勾股定理

勾股定理

1.理解并掌握勾股定理的性质与方法，并能够解决相关问题；

教学目标

2.能准确理解勾股定理的推导公式；并能够解决勾股定理的有关计算3.能利用勾股定理解决有关计算与证明。

重、难点

1.能准确理解勾股定理的推导公式；并能够解决勾股定理的有关计算2.能利用勾股定理解决有关计算与证明。七年级-初一-数学

年级日期

初一

学科时段课型

数学21:00~22:00一对一/一对N

课首沟通

上讲回顾(错题管理)；作业检查；询问学生学习进度等。

知识导图

课首小测

1.[单选题] 如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=9,BC=12,则点C到斜边AB的距离是(  )

A.　B.

C.9D.6

2.[单选题] 下列说法中正确的是(  )A.已知a,b,c是三角形的三边,则a2+b2=c2C.在Rt△ABC中,∠C=90,所以a2+b2=c2B.在直角三角形中,两边的平方和等于第三边的平方D.在Rt△ABC中,∠B=90,所以a2+b2=c2  

3. [单选题] 如图所示,已知Rt△ABC中,AB=4,分别以AC,BC为直径作半圆,面积分别记为S1,S2,则S1+S2的值等于(  )

A.2π  B.4π  C.8π  D.16π

4. [单选题]  七巧板是我国祖先的一项卓越创造．下列四幅图中有三幅是小明用如图所示的七巧板拼成的，则不是小明拼成的那副图是（   ）

A．B．

C．D．

5. 如图所示,分别以直角三角形的一直角边和斜边为边所作的正方形A、C的面积分别为9和25,则以另一直角边为边的正方形B的面积为________.

6.  “交通管理条例”规定:小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/小时,如图1-1-12,一辆小汽车在一条城市街路上直线行驶,某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方30米C处,过了2秒后,测得小汽车在与车速检测仪的距离为50米的B处,这辆小汽车超速了吗?

知识梳理

1.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

2.若用a、b、c表示直角三角形的两直角边和斜边，则有：a2+b2=c2.

导学一 ： 验证勾股定理

例 1. [单选题]  利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形,这个图形被称为弦图.通过该图形,可以验证公式(  )

A.(a+b)(a-b)=a2-b2  B.(a+b)2=a2+2ab+b2  C.c2=a2+b2  D.(a-b)2=a2-2ab+b2

例 2.  如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形(两直角边长分别是a、b,斜边长为c)和一个正方形(边长为c).请你将它们拼成一个能验证勾股定理的图形.(1)画出拼成的这个图形的示意图;(2)用(1)中画出的图形验证勾股定理. 

 例 3. 勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪以灵感.他惊喜地发现:当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时,都可以用“面积法”来证明.下面是小聪利用图证明勾股定理的过程:将两个全等的直角三角形按图1-1-18所示摆放,其中∠DAB=90°.求证:a2+b2=c2.证明:连接DB,过点D作BC边上的高DF,则DF=EC=b-a.∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+ab,S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a(b-a),∴b2+ab=c2+a(b-a).∴a2+b2=c2.将两个全等的直角三角形按图2所示摆放,其中∠DAB=90°.请参照上述证法,证明a2+b2=c2我爱展示1. [单选题] 如图阴影部分是一个长方形,则长方形的面积是(     )A.3 cm2  B.4 cm2  C.5 cm22. 将两个全等的直角三角形按图所示摆放,其中∠DAB=90°.请证明a2+b2=c2 D.6 cm2  3. 在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c.若∠ACB=90°,如图①,则根据勾股定理,得a2+b2=c2.若△ABC不是直角三角形,如图②和图③所示,请你类比勾股定理,试猜想a2+b2与c2的关系,并证明你的结论.

4. [单选题]  如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AC为直径的圆恰好过点B.若AB=8,BC=6,则阴影部分的面积是(       A.100π-24

B.100π-48

C.25π-24 

D.25π-48

导学二 ： 勾股定理及其简单运用

例 1. [单选题]  一个直角三角形的两条直角边的长分别为6和8,则它的斜边长为(        )A.9 

 B.10  

C.11 

 D.12

例 2. [单选题]  在如图所示的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,△ABC的三边a,b,c的大小关系为(      A.a  B.a C.cD.c例 3.  如图,已知三个正方形中的两个正方形的面积分别为S1=25,S3=169,则另一个正方形的面积S2为________.

例 4.  如图,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,若BC=10,AD=12,则AC=________.

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)

)

  1. [单选题] 已知△ABC中,AB=17,AC=10,BC边上的高AD=8,则边BC的长为(  )A.21 

 B.15  

C.6 

 D.以上答案都不对

2. [单选题]  如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3,则最大正方形E的面积是(     )

A.13  B.26  C.47 D.94

3.  如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图,根据图中的尺寸(单位:mm),计算两圆孔中心A和B的距离为________.

4. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”,图由弦图变化得到,它是由八个全等的直角三角形拼接而成,记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若正方形EFGH的边长为2,则S1+S2+S3=________.

