文峰区高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学

一、选择题

1． Sn是等差数列{an}的前n项和，若3a8－2a7＝4，则下列结论正确的是（ ） A．S18＝72 C．S20＝80

班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________ ___________________________________________________________________________________________________ B．S19＝76 D．S21＝84

2． 已知直线l1 经过A（﹣3，4），B（﹣8，﹣1）两点，直线l2的倾斜角为135°，那么l1与l2（ ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直

3． 已知平面α、β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α⊥β；⑤α∥β．为使m∥β，应选择下面四个选项中的（ ） A．①④

B．①⑤

C．②⑤

D．③⑤

4． 设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5． 给出下列命题：①多面体是若干个平面多边形所围成的图形；②有一个平面是多边形，其余各 面是三角形的几何体是棱锥；③有两个面是相同边数的多边形，其余各面是梯形的多面体是棱台．其中 正确命题的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3 6． 直线l⊂平面α，直线m⊄平面α，命题p：“若直线m⊥α，则m⊥l”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为（ ） A．0

B．1

C．2

D．3

7． 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（ ） A．232

B．252

C．472

D．484

=2，则四面体D﹣ABC中最长

8． 如图，四面体D﹣ABC的体积为，且满足∠ACB=60°，BC=1，AD+棱的长度为（ ）

A． B．2 9． 若A．

C． D．3

，则等于（ ）

B．

C．

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D．

10．甲、乙两所学校高三年级分别有1 200人，1 000人，为了了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下： 甲校：

分组 频数 分组 频数 乙校：

分组 频数 分组 频数 则x，y的值分别为 A、12,7 B、 10,7 C、 10，8 D、 11,9

11．在三棱柱ABCA1B1C1中，已知AA1平面ABC，AA1=2，BC23,BAC 柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为（ ） A．

[70,80 1 [110,120 10 [80,90 2 [120,130 10 [90,100 8 [130,140 y [100,110 9 [140,150] 3 [70,80 3 [110,120 15 [80,90 4 [120,130 x [90,100 8 [130,140 3 [100,110 15 [140,150] 2 2,此三棱

322531 B．16 C. D． 332=（ ）

B．（﹣4，﹣8） C．（﹣3，﹣6） D．（﹣2，﹣4）

12．已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且∥，则A．（﹣5，﹣10）

二、填空题

13．已知函数f(x)lnxa1，x(0,3]，其图象上任意一点P(x0,y0)处的切线的斜率k恒 x2成立，则实数的取值范围是 ．

14．函数yfx图象上不同两点Ax1,y1,Bx2,y2处的切线的斜率分别是kA，kB，规定

A,BkAkBAB32（AB为线段AB的长度）叫做曲线yfx在点A与点B之间的“弯曲度”，给

出以下命题：

①函数yxx1图象上两点A与B的横坐标分别为1和2，则A,B3； ②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ③设点A,B是抛物线yx1上不同的两点，则A,B2；

2④设曲线ye（e是自然对数的底数）上不同两点Ax1,y1,Bx2,y2,且x1x21，若tA,B1x恒成立，则实数t的取值范围是,1.

其中真命题的序号为________.（将所有真命题的序号都填上）

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15．二面角α﹣l﹣β内一点P到平面α，β和棱l的距离之比为1：度．

16．【徐州市2018届高三上学期期中】已知函数

，则实数 的取值范围为______．

：2，则这个二面角的平面角是

（为自然对数的底数），若

17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC不是直角三角形，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）

①tanA•tanB•tanC=tanA+tanB+tanC ②tanA+tanB+tanC的最小值为3

③tanA，tanB，tanC中存在两个数互为倒数 ④若tanA：tanB：tanC=1：2：3，则A=45° ⑤当 18．若

的展开式中含有常数项，则n的最小值等于 ．

tanB﹣1=

2

时，则sinC≥sinA•sinB．

三、解答题

19． （本题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，直线AF平面ABCD，EF//AB，

AD2,ABAF2EF1，点P在棱DF上.

