平面向量知识归纳和题型总结

平面向量

章节分析:

向量是近代数学中重要和基本的概念之一,具有代数形式和几何形式的“双

重身份”,能融数形于一体, 是沟通代数与几何的天然桥梁，能与中学数学内容的许多主干知识相结合,形成知识交汇点.向量是沟通代数、几何和三角函数的一

种工具,有着极其丰富的实际背景,在数学和物理学科中有重要应用.

向量有深刻的几何背景,是解决几何问题的有力工具,向量概念引入后,许多图形的基本性质都可以转化为向量的运算体系,例如平行、垂直、夹角、距离等. 对本章的学习要立足基础,强化运算,重视运用,能根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算,并能运用向量知识解决平面几何中的一些证明和计算问题.

平面向量的概念、几何运算和基本定理

1.向量的相关概念

2.向量的线性运算

3.向量的共线定理

非零向量a与向量b共线,当且仅当存在唯一一个实数,使ba。

延伸结论:A,B,C三点共线AB//AC当且仅当有唯一R,使ABAC 4.平面向量的基本定理

如果e1,e2是一个平面内两个不共线向量,那么对这平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2

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使:a1e12e2,其中不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 练习:（1）已知e1,e2是平面向量的一组基底,ax1e1y1e2,bx2e1y2e2, ①若ab当且仅当x1x2且y1y2.②若a0,则x1x20.

（2）如图OA,OB为单位向量，|OC|23，其中OA,OB的夹角为120，OA,OC的夹角为30。若

OCOBOA，求,的值。

5.一个常用结论:△ABC中, M为边BC的中点, 则有:2AMABAC. 练习:设ABC的重心为点G,设ABa,ACb.试用a,b表示AG. 典型例题分析:

知识点一:基本概念 例1.

1.如果e1,e2是平面内两个不共线向量,那么下列各说法错误的有( )

①e1e2(,R)可以表示平面内的所有向量;平面内的所有向量都可以表示成

e1e2(,R)。

②对于平面中的任一向量a使ae1e2的,有无数多对;

③若向量1e11e2与2e12e2共线,则有且只有一个kR,2e12e2k(1e11e2) ④若实数,使e1e20,则0. A.①② B.②③ C.③④ D.② 练习:1) 判断下列命题的真假

(1)向量AB与向量CD为共线向量,则A,B,C,D四点共线. (2)若ABCD则四边形ABCD为平行四边形. (3)若向量a∥b,bc则ac.

(4)a,b是两个向量,则|ab||a||b|当且仅当a,b不共线时成立 知识点二:向量的线性运算 例1. 化简:

(1)ABBCCA; (2)(ABMB)BOOM; (3)OAOCBOCO; (4)ABACBDCD; (5)OAODAD; (6)ABADDC; (7)NQQPMNMP.

例2.如图,四边形ABCD,E,F分别为AD,BC的中点,求证:ABDC2EF.

练习:（1)已知△ABC三个顶点A,B,C及平面内一点P,若PAPBPCAB,则 ( ) A.P在△ABC内部 B.P在△ABC外部 C.P在AB边所在直线上 D.P在线段BC上 (2)设M是平行四边形ABCD的对角线的交点,O为任意一点,则OAOBOCOD=

AOM. B.2OM C.3OM D.4OM

知识点三:平面向量基本定理和共线定理

例1.1）已知e1,e2为不共线向量,a3e12e2,b2e1e2,c7e14e2用a,b表示c.

2) 设e1,e2是两个不共线的向量,已知AB2e1ke2,CB2e13e2,CD2e1e2若A,B,D三点共线,

求k的值.

例2. 证明:平面内三点A,B,C共线

存在两个均不为0的实数m,n, 存在三个均不为0的实数l,m,n,

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使OAmOBnOC,且mn1. 练习: 证明:平面内三点A,B,C共线使lOAmOBnOC0,且lmn0.

