高中 导数起源于切线曲切联系

例1．设函数f(x)x2a．

（1）当a1时，求函数g(x)xf(x)在区间[0,1]上的最小值；

（2）当a0时，曲线yf(x)在点P(x1,f(x1))(x1a)处的切线为l，l与x轴交于点A(x2,0)，求证：x1x2a．

例2．已知函数fxaxbx3xa,bR在点1,f1处的切线方程为y20．

32⑴求函数fx的解析式；

⑵若对于区间2,2上任意两个自变量的值x1,x2都有fx1fx2c，求实数c的最小值；

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⑶若过点M2,mm2可作曲线yfx的三条切线，求实数m的取值范围． 例

3

已

知

函

数

fxx3mx2nx（m,nR）（1）若fx在x1处取得极大值，求实数m的取值范围； （2）若f10，且过点P0,1有且只有两条直线与曲线

yfx相切，求实数m的值．

例4 已知函数fxx352，其图像是曲线C． xaxb（a,b为常数）

2（1）设函数fx的导函数为fx，若存在三个实数x0，使得fx0x0与fx00同时成立，求实数b的取值范围；

（2）已知点A为曲线C上的动点，在点A处作曲线C的切线l1与曲线C交于另一点B，在点B处作曲线C的切线l2，设切线l1,l2的斜率分别为k1,k2，问：是否存在常数，使得

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k2k1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

例5 已知函数fxblnx，gxaxxaR．

2（1）若曲线fx与gx在公共点A1,0处有相同的切线，求实数a,b的值； （2）当b1时，若曲线fx与gx在公共点P处有相同的切线，求证：点P唯一； （3）若a0， b1，且曲线fx与gx总存在公切线，求：正实数a的最小值．

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