（1）求证：ADBF；

（2）若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值； （3）若FP1FD，求二面角DAPC的余弦值. 3

20．设函数f（x）=kx2+2x（k为实常数）为奇函数，函数g（x）=af（x）﹣1（a＞0且a≠1）． （Ⅰ）求k的值；

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（Ⅱ）求g（x）在[﹣1，2]上的最大值； （Ⅲ）当 21．设

，证明：

（Ⅰ）当x＞1时，f（x）＜（ x﹣1）； （Ⅱ）当1＜x＜3时，

．

2

时，g（x）≤t﹣2mt+1对所有的x∈[﹣1，1]及m∈[﹣1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

22．（本小题满分12分）某媒体对“男女延迟退休”这一公众关注的问题进行名意调查，下表是在某单位 得到的数据： 男 女 合计 赞同 50 30 80 反对 150 170 320 合计 200 200 400 （Ⅰ）能否有能否有97.5%的把握认为对这一问题的看法与性别有关？

（Ⅱ）从赞同“男女延迟退休”的80人中，利用分层抽样的方法抽出8人，然后从中选出2人进行陈述 发言，求事件“选出的2人中，至少有一名女士”的概率．

n(adbc)2参考公式：K2，(nabcd)

(ab)(cd)(ac)(bd)

【命题意图】本题考查统计案例、抽样方法、古典概型等基础知识，意在考查统计的思想和基本运算能力

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23．（本题满分15分）

x2y2x22设点P是椭圆C1:过点P作椭圆的切线，与椭圆C2:221(t1)交于A，y1上任意一点，

4tt4B两点．

（1）求证：PAPB；

（2）OAB的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

【命题意图】本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，意在考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．

24．如图所示，已知

+

=1（a＞＞0）点A（1，

）是离心率为

的椭圆C：上的一点，斜率为

的直

线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）求△ABD面积的最大值； 的值；否则说明理由．

（Ⅲ）设直线AB、AD的斜率分别为k1，k2，试问：是否存在实数λ，使得k1+λk2=0成立？若存在，求出λ

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25．已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点． （1）求椭圆C的方程；

求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

（2）是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，

26．如图的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm）．

（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； （2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；

（3）在所给直观图中连结BC′，证明：BC′∥面EFG．

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文峰区高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】

【解析】选B.∵3a8－2a7＝4， ∴3（a1＋7d）－2（a1＋6d）＝4，

18×17d17

即a1＋9d＝4，S18＝18a1＋＝18（a1＋d）不恒为常数．

2219×18d

S19＝19a1＋＝19（a1＋9d）＝76，

2同理S20，S21均不恒为常数，故选B. 2． 【答案】A

【解析】解：由题意可得直线l1的斜率k1=

又∵直线l2的倾斜角为135°，∴其斜率k2=tan135°=﹣1， 显然满足k1•k2=﹣1，∴l1与l2垂直

故选A

3． 【答案】D

【解析】解：当m⊂α，α∥β时，根据线面平行的定义，m与β没有公共点，有m∥β，其他条件无法推出m∥β， 故选D

【点评】本题考查直线与平面平行的判定，一般有两种思路：判定定理和定义，要注意根据条件选择使用．

4． 【答案】A

【解析】解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，

2

由x+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，

2

即“|x﹣2|＜1”是“x+x﹣2＞0”的充分不必要条件，

=1，

故选：A．

5． 【答案】B 【解析】111]

试题分析：由题意得，根据几何体的性质和结构特征可知，多面体是若干个平面多边形所围成的图形是正确的，故选B．

考点：几何体的结构特征． 6． 【答案】B

【解析】解：∵直线l⊂平面α，直线m⊄平面α，命题p：“若直线m⊥α，则m⊥l”， ∴命题P是真命题，∴命题P的逆否命题是真命题； ￢P：“若直线m不垂直于α，则m不垂直于l”，

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∵￢P是假命题，∴命题p的逆命题和否命题都是假命题． 故选：B．

