2020-2021学年安徽合肥一中高二开学考试数学试卷

2020-2021学年安徽合肥一中高二开学考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知

4 sin

5

α，并且α是第二象限的角，那么tan()α

π+的值等于

A．

4

3

-B．

3

4

-C

．

3

4

D．

4

3

2．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查.这种抽样方法是（）

A．简单随机抽样法 B．抽签法 C．随机数表法 D．分层抽样法

3．已知变量,x y满足

1

10

1

x y

x

x y

+≤

+≥

-≤

，则2

z x y

=+的最小值为（）

A．3 B．1 C．-5 D．-6

4．某校举行演讲比赛，9位评委给选手A打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若统计员计算无误，则数字x应该是（）

A．5B．4C．3D．2

5．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为（）

A．105 B．16 C．15 D．1

6．4张卡片上分别有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）

A ．

13 B ．12 C ．23 D ．34

7．为了得到函数sin 26y x π?

=-

的图象，可以将函数cos 2y x =的图象（ ） A ．向右平移6

π

个单位长度 B ．向右平移

3π

个单位长度 C ．向左平移

6

π

个单位长度 D ．向左平移3

π

个单位长度

8．在等比数列{}n a 中，10a <，若对正整数n 都有1n n a a +<，则公比q 的取值范围（ ）

A ．1q >

B ．01q <<

C ．0q <

D ．1q < 9．函数cos 622x x

x

y -=

-的图像大致为（ ）

10．在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，点P 为矩形ABCD 内一点，则使得

1AP AC ?≥的概率为（ ）

A ．

18

B ．

14

C ．

34

D ．

78

11．正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若53,S -10S ，成等差数列，则1510S S -的最小值为（ ）

A ．2

B ．4

C ．6

D ．12

12．设2cos 240x x π-++=，sin cos 10y y y +-=，则sin(2)x y -的值为（ ）

A ．1

B ．1

2

C ．22

D ．32

二、填空题

13．已知等差数列{}n a 的公差为2，若134a a a ，

，成等比数列，则2a =________． 14．若0x >，0y >，且

13

1x y

+=，则3x y +的最小值是________.

15．若非零向量,a b 满足||1b =，a 与b a -的夹角为120°，则||a 的取值范围是________.

16．已知()2x x e e f x --=，x R ∈，若对任意(0,]2

π

θ∈，都有(sin )(1)0

f m f m θ+->成立，则实数m 的取值范围是____________.

三、解答题

17．设()f x a b =，其中向量(,cos 2)a m x ，(1sin 2,1)b x +，x R ∈，且函数()y f x =的图像经过点(

,2)4

π

.

（Ⅰ）求实数m 的值；

（Ⅱ）求函数()f x 的最小值及此时x 的值的集合.

18．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60][60,70][70,80][80,90][90,100].

(1)求图中a 的值；

(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；

(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x ）与数学成绩相应分数段的人数（y ）之比如下表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数.

19．ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos (cos cos )C a B b A c +=. （Ⅰ）求C ；

（Ⅱ）若ABC ?的周长为5，面积为

2

，求c .

20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n S a =-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设函数1

(

)()2

x f x =，数列{}n b 满足条件12b =，11

()(3)

n n f b f b +=

--，

*()n N ∈，若n

n n

b c a =

，求数列{}n c 的前n 项和n T . 21．如图，公园有一块边长为2的等边三角形ABC 的边角地，现修成草坪，图中DE 把草坪分成面积相等的两部分，D 在AB 上，E 在AC 上.

（Ⅰ）设(1)AD x x =≥,ED y =，求用x 表示y 的函数关系式；

（Ⅱ）如果DE 是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE 的位置应在哪里？如果DE 是参观线路，则希望它最长，DE 的位置又应在哪里？请予以证明.

22．已知22

()|1|f x x x kx =-++.

（Ⅰ）若2k =，求方程()0f x =的解；

（Ⅱ）若关于x 的方程()0f x =在（0,2）上有两个解1x ，2x ，求k 的取值范围，并证明12

11

4x x +<.

参

1．A 【解析】 【分析】

由诱导公式可得()tan tan παα+=，由角的正弦值和角所在的象限，求出角的余弦值，然后，正弦值除以余弦值得正切值．即可得到答案 【详解】

∵4sin 5α=，并且α是第二象限的角，，35cos α∴-＝ ， ∴tanα＝43-，则么()4

tan tan 3

παα+==-.

