(0,2)，则m的值是( ) A．－1 B．1

1010C．－ D. 202答案 A

－4x2y231

解析 化双曲线的方程为－＝1，由焦点坐标(0,2)知：－－＝4，即＝4，

13mmmmm

∴m＝－1.

2．设抛物线的顶点在原点，其焦点F在y轴上，又抛物线上的点P(k，－2)与点F的距离为4，则k等于( )

A．4 B．4或－4 C．－2 D．－2或2 答案 B

p

解析 由题意可设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)．则抛物线的准线方程为y＝，由抛

2

pp

物线的定义知|PF|＝－(－2)＝＋2＝4，

22

所以p＝4，抛物线方程为x2＝－8y，将y＝－2代入，得x2＝16，∴k＝x＝±4.

1

3．已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程为y＝±x，则此双曲线的离

2

心率为( )

5

A. B.5 25

C. D．5 2

答案 B

y2x2

解析 由已知可设双曲线方程为2－2＝1(a>0，b>0)，

ab

a1

∴±＝±，∴b＝2a，

b22

∴b＝4a2，∴c2－a2＝4a2， ∴c2＝5a2， c2c

∴2＝5.∴e＝＝5. aa

4．已知椭圆的方程是x2＋2y2－4＝0，则以M(1,1)为中点的弦所在直线方程是( ) A．x＋2y－3＝0 B．2x＋y－3＝0 C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋3＝0 答案 A

解析 设弦的端点为A(x1，y1)、B(x2，y2)， 则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2.

222

由x21＋2y1＝4，x2＋2y2＝4相减得

(x1＋x2)(x1－x2)＋2(y1＋y2)(y1－y2)＝0， ∴(x1－x2)＋2(y1－y2)＝0，

1

∴kAB＝－. 2

1

∴弦所在的方程为y－1＝－(x－1)即x＋2y－3＝0.

2

22xy

5．以－＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )

4122xy2x2y2

A.＋＝1 B.＋＝1 1612121622xyx2y2

C.＋＝1 D.＋＝1 1416答案 D

y2x2

解析 方程可化为－＝1，该方程对应的焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)．

124

x2y2

由题意知椭圆方程可设为2＋2＝1(a>b>0)，则a＝4，c2＝a2－b2＝12，∴b2＝a2－12

ba

＝16－12＝4.

x2y2

∴所求方程为＋＝1.

416

6．θ是任意实数，则方程x2＋y2cosθ＝4的曲线不可能是( ) A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 答案 C

解析 由于没有x或y的一次项，方程不可能是抛物线，故选C.

x2y2

7．双曲线＋＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是( )

4k

A．(－∞，0) B．(－12,0)

C．(－3,0) D．(－60，－12) 答案 B

c24－k2222

解析 由题意a＝4，b＝－k，c＝4－k，∴e＝2＝. a4

4－k

又∵e∈(1,2)，∴1<<4，

4

解得－12x2y2

8．双曲线2－2＝1 (a>0，b>0)的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|＝2|PF2|，

ab

则双曲线离心率的取值范围为( )

A．(1,3) B．(1,3]

C．(3，＋∞) D．[3，＋∞) 答案 B

解析 由题意知在双曲线上存在一点P， 使得|PF1|＝2|PF2|，如图所示．

又∵|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF2|＝2a，

即在双曲线右支上恒存在点P使得|PF2|＝2a， 即|AF2|≤2a.

∴|OF2|－|OA|＝c－a≤2a， ∴c≤3a.

又∵c>a，∴ac

∴1<≤3，即1a

x2y2π

9．已知A为椭圆＋＝1的右顶点，P为椭圆上的点，若∠POA＝，则P点坐标为

16123

( )

415A．(2,3) B. ，±55

13

C.，± D．(4，±83)

22

答案 B

x2y2

解析 由y＝±3x及＋＝1 (x>0)得解．

1612

10．等轴双曲线x2－y2＝a2截直线4x＋5y＝0所得弦长为41，则双曲线的实轴长是( )

6123

A. B. C. D．3 552答案 D

411＋16x2

解析 注意到直线4x＋5y＝0过原点，可设弦的一端为(x1，y1)，则有 ＝2512.

255

可得x2，取x1＝，y1＝－2. 1＝42

2593∴a2＝－4＝，|a|＝.

442

22xy

11．过椭圆2＋2＝1(0ab

△ABF2的最大面积是( )

A．ab B．ac C．bc D．b2 答案 C

解析 S△ABF2＝S△OAF2＋S△OBF2 1111＝c·|y1|＋c·|y2|(y1、y2分别为A、B两点的纵坐标)，∴S△ABF2＝c|y1－y2|≤c·2b＝bc. 2222

π

12．抛物线x2＝ay(a<0)的准线l与y轴交于点P，若l绕点P以每秒弧度的角速度按12

逆时针方向旋转t秒后，恰与抛物线第一次相切，则t等于( )

A．1 B．2 C．3 D．4 答案 C

a

解析 由已知得准线方程为y＝－，

4

a

∴P点坐标为(0，－)．

4

ay＝kx－4aa22

设抛物线的切线l1的方程为y＝kx－，由，得x－akx＋＝0，由题意得Δ

442x＝ay

a222

＝ak－4×＝0，

4

a

解得k2＝1，∴y＝x－，

4π4π

∴∠MPN＝，∴＝3，∴t＝3.

