以网格为载体的图形平移与旋转

以网格为载体的图形平移与旋转

以网格为背景的平移与旋转问题更是近年来不断涌现在各地中考试题中的新题型,下面以近年来中考题为例进行说明，希望对同学们的复习有所帮助. 一、网格中的平移

例1：（海淀）在5×5方格纸中将图①中的图形N平移后的位置如图②所示，那么下面平移中正确的是（ ）

A.先向下移动1格，再向左移动1格 B.先向下移动1格，再向左移动2格 C.先向下移动2格，再向左移动1格 D.先向下移动2格，再向左移动2格 解析：图形平移的方向可通过比较平移前后图形的位置确定，观察图①、图②可发现图形N既向下平移又向左平移.图形平移的距离可通过图形上的一点在竖直方向上和水平方向上移动的格数确定，观察图①、图②上的一点（如N最左上方的顶点），可知图形N向下平移了2格，向左平移了1格.选C.

例2：(淄博市)在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定距离，这样的图形变换为平移，如图，将网格中的三条线段沿网格线的方向（水平或垂直）平移后组成一个首位依次相接的三角形，至少需要移动（ ）.

A.12格 B.11格 C.9格 D.8格

图1

图2

A B - 1 -

解析:由题意可知,将三条线段都移到网格的中央时格数最少,如图1,将最上方的线段(记为线段AB)向下平移2格.将最左边的线段向右平移3格,使它的一个端点与点B重合.将最右边的线段向上平移2格,再向左平移2格,使它的一个端点与A点重合,此时三条线段恰好能依次相接成三角形.所以共移动2+3+2+2=9格.选C. 二、网格中的旋转

例3：（宿迁）如图3，在平面直角坐标系中，三角形②、③是由三角形①依次旋转后所得的图形．

（1）在图中标出旋转中心P的位置，并写出它的坐标； （2）在图上画出再次旋转后的三角形④．

解析：（1）本题是要确定旋转中心的，根据“对应点到旋转中心的距离相等”这一特征，可推断出旋转中心是对应点连线的垂直平分线的交点，这样旋转中心就可确定了;

（2）由①②③可知旋转的内角，加上（1）找到的旋转中心，问题迎刃而解.

(1)旋转中心点P位置如图所示,点P的坐标为(0,1);(2)旋转后的三角形④如图4所示.

例4：(黑龙江省鸡西市) 如图5，在网格中有一个四边形图案．

(1)请你画出此图案绕点D顺时针方向旋转900，1800，2700的图案，你会得到一个美丽的图案，千万不要将阴影位置涂错；

(2)若网格中每个小正方形的边长为l，旋转后点A的对应点依次为A1、A2、A3，求四边形AA1A2A3的面积；

(3)这个美丽图案能够说明一个著名结论的正确性，请写出这个结论．

图4

图3

y②①③O1－1xy②①③O④1 －1x- 2 -

解析:(1)根据旋转作图的步骤进行画图;(2)由条件可知四边形AA1A2A3的面积应为四边形BB1B2B3的面积与三角形BAA3的面积的差;(3)可推出勾股定理. (1)如图6，正确画出图案.

(2)如图，S四边形AAAA=S四边形ABBB-4S#BAA3

1231231

=(3+5)2-4××3×5=34, 故四边形似AA1A2A3的面积为34．

2 (3)结论：AB2+BC2=AC2或勾股定理的文字叙述.

Ａ 图5

B1A2B2A1O C O A2 B B1Ａ 图6

B 三、计算网袼中的图形面积

例5：如图，这是我们常见的“中国结”，试解决该图案的形成过程． 解析：解决此题的关键是认真观察和分析整个图案，找准 里面的“基本图案”，再加以适当分析．

该图案可以看作是以整个图案的二分之一，（上下 平分的一半或左右平分的一半）绕着图案的中心， 按照同一方向连续旋转1800后共同组成的图形；也可以 看作是图形的一半通过轴对称得到另一半所共同形成的．

点评：通过以上两例，我们可以发现：对图案形成过程的分析，是探索图形一些性质的必要手段，也是解决现实生活中具体问题的重要依据之一，同时也可以发展同学们的审美意识，在分析的时候，要注意认真观察整个图案，从中找出“基本图案”，再从其形状、大小、位置、距离等方面加以深入分析，同时我们还要注意学会对同一个图案从不同角度加以分析，要掌握好轴对称、平移、旋转等各自的特征．