向量数量积及坐标运算

一、基本知识回顾:

1、已知向量a,b,其中a(x1,y1),b(x2,y2):向量的坐标表示,实际是向量的代数表示.在引入向量的坐

标表示后,即可使向量运算完全代数化,将数与形紧密地结合了起来 向量几何表示或运算 向量运算与关系 向量坐标表示或运算 平行四边形法则或三角形法则 向量加减法 ab(x1x2,y1y2) 实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa 实数与向量的积 a(x1,y1)(x1,x2) abx1x2y1y2 ababcosa,b 存在唯一的实数，使ab （b0） 数量积ab 向量a//b (b0) 向量ab 22x1y1x1y2x2y1 x2y2ab0 x1x2y1y20 aaa (aa) cosa,b2向量的模a x1y1 x1x2y1y2xy212122abab b> 向量夹角A,B,C三点共线 OAxOByOC,且xy1 1）若向量a//b,b//c,则a//c. 2）若abbc,则ac 3）(ab)ca(bc), 4）(ab)2a2abb 5）abab 6）0a0,0a0

2、已知a(4,2),b(x,3).若a//b,则x ;若ab,则x .

3、已知A(4,1),B(7,3),则与AB同向的单位向量是 ,与AB平行的单位向量是 . 4、已知点A(1,5)和向量a(2,3),若AB3a,则点B的坐标为 5、已知a(5,5),b(6,3),c(1,8),若ambnc,求实数m,n. 6、已知a(1,0),b(2,1),则|a3b|

7）下列各组向量中,可以作为平面基底的是（ ） A.e1(0,0),e2(2,1) B. e1(4,6),e2(6,9) C.e1(2,5),e2(6,4) D. e1(2,3),e2(,) 8）已知a//b,a3,b4,则a在b方向上的投影为 二、典型例题讲解

例1:1）已知a3,b4,a与b的夹角为

2212343,求: 4word格式-可编辑-感谢下载支持

（1）a在b方向上的投影（2）(3a2b)(a2b)（3）ab

2）4、在直角△ABC中,CD是斜边AB上的高,则下列等式不成立的是（ ）

22A.|AC|ACAB B.|BC|BABC

（ACAB）（BABC） 2|AB|o3）已知向量e1,e2夹角为60，e12,e21,a2e17e2,be1te2若a与b的夹角为锐角，求t的

2C.|AB|ACCD D.|CD|2范围。

练习:1）已知向量a,b满足a1,b2,ab2,则ab 2）在ABC中，已知AB8,BC7,ABC120,求边AC的长度 例2: 1）已知A(2,3),B(4,3),点P在线段AB的延长线上,且|AP|直线AB上）

2）在ABC中,点P在BC上,且BP2PC,点Q是AC的中点,若PA(4,3),PQ(1,5),则BC

3|PB|,求点P的坐标（若点P在211例3:已知向量m(asin,),n(,cos).

222（Ⅰ）当a,且mn时,求sin2的值;

2（Ⅱ）当a0,且m∥n时,求tan的值.

221sin,), 解:（Ⅰ）当a时,m(222 mn, 由mn0, 得sincos上式两边平方得1sin2因此,sin22,………3分 21, 21.……………6分 211 .即sin2.………9分 42（Ⅱ）当a0时,m(sin,1), 由m∥n得sincos2tan,tan23或 23.…………12分 21tan33xx例4、已知向量a(cosx,sinx),b(cos,sin). 且x[0,]

222221)当ab时,求x的集合; 2)求ab; 3）求函数yab4|ab|的最小值 sin24）求函数yab2|ab|的最小值

35）若fxab2ab的最小值是,求实数的值.

2练习:1）设a,b是不共线的两非零向量,若|a||b|,且a,b夹角为60,求t为何值时,|atb|的值最小.

33xx2）已知向量a=(cosx,sinx),b=(cos,sin)且x∈[,].

222234（1）求a·b及|a+b|;

(2)若f(x) = a·b-|a+b|,求f(x)的最大值和最小值.

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向量与三角形

平面向量的应用十分广泛.由于三角形中的有关线段可以视为向量,线线之间的位置关系、大小关系以及边角关系均可以用向量表示,这就为向量与三角形的沟通、联系、交汇提供了条件,在这类问题中,往往要涉及到向量的和差运算、数乘运算、数量积运算以及向量的共线、垂直、向量的模等性质, 因此解题思路较宽、方法灵活、综合性强.

三角形之心

一、 外心.

三角形外接圆的圆心,简称外心. 是三角形三边中垂线的交点. （下左图）

二、 重心

三角形三条中线的交点,叫做三角形的重心.

掌握重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.（上右图）

三、垂心

三角形三条高的交点,称为三角形的垂心.（下左图）

四、内心

三角形内切圆的圆心,简称为内心. 是三角形三内角平分线的交点.

