太谷县二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

太谷县二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 如图，一个底面半径为R的圆柱被与其底面所成角是30°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的离心率是（ ）

A．

B． C． D．

2． 双曲线A．13

B．15

上一点P到左焦点的距离为5，则点P到右焦点的距离为（ ） C．12

D．11

a,ab3． 定义运算：ab．例如121，则函数fxsinxcosx的值域为（ ）

b,ab2222,1 D．1,,A．  B．1,1 C．22224． 若函数fx2sin2x的图象关于直线x对称，且当 212217x1，x2，，x1x2时，fx1fx2，则fx1x2等于（ ）

312A．2

B．2 2 C.6 2 D．2 45． 已知全集U={0，1，2，3，4}，集合M={2，3，4}，N={0，1，4}，则集合{0，1}可以表示为（ ） A．M∪N

B．（∁UM）∩N C．M∩（∁UN） D．（∁UM）∩（∁UN）

B．随机数表法 B．﹣2

C．系统抽样法 C．8

D．分层抽样法 D．﹣8

6． 某企业为了监控产品质量，从产品流转均匀的生产线上每间隔10分钟抽取一个样本进行检测，这种抽样方法是（ ） A．抽签法 （ ） A．2

7． 已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（2015）=

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8． 已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），P（0＜X＜4）=0.8，则P（X＞4）的值等于（ ） A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.6

9． 四棱锥P﹣ABCD的底面是一个正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，E是棱PA的中点，则异面直线BE与AC所成角的余弦值是（ ）

A． B． C． D．

10．已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为

1时，则输入的值为（ ） 2

A．2 B．1 C．1或2 D．1或10

11．如图，在平面直角坐标系中，锐角α、β及角α+β的终边分别与单位圆O交于A，B，C三点．分别作AA'、BB'、CC'垂直于x轴，若以|AA'|、|BB'|、|CC'|为三边长构造三角形，则此三角形的外接圆面积为（ ）

A． B． C． D．π

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12．对于复数

,若集合具有性质“对任意,必有”,则当

时,A1 B-1 C0 D

二、填空题

等于 ( )

13．C两点，A为抛物线x2=﹣8y的焦点，过原点的直线l与函数y=的图象交于B，则|

+|= ．

14．函数yfx图象上不同两点Ax1,y1,Bx2,y2处的切线的斜率分别是kA，kB，规定

A,BkAkB（AB为线段AB的长度）叫做曲线yfx在点A与点B之间的“弯曲度”，给 AB出以下命题：

①函数yx3x21图象上两点A与B的横坐标分别为1和2，则A,B3； ②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ③设点A,B是抛物线yx1上不同的两点，则A,B2；

2④设曲线ye（e是自然对数的底数）上不同两点Ax1,y1,Bx2,y2,且x1x21，若tA,B1x恒成立，则实数t的取值范围是,1.

其中真命题的序号为________.（将所有真命题的序号都填上）

15．直线2x+3y+6=0与坐标轴所围成的三角形的面积为 ． 16．已知一个算法，其流程图如图，则输出结果是 ．

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17．设双曲线﹣=1，F1，F2是其两个焦点，点M在双曲线上．若∠F1MF2=90°，则△F1MF2的面积

是 ．

18．若直线：2xay10与直线l2：x2y0垂直，则a . 三、解答题

19．（本小题满分12分）1111]

1已知函数fxalnxa0，aR．

x（1）若a1，求函数fx的极值和单调区间；

（2）若在区间(0，e]上至少存在一点x0，使得fx00成立，求实数的取值范围．

20．设函数f（x）=emx+x2﹣mx．

（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增； （2）若对于任意x1，x2∈，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．

21．已知函数

，且

． ，求

的图象在直线

的最小值；

的下方．

（Ⅰ）求的解析式； （Ⅱ）若对于任意，都有（Ⅲ）证明：函数

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22．已知数列{an}中，a1=1，且an+an+1=2n， （1）求数列{an}的通项公式；

（2）若数列{an}的前n项和Sn，求S2n．

23．等差数列{an} 中，a1=1，前n项和Sn满足条件（Ⅰ）求数列{an} 的通项公式和Sn；

24．设函数f（x）=1+（1+a）x﹣x2﹣x3，其中a＞0． （Ⅰ）讨论f（x）在其定义域上的单调性；

（Ⅱ）当x∈时，求f（x）取得最大值和最小值时的x的值．

，

n1

（Ⅱ）记bn=an2﹣，求数列{bn}的前n项和Tn．

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太谷县二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】A