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四、网袼中的图案设计

例6 如图是某设计师设计的方桌布图案的一部分，请你用旋转变换的方法，在方格纸上将该图形绕点0顺时针依次旋转90°，180°，270°，并画出它旋转后的图形，你会得到一个美丽的立图形，你试一试吧！但是涂阴影时要注意利用旋转变换的特点，不要涂错了位置，否则不会出现理想的效果。

分析：运用“对称点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角相等”等特征，很容易得到答案。 解：如图所示。

评注：能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形是课标的基本要求。本题是课标要求的绝妙体现，通过动手操作也可以感受数学图形的美妙。

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五种变换坐标系中翩翩舞

平移、旋转及轴对称等图形变换合成了大千世界许许多多千姿百态的运动．通过动手操作，探索图形在坐标系中的坐标变化规律，可加强对图形变换的理解．现举例予以说明． 一、轴对称变换

例1 （2010年江津市）已知点P（a，3）、Q(－2，b)关于x轴对称，则a＝______，b ＝________．

分析：根据关于x轴对称的点的坐标“横坐标不变，纵坐标互为相反数”，可求a、b的值．

解：因为点P（a，3）、Q(－2，b)关于x轴对称，所以a＝－2，b＝－3． 二、平移变换

例2 （2010年聊城市）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图2 所示，将△ABC向下平移5个单位，再向左平移2个单位，则平移后C点的坐标是（ ）

A．（5，－2） B．（1，－2） C．（2，－1） D．（2，－2） 分析：在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加（或

图2

减去）一个正数a，得到的新图形是由原图形向右（或左）平移a个单位长度；如果把各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，得到的新图形是由原图形向上（或下）平移a个单位长度．

解：由图2知，C点的坐标是（3，3）．将△ABC向下平移5个单位，再向左平移2个单位，则平移后C点的坐标是（1，－2）．故应选B． 三、旋转变换

例3 （2010年沈阳市）如图3，在方格纸上建立的平面直角坐标系中， 将Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转90，得到Rt△FEC，则点A的对应点F的坐标是（ ）

A．(1，1) B．(1，2) C．(1，2) D．(2，1)

图3

B A C F 1 y 1 O 1 2 x - 5 -

分析：准确画出绕C点顺时针方向旋转90°后的F点是解题关键． 解：如图3，由旋转可知：AC=CF=1，∴F点的坐标(－1，2)．故应选B． 四、全等变换问题

例4 （2010年泰州市）已知点A、B的坐标分别为（2，0）， （2，4），以A、B、P为顶点的三角形与△ABO全等，写出一个符合条件的点P的坐标： ．

分析：由于P点位置的不确定性，应注意结合全等三角形的 判定进行考虑．

解：借助图4分析，符合条件的P点有四个（4，0）；（4，4）；（0，4）；（0，0）． 五、中心对称变换

例5 在建立平面直角坐标系的方格纸中，每个小方格都是边长为1的小正方形，△ABC的顶点均在格点上，点P的坐标为(－1，0)，请按要求画图与作答：

（1）画作以点P为对称中心，与△ABC成中心对称的△A′B′C′． （2）把△ABC向右平移7个单位得△A′′B′′C′′．

A B C P O 图5

xy图4

（3）△A′B′C′与△A′′B′′C′′是否成中心对称？若是，找出对称中心P′，并写出其坐标． 分析：（1）只要根据中心对称的性质作出点A、B、C关于点P的对称点A′、B′、C′，然后顺次连接A′B′、A′C′、B′C′即可；（2）根据题中的“指令”分别作出A、B、C向右平移7个单位后的对应点A′′、B′′、C′′，再按原来图案的连接方式连接即得△A′′B′′C′′；（3）根据“如果对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分”可以判定△A′B′C′与△A′′B′′C′′成中心对称，这一点就是对称中心．

解：（1）、（2）如图6所示；（3）△A′B′C′与△A′′B′′C′′成中心对称．P′(2.5，0)．

P OC′ B′ A′ 图6

B A C yB A C

xP - 6 -