7． 【答案】 C

【解析】【专题】排列组合． 【分析】不考虑特殊情况，共有

种取法，由此可得结论．

【解答】解：由题意，不考虑特殊情况，共有色卡片，共有故所求的取法共有故选C． 8． 【答案】 B

【解析】解：因为AD•（BC•AC•sin60°）≥VD﹣ABC=，BC=1， 即AD•

≥1，

≥2

=2， 种取法， ﹣

﹣

=560﹣16﹣72=472

种取法，两种红色卡片，共有

种取法，两种红

种取法，其中每一种卡片各取三张，有

种取法，其中每一种卡片各取三张，有

【点评】本题考查组合知识，考查排除法求解计数问题，属于中档题．

因为2=AD+当且仅当AD=这时AC=得BD=故选B．

=1时，等号成立，

，

，AD=1，且AD⊥面ABC，所以CD=2，AB=

，故最长棱的长为2．

【点评】本题考查四面体中最长的棱长，考查棱锥的体积公式的运用，同时考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，属于中档题．

9． 【答案】B

【解析】解：∵∴

，

∴（﹣1，2）=m（1，1）+n（1，﹣1）=（m+n，m﹣n） ∴m+n=﹣1，m﹣n=2， ∴m=，n=﹣， ∴故选B．

，

【点评】用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题等．

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10．【答案】B

1 200

【解析】 1从甲校抽取110×＝60人，

1 200＋1 000

1 000

从乙校抽取110×＝50人，故x＝10，y＝7.

1 200＋1 000

11．【答案】A 【解析】

考点：组合体的结构特征；球的体积公式.

【方法点晴】本题主要考查了球的组合体的结构特征、球的体积的计算，其中解答中涉及到三棱柱的线面位置关系、直三棱柱的结构特征、球的性质和球的体积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力和学生的空间想象能力，试题有一定的难度，属于中档试题. 12．【答案】B

【解析】解：排除法：横坐标为2+（﹣6）=﹣4， 故选B．

二、填空题

13．【答案】a【解析】

1 2第 10 页，共 18 页

1a12，因为x(0,3]，其图象上任意一点P(x0,y0)处的切线的斜率k恒成立，xx21a111112，x(0,3]，ax2x，x(0,3]恒成立，由x2x,a．1

2xx2222试题分析：f(x)'考点：导数的几何意义；不等式恒成立问题．

【易错点睛】本题主要考查了导数的几何意义；不等式恒成立问题等知识点求函数的切线方程的注意事项：（1）首先应判断所给点是不是切点，如果不是，要先设出切点． （2）切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点代入两者的函数解析式建立方程组．（3）在切点处的导数值就是切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件．

14．【答案】②③ 【解析】

试题分析：①错：A(1,1),B(2,5),|AB|17,|kAkB|7,(A,B)②对：如y1；③对；(A,B)④错；(A,B)|2xA2xB|(xAxB)(xx)x2222A22B273；17

21(xAxB)2；

|ex1ex2|(x1x2)(ee)2x1|ex1ex2|1(ee)x1x22，

1(ex1ex2)2111t11,因为恒成立，故t1.故答案为②③.111] (A,B)(A,B)|ex1ex2|(ex1ex2)2考点：1、利用导数求曲线的切线斜率；2、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题.

【方法点晴】本题通过新定义“弯曲度”对多个命题真假的判断考查利用导数求曲线的切线斜率、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题以及及数学化归思想，属于难题.该题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题.

15．【答案】 75 度．

【解析】解：点P可能在二面角α﹣l﹣β内部，也可能在外部，应区别处理．当点P在二面角α﹣l﹣β的内部

时，如图，A、C、B、P四点共面，∠ACB为二面角的平面角，

由题设条件，点P到α，β和棱l的距离之比为1：

故答案为：75． 键．

：2可求∠ACP=30°，∠BCP=45°，∴∠ACB=75°．

【点评】本题考查与二面角有关的立体几何综合题，考查分类讨论的数学思想，正确找出二面角的平面角是关

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16．【答案】【解析】令所以即

，则

的形式，然后根据函数的单调性

的取值应在外层函数的定义域内

为奇函数且单调递增，因此

与

点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为去掉“”，转化为具体的不等式（组），此时要注意17．【答案】 ①④⑤