故选A ． 【点睛】

本题考查给值求值问题．掌握同角三角函数的基本关系式和诱导公式，并会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明． 2．D 【解析】

试题分析：由于男生组与女生组有明显差异，所以适合分层抽样，选D. 考点：抽样方法 3．C 【解析】

试题分析：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中(1,2),(1,2),(1,0)A B C ---，所以直线2z x y =+过点B 时取最小值-5，选C. 考点：线性规划

【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围. 4．D 【解析】

记分员在去掉一个最高分94和一个最低分87后，余下的7个数字的平均数是91，

()8290939291791x +++++++÷=，635=917=6372x x ，∴+?∴=，故选D.

5．C 【解析】

试题分析：第一次循环：1,3s i ==；第二次循环：3,5s i ==；第三次循环：15,7s i ==；结束循环，输出15s =，选C. 考点：循环结构流程图

【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 6．C 【解析】

试题分析：从这4张卡片中随机抽取2张，共有6种不同取法，其中取出的2张卡片上的数

字之和为奇数有4种不同取法，故所求概率为42

=

63，选C.

考点：古典概型概率

【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法 （1）列举法.

（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.

（3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. 7．B 【分析】

由三角函数的诱导公式可得sin 2cos(2)cos 2()6623

y x x x ππππ

=-=--=-

，再结合三角函数图像的平移变换即可得解. 【详解】

解：由sin 2cos(2)cos 2()6623

y x x x ππππ

=-

=--=-

，

即为了得到函数sin 26y x π

=-

的图象，

可以将函数cos 2y x =的图象向右平移3

π

个单位长度， 故选：B. 【点睛】

本题考查了三角函数图像的平移变换及三角函数的诱导公式，属基础题. 8．B 【解析】 试题分析：11111n n n n

n n a a a q a q q q --+对正整数n 都成立，所以01q <<，选

B.

考点：等比数列基本量 9．D 【解析】

试题分析：

cos 622x x x y -=

-为奇函数，所以不选A,当(0,)12x π∈时cos6022x x

x

y -=>-，所以不

选B ；当x →+∞时cos 60

22x x x

y -=

→-，所以不选C ，选D.

考点：函数图像

【思路点睛】（1）运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.

（2）在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究. 10．D 【解析】

试题分析：建立如图所示的平面直角坐标系，设，

则(,)AP x y =，(2,1)AC =，故，故由题设可得

，即点满足的条件是

，作出其图象可知点所在的区域的面积，即为四边形

的面积

,故其概率为，故选D ．

考点：几何概型．

【方法点睛】几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域． 11．D 【解析】

试题分析：由题意得

510523,0

S S S =-+>，而

22105515105555

()(3)9612

S S S S S S S S S -+-===++≥，当且仅当53S =时取等号，选D.

考点：等比数列性质

【思路点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法. 12．A 【解析】

试题分析：令()sin f x x x =+，则(2y)2sin 2y 2f y =+=，

()sin()2

222f x x x πππ

-=-+-=-,又()sin f x x x =+为R 上单调递增奇函数，所以222

2

y x x y π

π

=-

-=

sin(2)1x y -=，选

A.

考点：奇函数性质 13．6- 【解析】 【分析】

利用等差数列{a n }的公差为2，a 1，a 3，a 4成等比数列，求出a 1，即可求出a 2． 【详解】

∵等差数列{a n }的公差为2，a 1，a 3，a 4成等比数列， ∴（a 1+4）2=a 1（a 1+6）， ∴a 1=-8， ∴a 2=-6． 故答案为-6.． 【点睛】

本题考查等比数列的性质，考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，属基础题.． 14．16 【解析】

试题分析：13333(3)()101016

y x x y x y x y x y +=++=++≥+=，当且仅当x y

=时取等号

考点：基本不等式求最值

【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.

15

．

【解析】

试题分析：由正弦定理得||||23||(0,]

sin120sin 3sin 3a b a θθ=?=∈

考点：正弦定理

【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：

第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 16．(,1]-∞ 【解析】

试题分析：因为

()2x x

e e

f x --=

为R 上单调增函数，也为奇函数，所以(sin )(1)0sin 1f m f m m m θθ+->?>-对任意sin (0,1]θ∈都成立，即只需01m ≥-，

实数m 的取值范围是(,1]-∞ 考点：利用函数性质解不等式

【思路点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为f （g （x ））>f （h （x ））的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”，转化为具体的不等式（组），此时要注意g （x ）与h （x ）的取值应在外层函数的定义域内；在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.