【解析】解：因为底面半径为R的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆， 则这个椭圆的短半轴为：R，长半轴为：

222

∵a=b+c，∴c=

=，

，

∴椭圆的离心率为：e==． 故选：A．

【点评】本题考查椭圆离心率的求法，注意椭圆的几何量关系的正确应用，考查计算能力．

2． 【答案】A

【解析】解：设点P到双曲线的右焦点的距离是x， ∵双曲线∴|x﹣5|=2×4 ∵x＞0，∴x=13 故选A．

3． 【答案】D 【解析】

上一点P到左焦点的距离为5，

考

点：1、分段函数的解析式；2、三角函数的最值及新定义问题.

4． 【答案】C 【

解

析

】

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考

点：函数的图象与性质.

【方法点晴】本题主要考查函数的图象与性质，涉及数形结合思想、函数与方程思想、转化化归思想，考查逻辑推理能力、化归能力和计算能力，综合程度高，属于较难题型．首先利用数形结合思想和转化化归思想可得

，从而fx2sin2x，再次利用数形结合思想和转化化归思想

3122311可得x1，fx1，对称，可得x1x2，从而 x2，fx2关于直线x11126611fx1x22sin．

3232kkZ，解得5． 【答案】B

【解析】解：全集U={0，1，2，3，4}，集合M={2，3，4}，N={0，1，4}， ∴∁UM={0，1}， ∴N∩（∁UM）={0，1}， 故选：B．

【点评】本题主要考查集合的子交并补运算，属于基础题．

6． 【答案】C

【解析】解：由题意知，这个抽样是在传送带上每隔10分钟抽取一产品，是一个具有相同间隔的抽样，并且总体的个数比较多， ∴是系统抽样法， 故选：C．

【点评】本题考查了系统抽样．抽样方法有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样，抽样选用哪一种抽样形式，要根据题目所给的总体情况来决定，若总体个数较少，可采用抽签法，若总体个数较多且个体各部分差异不大，可采用系统抽样，若总体的个体差异较大，可采用分层抽样．属于基础题．

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7． 【答案】B

【解析】解：∵f（x+4）=f（x）， ∴f（2015）=f（504×4﹣1）=f（﹣1）， 又∵f（x）在R上是奇函数， ∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2． 故选B．

【点评】本题考查了函数的奇偶性与周期性的应用，属于基础题．

8． 【答案】A

2

【解析】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（2，o）， ∴正态曲线的对称轴是x=2 P（0＜X＜4）=0.8，

∴P（X＞4）=（1﹣0.8）=0.1， 故选A．

9． 【答案】B

【解析】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系， 则B（2，0，0），E（0，0，1），A（0，0，0），C（2，2，0）， =（﹣2，0，1），

=（2，2，0），

设异面直线BE与AC所成角为θ， 则cosθ=故选：B．

=

=

．

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10．【答案】D 【解析】

2xx011x试题分析：程序是分段函数y ，当x0时，2，解得x1，当x0时，lgx，

22lgxx0解得x10，所以输入的是1或10，故选D.

考点：1.分段函数；2.程序框图.11111] 11．【答案】 A

【解析】（本题满分为12分）

解：由题意可得：|AA'|=sinα、|BB'|=sinβ、|CC'|=sin（α+β）， 设边长为sin（α+β）的所对的三角形内角为θ， 则由余弦定理可得，cosθ===

=sinαsinβ﹣cosαcosβ =﹣cos（α+β）， ∵α，β∈（0，∴α+β∈（0，π） ∴sinθ=

=sin（α+β） ）

﹣cosαcosβ

﹣cosαcosβ

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设外接圆的半径为R，则由正弦定理可得2R=∴R=，

2

∴外接圆的面积S=πR=

=1，

．

故选：A．

【点评】本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式，正弦定理，圆的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．

12．【答案】B 【解析】由题意，可取

，所以

二、填空题

13．【答案】 4 ．

【解析】解：由题意可得点B和点C关于原点对称，∴|

2

再根据A为抛物线x=﹣8y的焦点，可得A（0，﹣2），

+|=2||，

∴2||=4，

+

|=2|

|是解题的关键．

故答案为：4．

【点评】本题主要考查抛物线的方程、简单性质，属于基础题，利用|

14．【答案】②③ 【解析】

试题分析：①错：A(1,1),B(2,5),|AB|17,|kAkB|7,(A,B)②对：如y1；③对；(A,B)|2xA2xB|(xAxB)(xx)22A22B273；17

21(xAxB)2；

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④错；(A,B)|ex1ex2|(x1x2)(ee)2x1x22|ex1ex2|1(ee)x1x22，

1(ex1ex2)211111,因为恒成立，故t1.故答案为②③.111] t(A,B)|ex1ex2|(ex1ex2)2(A,B)考点：1、利用导数求曲线的切线斜率；2、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题.