【解析】解：由题意知：A≠

，B≠

，C≠

，且A+B+C=π

∴tan（A+B）=tan（π﹣C）=﹣tanC， 又∵tan（A+B）=

，

∴tanA+tanB=tan（A+B）（1﹣tanAtanB）=﹣tanC（1﹣tanAtanB）=﹣tanC+tanAtanBtanC， 即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，故①正确； 当A=

，B=C=

时，tanA+tanB+tanC=

＜3

，故②错误；

若tanA，tanB，tanC中存在两个数互为倒数，则对应的两个内角互余，则第三个内角为直角，这与已知矛盾，故③错误；

3

由①，若tanA：tanB：tanC=1：2：3，则6tanA=6tanA，则tanA=1，故A=45°，故④正确；

当tanB﹣1=

，

时， tanA•tanB=tanA+tanB+tanC，即tanC= ，C=60°，

2

此时sinC=

sinA•sinB=sinA•sin=sinA•（120°﹣A）（cos2A=

sin（2A﹣30°）

≤

，

cosA+sinA）=sinAcosA+

sin2A=

sin2A+﹣

2

则sinC≥sinA•sinB．故⑤正确；

故答案为：①④⑤

【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了和角的正切公式，反证法，诱导公式等知识点，难度中档．

18．【答案】5 【解析】解：由题意令

=0，得n=

rn﹣r

的展开式的项为Tr+1=Cn（x6）（

r

）=Cnr

=Cnr

，当r=4时，n 取到最小值5

故答案为：5．

【点评】本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条件转化成指数为0，得到n的表达式，推测出它的值．

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三、解答题

19．【答案】

【解析】【命题意图】本题考查了线面垂直、线线垂直等位置关系及线线角、二面角的度量，突出考查逻辑推理能力及利用坐标系解决空间角问题，属中等难度.

（3）因为AB平面ADF，所以平面ADF的一个法向量n1(1,0,0).由FP且此时P(0,1FD知P为FD的三等分点32222,).在平面APC中，AP(0,,)，AC(1,2,0).所以平面APC的一个法向量3333n2(2,1,1).……………………10分

|n1n2||n1||n2|6，又因为二面角DAPC的大小为锐角，所以该二面角的余弦值为3所以|cosn1,n2|6.……………………………………………………………………12分 320．【答案】 ∴k=0．

22

【解析】解：（Ⅰ）由f（﹣x）=﹣f（x）得 kx﹣2x=﹣kx﹣2x，

fx2x2x

（Ⅱ）∵g（x）=a（）﹣1=a﹣1=（a）﹣1

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①当a2＞1，即a＞1时，g（x）=（a2）x﹣1在[﹣1，2]上为增函数，∴g（x）最大值为g（2）=a4﹣1．

②当a2＜1，即0＜a＜1时，∴g（x）=（a2）x在[﹣1，2]上为减函数， ∴g（x）最大值为

．

∴

，

（Ⅲ）由（Ⅱ）得g（x）在x∈[﹣1，1]上的最大值为

22

∴1≤t﹣2mt+1即t﹣2mt≥0在[﹣1，1]上恒成立

令h（m）=﹣2mt+t，∴

2

即

所以t∈（﹣∞，﹣2]∪{0}∪[2，+∞）． 析解决问题的能力，属于中档题．

21．【答案】

【解析】证明：（Ⅰ）（证法一）： 记g（x）=lnx+

【点评】本题考查函数的奇偶性，考查函数的最值，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，考查学生分

﹣1﹣（x﹣1），则当x＞1时，g′（x）=+﹣＜0，

又g（1）=0，有g（x）＜0，即f（x）＜（ x﹣1）；…4′ （证法二）由均值不等式，当x＞1时，2

＜x+1，故

＜+．①

令k（x）=lnx﹣x+1，则k（1）=0，k′（x）=﹣1＜0，故k（x）＜0，即lnx＜x﹣1② 由①②得当x＞1时，f（x）＜（ x﹣1）； （Ⅱ）记h（x）=f（x）﹣h′（x）=+=＜=

﹣﹣

，

3

2

，由（Ⅰ）得，

﹣

令g（x）=（x+5）﹣216x，则当1＜x＜3时，g′（x）=3（x+5）﹣216＜0， ∴g（x）在（1，3）内是递减函数，又由g（1）=0，得g（x）＜0，