17．（Ⅰ）1m =（Ⅱ）()f x

的最小值为1x 值的集合为3{|,}8x x k k Z π

π=-

∈.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先根据向量数量积得

()(1sin 2)cos 2f x a b m x x ==++，再根据函数

()y f x =的图像经过点(,2)4π列()(1sin )cos 2

422f m πππ

=++=，解得1m =（Ⅱ）先利

用配角公式将函数化为基本三角函数()1sin 2cos 21)

4f x x x x π

=++=+，再根

据正弦函数性质求最值 试题解析：解：（Ⅰ）

()(1sin 2)cos 2f x a b m x x ==++，

由已知()(1sin )cos 2

422f m πππ

=++=，得1m =.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

()1sin 2cos 21)

4f x x x x π

=++=+，

∴当sin(2)1

4x π

+=-时，()f x

的最小值为1

由sin(2)14x π+=-，得x 值的集合为3{|,}

8x x k k Z π

π=-∈.

考点：向量数量积，配角公式

【思路点睛】三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解.

18．（1）0.005（2）75 （3）10人 【解析】

试题分析 ：（1）由频率分布真方的面积为1，解得a 0.005=．（2）取每个区间的中点数值与这个区间的频率相乘的和为平均数．（3）数学成绩在[

)50,90的人数为：90．数学成绩在[

)50,90之外的人数为：1009010-=．

试题解析：（Ⅰ）由题意得2100.04100.03100.02101a ?+?+?+?=，解得0.005a =． （Ⅱ）由0.05550.4650.3750.2850.059573?+++?+?+?=． （Ⅲ）由频率分布表可知，

数学成绩在[)50,90的人数为：1450.050.40.30.210090234

+?+?+=

．

于是，数学成绩在[

)50,90之外的人数为：1009010-=．

19．（Ⅰ）3C π

=

（Ⅱ）c =【解析】

试题分析：（Ⅰ）先利用正弦定理将边转化为角2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，再根据两角和正弦公式得2cos sin()sin C A B C +=，而由三角形内角和关系及诱导公式得

2cos sin sin

C C C

=，即

1

cos

2

C=

，3

C

π

=

（Ⅱ）由三角形面积公式得

1

sin

2

S ab C

==

6

ab=，再根据余弦定理得

222

2cos

3

a b ab c

π

+-=

，变形得22

()3

a b ab c

+-=

，

22

(5)18

c c

-=

，解得c=

试题解析：（1）∵

2cos(cos cos)

C a B b A c

+=．

∴

2cos(sin cos sin cos)sin

C A B B A C

+=．

∴

2cos sin()sin

C A B C

+=，∴2cos sin sin

C C C

=．

∵0Cπ

<<，∴

1

cos

2

C=

，∴3

C

π

=

．

（2

）由题意知

1

sin

2

S ab C

==

6

ab=．

又

222

2cos

3

a b ab c

π

+-=

，

即

22

()3

a b ab c

+-=，∴22

()18

a b c

+-=．

又5

a b c

++=

∴

22

(5)18

c c

+-=

，∴c=

考点：正余弦定理，面积公式

【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：

第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.

第三步：求结果.

20．（Ⅰ）

2n

n

a=

（Ⅱ）

35

5

2

n n

n

T

+

=-

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由和项求通项，注意分类讨论：当2

n≥时，

111

222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=-?=，当1n =时，

1111222

a S a a ==-?=，因此

数列

{}

n a 成等比数列，首项为2，公比为2，通项为

2n

n a =（Ⅱ）先根据指数性质化简

11

()(3)n n f b f b +=

--得13n n b b +=+，所以数列{}n b 成等差数列，解出其通项公式

31n b n =-，最后利用错位相减法求数列

{}

n c 的前n 项和

n

T .

试题解析：（1）因为a b λ=，所以1

212n n S =-，122

n n S +=-.

当2n ≥时，

11(22)(22)2n n n

n n n a S S +-=-=---=.

当1n =时，11

1

1222

a S +==-=，满足上式，所以

2n

n a =.

（2）①∵

1()()

2x f x =，11()(3)n n f b f b +=

--， ∴1311

()12()2n n b b ---=

，∴1

3112

2n n b b -+=. ∴

13

n n b b +=+,,

13

n n b b +-=，又∵

1(1)2

b f =-=，

∴{}

n b 是以2为首项3为公差的等差数列，

∴

31

n b n =-.