4π

12

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)

13．斜率为1的直线经过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线相交于A、B两点，则AB的长为________．

答案 8

解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)．则直线方程为y＝x－1，2y＝4x，由得x2－6x＋1＝0，∴x1＋x2＝6，x1·x2＝1， y＝x－1.

|AB|＝(1＋1)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝2(36－4)＝8.

14．已知圆x2＋y2＝1，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP′，则线段PP′的中点M的轨迹方程是________．

答案 x2＋4y2＝1

解析 设M(x，y)，P(x0，y0)由题意知 x0＝x，y0＝2y，∵P(x0，y0)在圆上，

2

有x20＋y0＝1，

∴x2＋4y2＝1.即为所求的轨迹方程．

15．F为抛物线y2＝2px (p>0)的焦点，P为抛物线上任意一点，以PF为直径作圆，则该圆与y轴的位置关系是__________．

答案 相切

解析 设P(x0，y0)，PF中点为M，

px0＋

21

则M到y轴距离d＝＝|PF|.

22

22xy

16．椭圆＋＝1上一点P到两焦点的距离积为m，则当m最大时，点P的坐标是

259

________．

答案 (0,3)或(0，－3)

解析 设椭圆的两焦点分别为F1、F2由椭圆定义知： |PF1|＋|PF2|＝2×5＝10. 由基本不等式知：

|PF1|＋|PF2|2

m＝|PF1|·|PF2|≤()＝25.

2

当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号． 即|PF1|＝|PF2|＝5，m取最大值． 所以P点为椭圆短轴的端点．

三、解答题(本大题共6小题，共74分) 17．(12分)

如图所示，线段AB与CD互相垂直平分于点O，|AB|=2a (a>0)，|CD|=2b (b>0)，动点P满足|PA|·|PB|=|PC|·|PD|，求动点P的轨迹方程．

解 以O为坐标原点，直线AB、CD分别为x轴、y轴建立坐标系，设P(x，y)是曲线上的任意一点，

则A(a,0)，B(a,0)，C(0， b)，D(0，b)． 由题意知：|PA|·|PB|=|PC|·|PD|，

22所以(xa)y(xa)2y2

=x(yb)2

22x2(yb)2 a2b2化简得：xy=

22

a2b2即动点P的轨迹方程为xy= .

22

2

18．(12分)k代表实数，讨论方程kx2＋2y2－8＝0所表示的曲线．

y2x2

解 当k<0时，曲线－＝1为焦点在y轴的双曲线；

48

－k

当k＝0时，曲线2y2－8＝0为两条平行于x轴的直线y＝2或y＝－2；

x2y2

当084k

当k＝2时，曲线x2＋y2＝4为一个圆；

y2x2

当k>2时，曲线＋＝1为焦点在y轴的椭圆．

48

k

x2y2

19．(12分)已知椭圆＋＝1及点D(2,1)，过点D任意引直线交椭圆于A，B两点，

94

求线段AB中点M的轨迹方程．

224x1＋9y1＝36， ①

解 设M(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意得2 2

4x2＋9y2＝36. ②

①－②，得4(x1－x2)(x1＋x2)＋9(y1－y2)(y1＋y2)＝0，因为M(x，y)为AB中点，所以x1

y1－y24x

＋x2＝2x，y1＋y2＝2y.所以4×2x(x1－x2)＋9×2y(y1－y2)＝0.当x1≠x2时，＝－.又

9yx1－x2

y1－y2y－1y－14x

＝，所以＝－.化简得4x2＋9y2－8x－9y＝0.因为当x1＝x2时，中点M(2,0)

9yx1－x2x－2x－2

满足上述方程，所以点M的轨迹方程为4x2＋9y2－8x－9y＝0.

20．(12分)一辆卡车高3米，宽1.6米，欲通过断面为抛物线的隧道，已知拱口AB的宽恰好为拱高CD的4倍，若|AB|＝a米，求能使卡车通过的a的最小整数的值．

解

a4aa2a设抛物线方程为x2=2py (p>0)，将点B的坐标代入得()=2p·()，解得p = ，

2240.所以抛物线方程为x2=ay.将点E(0.8，y)代入抛物线方程得y=，依题意点E到拱

a底AB的距离为

以拱顶为原点，拱高所在的直线为y轴建立坐标系，如图，点B的坐标为(,)，

a2aa0.|y| = ≥3，解得a≥12.21. 44a所以能使卡车通过的a的最小整数值为13.