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∴h′（x）＜0，…10′

因此，h（x）在（1，3）内是递减函数，又由h（1）=0，得h（x）＜0， 于是，当1＜x＜3时，f（x）＜

22．【答案】

…12′

400501703015026.25 【解析】（Ⅰ）根据题中的数据计算：80320200200因为6．25＞5．024，所以有97．5%的把握认为对这一问题的看法与性别有关 （Ⅱ）由已知得抽样比为

2取2人共有a,b，a,c，a,d，a,e，a,1，a,2，a,3，b,c，b,d，b,e，b,1，b,2，

81=，故抽出的8人中，男士有5人，女士有3人．分别设为a,b,c,d,e,1,2,3，选8010b,3，c,d，c,e，c,1，c,2，c,3，d,e，d,1，d,2，d,3，e,1，e,2，e,3，1,2，1,3，2,328个基本事件，其中事件“选出的2人中，至少有一名女士”包含18个基本事件，故所

求概率为P189=． 281423．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

∴点P为线段AB中点，PAPB；…………7分

22

（2）若直线AB斜率不存在，则AB:x2，与椭圆C2方程联立可得，A(2,t1)，B(2,t1)，故SOAB2t1，…………9分

2若直线AB斜率存在，由（1）可得

4m24t21k2t218km2x1x22，x1x2，AB1kx1x24，…………11分

24k214k14k1第 15 页，共 18 页

点O到直线AB的距离d∴SOABm1k24k211k2，…………13分

1ABd2t21，综上，OAB的面积为定值2t21．…………15分 2

，∴a=

+

=1

c，

= …

=2﹣

=

﹣2

24．【答案】 【解析】解：（Ⅰ）∵

22∴b=c

∴椭圆方程为又点A（1，∴

2∴c=2 ∴a=2，b=

）在椭圆上，

，

=1 …

=1，

∴椭圆方程为

（Ⅱ）设直线BD方程为y=

2

与椭圆方程联立，可得4x+22

△=﹣8b+64＞0，∴﹣2

x+b，D（x1，y1），B（x2，y2）， bx+b2﹣4=0

=

，

＜b＜2

x1+x2=﹣∴|BD|=

b，x1x2=

设d为点A到直线y=∴△ABD面积S=

x+b的距离，∴d=

≤

当且仅当b=±2时，△ABD的面积最大，最大值为（Ⅲ）当直线BD过椭圆左顶点（﹣此时k1+k2=0，猜想λ=1时成立． 证明如下：k1+k2=

+

=2

，0）时，k1=

+m

，k2=

=2

﹣2

=0

当λ=1，k1+k2=0，故当且仅当λ=1时满足条件… 用，考查分析问题解决问题的能力．

25．【答案】

【点评】本题考查直线与椭圆方程的综合应用，考查存在性问题的处理方法，椭圆方程的求法，韦达定理的应

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【解析】解：（1）依题意，可设椭圆C的方程为F（﹣2，0），从而有

（a＞0，b＞0），且可知左焦点为

，解得c=2，a=4，

．

2222

又a=b+c，所以b=12，故椭圆C的方程为

（2）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=x+t，

由22

得3x+3tx+t﹣12=0，

≤t≤4

，

因为直线l与椭圆有公共点，所以有△=（3t）﹣4×3（t﹣12）≥0，解得﹣4

2

2

另一方面，由直线OA与l的距离4=由于±2

∉[﹣4

，4

，从而t=±2，

]，所以符合题意的直线l不存在．

【点评】本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．

26．【答案】 【解析】解：（1）如图

（2）它可以看成一个长方体截去一个小三棱锥，

3

设长方体体积为V1，小三棱锥的体积为V2，则根据图中所给条件得：V1=6×4×4=96cm，

V2=••2•2•2=cm3，

∴V=v1﹣v2=

cm3

（3）证明：如图，

在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，连接AD′，则AD′∥BC′

因为E，G分别为AA′，A′D′中点，所以AD′∥EG，从而EG∥BC′，

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又EG⊂平面EFG，所以BC′∥平面EFG；

2016年4月26日

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