②

312n n n n b n c a -=

=

123

1258

3431

22222n n n

n n T ---=

++++

+① 234112583431

2222

22n n n n n T +--=++++

+②

①-②得23411333

331

12

22222n n n n T +-=++++

+

-

11

11(1)

131421312212n n n n T -+--=+--

11131311(1)2222n n n n T -+-=+--

11

131

23(1)22n n n n T -+-=+-- 11

331

2322n n n n T -+-=+-- 35

52n n

n T +=-

考点：由和项求通项，等差与等比数列定义，错位相减法求和 【方法点睛】等比数列的判定方法 （1）定义法：若1n n a q a +=（q 为非零常数）或1

n n a

q a -=（q 为非零常数且n≥2），则{a n }是等比数列；

（2）等比中项法：在数列{a n }中，a n ≠0且2

12n n n a a a ++=（n ∈N *

），则数列{a n }是等比数列；

（3）通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c·q n

（c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *

），则{a n }是等比数列；

（4）前n

项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k·q n

－k （k 为常数且k≠0，q≠0,1），则{a n }是等比数列.

21．

（Ⅰ）

2)y x =≤≤（Ⅱ）如果DE 是水管，//

DE BC ，且DE =如果DE 是参观线路，DE 为AB 中线或AC 中线 【解析】

试题分析：（Ⅰ）先根据三角形面积求出AE ：1sin 6022x AE =

°，即

2

AE x =，再根据余弦定理

222

2cos 60y x AE x AE =+-°得y =定定义域：

2(0,2],(0,2][1,2]AE x x x =

∈∈?∈（Ⅱ）由基本不等式可得当且仅当

224x x =取最小值，由对勾函数值，当且仅当12x =或取最大值.

试题解析：（1）在ADE ?中，

2222222cos 60y x AE x AE y x AE x AE =+-?=+-°① 又

1

2ADE S ?

=

1sin 602

222ABC S x AE x AE ?=?=?=°②

②代入①得2222

()2(0)

y x y x =+->，

∴

2)y x =≤≤

（2）如果DE

是水管

2y ==，

当且仅当

224

x x =

，即

x ==”成立，故//DE BC ，且DE =.

如果DE 是参观线路，记224(

)f x x x =+

，

可知函数在上递减，在2]上递增，

故

max ()(1)

(2)5

f x f

f ===，∴

max y ==即DE 为AB 中线或AC 中线时，DE 最长. 考点：函数实际应用，基本不等式求最值

【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、

“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.

22．（Ⅰ）x =

或1

2x =-

.（Ⅱ）详见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据绝对值定义分类讨论方程的解：①当210x -≥，解方程2

22

10x x +-=，

得

x =

；②当210x -<，解方程210x +=，得1

2x =-

；（Ⅱ）因为在（0,2）上有两个解

1

x ，

2

x ，所以

12012

x x <≤<<；即

1+10

kx =，

222210

x kx +-=，消去k ，得

2

121220x x x x --=，从而2

12

11

2x x x +=，得证.

试题解析：（1）当2k =时，

22

()|1|20f x x x x =-++=， ①当210x -≥，即1x ≥或1x ≤-时，方程化为2

2210x x +-=

，解得

x =

，

因为

01<

<

，舍去，所以

x =； ②当2

10x -<，即11x -<<时，方程化为210x +=，解得：

1

2x =-

；

由①②得，当2k =时，方程()0f x =

的解为

12x --=

或1

2x =-

.

（2）不妨设1202x x <<<，因为

221

||1

()1||1x kx x f x kx x ?+->=?

+≤?，

所以()f x 在(0,1]是单调函数，故()0f x =在(0,1]上至多一个解，

若

1212

x x <<<，则

12102x x =-

<，故不符题意，因此12012x x <≤<<；

由

1()0

f x =，得

11k x =-

，所以1k ≤-；由2()0f x =，得2212k x x =-，所以712k -<<-；

故当7

12k -<<-时，方程()0f x =在(0,2)上有两个解；

因为

12012

x x <≤<<，所以

11

k x =-

，222210x kx +-=，

消去k ，得2

121220x x x x --=，即212112x x x +=，因为22x <，所以12

114x x +<.

考点：利用绝对值定不等式

【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．