【方法点晴】本题通过新定义“弯曲度”对多个命题真假的判断考查利用导数求曲线的切线斜率、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题以及及数学化归思想，属于难题.该题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题. 15．【答案】 3 ．

【解析】解：把x=0代入2x+3y+6=0可得y=﹣2，把y=0代入2x+3y+6=0可得x=﹣3， ∴直线与坐标轴的交点为（0，﹣2）和（﹣3，0）， 故三角形的面积S=×2×3=3， 故答案为：3．

【点评】本题考查直线的一般式方程和三角形的面积公式，属基础题．

16．【答案】 5 ．

【解析】解：模拟执行程序框图，可得 a=1，a=2

不满足条件a＞4a+1，a=3

2

2

不满足条件a＞4a+1，a=4

不满足条件a＞4a+1，a=5

2

2

满足条件a＞4a+1，退出循环，输出a的值为5．

故答案为：5．

【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的a的值是解题的关键，属于基本知识的考查．

17．【答案】 9 ．

【解析】解：双曲线

222

可得c=a+b=13，

=1的a=2，b=3，

﹣

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又||MF1|﹣|MF2||=2a=4，|F1F2|=2c=2在△F1AF2中，由勾股定理得： |F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2

=（|MF1|﹣|MF2|）2+2|MF1||MF2|，

22

即4c=4a+2|MF1||MF2|， 2

可得|MF1||MF2|=2b=18，

，∠F1MF2=90°，

即有△F1MF2的面积S=|MF1||MF2|sin∠F1MF2=×18×1=9． 故答案为：9．

【点评】本题考查双曲线的简单性质，着重考查双曲线的定义与a、b、c之间的关系式的应用，考查三角形的面积公式，考查转化思想与运算能力，属于中档题．

18．【答案】1 【解析】

试题分析：两直线垂直满足21-a20，解得a1，故填：1. 考点：直线垂直

【方法点睛】本题考查了根据直线方程研究垂直关系，属于基础题型，当直线是一般式直线方程时，需满足a1a2b1b20，当两直线平行时，l1:a1xb1yc10，l2:a2xb2yc20，当两直线垂直时，

abc需满足a1b2a2b10且b1c2b2c1，或是111，当直线是斜截式直线方程时，两直线垂直

a2b2c2k1k21，两直线平行时，k1k2，b1b2.1 三、解答题

1a，19．【答案】（1）极小值为，单调递增区间为1，，单调递减区间为0，（2）1；

ee，．

【解析】

11x12．令f'x0x1．再利用导数工具可得：极小值和2xxx11单调区间；（2）求导并令f'x0x，再将命题转化为fx在区间(0，e]上的最小值小于．当x0，

aa即a0时，f'x0恒成立，即fx在区间(0，e]上单调递减，再利用导数工具对的取值进行分类讨论.111] 试题分析：（1）由a1f'x第 13 页，共 18 页

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①

1e]成立，所以fx在区间(0，e]上单调递减， ，则f'x0对x(0，a11则fx在区间(0，e]上的最小值为fealnea0，

ee显然，fx在区间(0，e]的最小值小于0不成立． 若e11e，即a时，则有 ae 10， a- f'x ②若0fx 1 a0 极小值 1，e a+ ↘ ↗ 11所以fx在区间(0，e]上的最小值为faaln，

aa11， 由faalna1lna0，得1lna0，解得ae，即ae，aa第 14 页，共 18 页

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1综上，由①②可知，a，ee，符合题意．……………………………………12分

考点：1、函数的极值；2、函数的单调性；3、函数与不等式.