三角形内角平分线性质定理:三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例.（上右图）

知识点一、三角形形状与向量

1、已知向量OP1,OP2,OP3满足条件OP1OP2OP30,且|OP1|OP2||OP3|1,求证P1P2P3是正三角形.

2、O是ABC所在平面上的一点,若(OBOC)(OBOC2OA)0, 则ABC是 三角形.

3、已知非零向量AB,AC和BC满足(为 .

4、若O为ABC所在平面内一点,且满足OBOCOBOC2OA,则ABC的形状为 （ ） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 5、已知非零向量AB与AC满足(ABACACBC2)BC0且,则ABC|AB||AC||AC||BC|2AB|AB|AC|AC|)BC0且AB|AB||AC|AC1,则△ABC为 2（ ）

A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形

思路分析:

1.根据四个选择支的特点:本题可采用验证法来处理,不妨先验证等边三角形,刚好适合题意,则可同时排除其他三个选择支,故选D.

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2.由于AB|AB|AC|AC|所在直线穿过△ABC的内心,则由(AB|AB|AC|AC|)BC0知,ABAC（等腰三

角形的三线合一定理）;又AB|AB||AC|知识点二、三角形的“心”与向量

AC1,所以A,即△ABC为等边三角形,故选D. 23重心

在△ABC中,AD为BC边上的中线,根据向量加法的平行四边形法则,可得ABAC2AD.这说明

ABAC所在的直线过BC的中点D,从而一定通过ABC的重心.另外,G为ABC的重心的充要条

1OG(OAOBOC),（其中O为ABC所在平面内任意一点）,这件是GAGBGC0或

3也是两个常用的结论.

例1.已知A,B,C是平面上不共线的三点,O是ABC的外心,动点P满足1OP[(1)OA(1)OB(12)OC)](R),则P的轨迹一定通过ABC的（ ）

3A.内心 B.垂心 C.外心 D.重心 思路分析:取AB边的中点M,则OAOB2OM,

由OP1[(1)OA(1)OB(12)OC)](R)可得 33OP2OMOC2(OCOM)3OM(12)MC,所以

MP垂心

12MC(R),即点P的轨迹为三角形中AB边上的中线,故选D. 3AB|AB|cosBAC|AC|cosC)BC0,这说明

在ABC中,由向量的数量积公式,可得(AB|AB|cosBAC|AC|cosC所在直线是BC边上的高所在直线,从而它一定通过△ABC的垂心.

ABAC),0,则点P轨迹一定通过ABC的

|AB|cosB|AC|cosC（ ） A、外心 B、内心 C、垂心 D、重心

例2.点O是ABC所在平面内的一点,满足OAOBOBOCOCOA,则点O是ABC的 （ ）

例:若动点P满足OPOA(A.三个内角的角平分线的交点 B.三条边的垂直平分线的交点 C.三条中线的交点 D.三条高的交点

思路分析:由OAOBOBOC,得OB(OAOC)OBCA0,所以OBAC,即OBAC.同理OCAB,OABC.因此O是ABC三条高的交点,故选D.

练习:点O是ABC所在平面内的一点,满足|OC|2|AB|2|OB|2|AC|2|OA|2|BC|2,则点O是ABC的（ ）

A.三个内角的角平分线的交点 B.三条边的垂直平分线的交点 C.三条中线的交点 D.三条高的交点 内心

在ABC中,由两单位向量相加,可得AB|AB|AC|AC|所在直线是∠A的平分线所在的直线,从而一定经过

ABC的内心.

例3 O是平面上定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足

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OPOA(ABAC),[0,),则P的轨迹一定通过△ABC的（ ） |AB||AC|

B.内心

C.重心

D.垂心

A.外心 思路分析:设(ABAC)AB'为AB上的单位向量,()AC'为AC上的单位向量,则|AB||AC|)的方向为∠BAC的角平分线AD的方向,又0,, 所以()的方向相同,而OPOA(AB|AB|AC|AC|)与

((AB|AB|AB|AB|AC|AC|AC|AC|ABAC),所以点P在AD上移动,故P的轨迹一定|AB||AC|是通过△ABC的内心,选B. 外心

1、如图已知G为ABC内的一点,若GAGBGC,则G点为ABC的 心 2、O是ABC所在平面上的一点,若动点P满足OPOBOC(2ABABcosBACACcosC),(0,),则

222动点P的轨迹通过ABC的 心.