【方法点晴】本题考查导数与函数单调性的关系、不等式的证明与恒成立问题，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、分类讨论的思想与转化思想. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用. 20．【答案】

mx

【解析】解：（1）证明：f′（x）=m（e﹣1）+2x．

mxmx

若m≥0，则当x∈（﹣∞，0）时，e﹣1≤0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e﹣1≥0，f′（x）＞0．mxmx

若m＜0，则当x∈（﹣∞，0）时，e﹣1＞0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e﹣1＜0，f′（x）＞0．

所以，f（x）在（﹣∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．

（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在单调递减，在单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值． 所以对于任意x1，x2∈，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1的充要条件是

即

tt

设函数g（t）=e﹣t﹣e+1，则g′（t）=e﹣1．

当t＜0时，g′（t）＜0；当t＞0时，g′（t）＞0．故g（t）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．

1

又g（1）=0，g（﹣1）=e﹣+2﹣e＜0，故当t∈时，g（t）≤0．

当m∈时，g（m）≤0，g（﹣m）≤0，即合式成立；

当m＞1时，由g（t）的单调性，g（m）＞0，即e﹣m＞e﹣1．

m

m

当m＜﹣1时，g（﹣m）＞0，即e﹣+m＞e﹣1．

综上，m的取值范围是

21．【答案】

【解析】【知识点】导数的综合运用利用导数研究函数的单调性 【试题解析】（Ⅰ）对所以所以（Ⅱ）由

求导，得，解得． ，得

，

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，

，

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因为所以对于任意设令

当x变化时，

，

，都有

，则 ，解得

与

．

的变化情况如下表：

．

．

所以当

时，

，都有．

的图象在直线”，

， ．

，即时，

，

， ，解得，得

． ，所以，即．

的下方．

在

．

上为增函数．

（当且仅当即可．

时等号成立）． 的下方”

．

成立，

因为对于任意所以 ． 所以的最小值为（Ⅲ）证明：“函数等价于“即要证所以只要证由（Ⅱ），得所以只要证明当设所以令由所以所以

故函数的图象在直线22．【答案】

n

【解析】解：（1）∵a1=1，且an+an+1=2， ∴当n≥2时，

n1

∴an+1﹣an﹣1=2﹣，

．

2

当n=1，2，3时，a1+a2=2，a2+a3=2，．

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解得a2=1，a3=3，a4=5． 当n为偶数2k（k∈N）时，

*

a2k=（a2k﹣a2k﹣2）+（a2k﹣2﹣a2k﹣4）+…+（a6﹣a4）+（a4﹣a2）+a2 =22k﹣2+22k﹣4+…+24+22+1 ==

．

， ，

当n为奇数时，∴

∴

（k∈N）．

*

（2）S2n=（a2+a4+…+a2n）+（a1+a3+…+a2n﹣1）

=（a2+a4+…+a2n）+[（2﹣a2）+（23﹣a4）+…+（a2n﹣1﹣a2n）] =2+23+…+22n﹣1 ==

．

【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、“累加求和”，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

23．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d， 由

=4得

=4，

所以a2=3a1=3且d=a2﹣a1=2， 所以an=a1+（n﹣1）d=2n﹣1，

=

（Ⅱ）由bn=an2

n﹣1

，得

bn=（2n﹣1）2n﹣1．

12n1

所以Tn=1+32+52+…+（2n﹣1）2﹣ ①

2Tn=2+322+523+…+（2n﹣3）2n﹣1+（2n﹣1）2n ② ①﹣②得：﹣Tn=1+22+222+…+22n﹣1﹣（2n﹣1）2n

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=2（1+2+22+…+2n﹣1）﹣（2n﹣1）2n﹣1 =2×

n

﹣（2n﹣1）2﹣1

=2n（3﹣2n）﹣3．

n

∴Tn=（2n﹣3）2+3．

【点评】本题主要考查数列求和的错位相减，错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．此方法是数列求和部分高考考查的重点及热点．

24．【答案】

2

【解析】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）=1+a﹣2x﹣3x，

由f′（x）=0，得x1=∴由f′（x）＜0得x＜由f′（x）＞0得故f（x）在（﹣∞，在（

（Ⅱ）∵a＞0，∴x1＜0，x2＞0，∵x∈，当

，

，x2=，x＞＜x＜）和（

）上单调递增；

；

，x1＜x2， ；

，+∞）单调递减，

时，即a≥4

①当a≥4时，x2≥1，由（Ⅰ）知，f（x）在上单调递增，∴f（x）在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值．②当0＜a＜4时，x2＜1，由（Ⅰ）知，f（x）在单调递增，在上单调递减， 因此f（x）在x=x2=

处取得最大值，又f（0）=1，f（1）=a，

∴当0＜a＜1时，f（x）在x=1处取得最小值； 当a=1时，f（x）在x=0和x=1处取得最小值； 当1＜a＜4时，f（x）在x=0处取得最小值．

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