5. [单选题] 如图,梯子AB靠在墙上,梯子的底端A到墙根O的距离为2 m,梯子的顶点B到地面的距离为7 m,现将梯子的底端A向外移到A’,使梯子的底端A’到墙根O的距离等于3 m,同时梯子的顶端B下降至B’,那么BB’(      )

A.小于1 m     

  B.大于1 m

C.等于1 m  

 D.小于或等于1 m

导学三 ： 立体表面上两点间的最短距离问题

例 1. [单选题] 如图,有一圆柱,它的高等于8 cm,底面直径等于4 cm(π=3),在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁,它想吃到上底面与A相对的B点处的食物,则需要爬行的最短路程为(       )

A.10 cm  B.12 cm  C.19 cm  D.20 cm

例 2.  如图所示,一只蜘蛛从长方体的一个端点A爬到另一个端点D,已知长方体的长、宽、高分别是AB=8 cm,BC=7 cm,CD=8 cm,求这只蜘蛛爬行的最短距离.

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1. [单选题]  如图圆柱的底面直径为  )

,BC=12,动点P从A点出发,沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短距离为(  

A.10  B.12  C.20  D.14

2. [单选题]  如图,长方体的长为15,宽为10,高为20,点B与点C的距离为5,一只蚂蚁如果要沿长方体的侧面从点A爬行到点B,需要爬行的最短距离是(      )

A.20      

 B.25  C.30  D.35

3.   如图长方体的底面边长分别为2 cm和4 cm,高为5 cm.若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点,则蚂蚁爬行的最短路径长为________.

限时考场模拟 ： ______分钟完成

1. [单选题] 如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A、B都是格点,则线段AB的长度为(     )

A.5  B.6  C.7  D.25

2. [单选题] 如图,小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端,绳子末端刚好接触到地面,然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处,发现此时绳子末端距离地面2 m.则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为(  )

A.12 m  B.13 m  C.16 m  D.17 m

3. [单选题] 如图Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC折叠,使A点与BC的中点D重合,折痕为MN,则线段BN的长为(    )

A.　　     

B.　　

C.4  D.5

4. 如图,在长15米,宽8米的长方形花园ABCD内修一条长13米的笔直小路EF,小路一端的出口E选在AD边上距离D点3米处,另一端的出口F应选在AB边上距B点几米处?

5. [单选题] 史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的图形,其中两个全等的直角三角形的边AE和EB在一条直线上.证明中用到的面积相等的关系是(      )

A.S△EDA=S△CEB

C.S四边形CDAE=S四边形CDEB

B.S△EDA+S△CEB=S△CDE

D.S△EDA+S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD

6. 在直线l上依次摆放着七个正方形已知斜放置的三个正方形的面积分别是1,2,3,正放置的四个正方形的面积依次是S1,S2,S3,S4,则S1+S2+S3+S4=________.

7. 铁路上A、B两站(视为直线上两点)相距25 km,C、D为两村庄(视为两个点),DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B,如图所示,已知DA=15 km,CB=10 km,现在要在铁路AB上建设一个土特产品收购站E,使得C、D两村到E站的距离相等,则E站应建在距离A站________km处.

8. [单选题]  如图所示为一种“羊头”形图案,其作法是:从正方形①开始,以它的一边为斜边,向外作等腰直角三角形,然后再以其直角边为边,分别向外作正方形②和②’,……,以此类推,若正方形①的面积为64,则正方形⑤的面积为(    )

A.2   

 B.4  C.8  D.16

9. 如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于E,若AC=6,BC=8,CD=3.(1)求DE的长;(2)求AB.

10. 有一圆柱形油罐,如图,要从A点环绕油罐建梯子,正好到A点的正上方B点,已知油罐的底面周长是12 m,高AB是5 m.问梯子的最短长度为多少米?

课后作业

1. [单选题] 如图点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是(  )

A.48  B.60  C.76  D.80

2. 我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1所示．在图2中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为________． 

3. [单选题] 如图,有两棵树,一棵高10米,另一棵高4米,两树相距8米.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则小鸟至少飞行(      )

A.8米  B.10米  C.12米  D.14米

4. 如图在矩形纸片ABCD中,AB=12,BC=5,点E在AB上,将△DAE沿DE折叠,使点A落在对角线BD上的点A’处,则AE的长为________.

5. [单选题] 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,BC=12,则点C到斜边AB的距离是(      )A.

B.

　C.9  

D.6

6. 如图,我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺成的.若小正方形与大正方形的面积之比为1∶13,则直角三角形较短的直角边a与较长的直角边b的比值为________.

7.  如图,长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠,设点D落在D’处,BC交AD’于点E,AB=6 cm,BC=8 cm,求阴影部分的面积.

8. 如图,在D处有甲、乙两人同时出发,甲沿DA,AB过桥到达B处,乙沿DC过桥由C处直达B处.已知DA=6 km,AB=6 km,DC=2 km.假设甲、乙两人速度相同,问甲、乙两人谁先到达B处?

9.  如图某人欲横渡河,由于水流的影响,实际上岸地点C偏离欲到达地点B 24 m,如果他在水中游了40 m,求该河的宽度.

根据学生的掌握情况布置相应的练习，让学生课后巩固所学知识方法

课首小测

1.A

解析:在Rt△ABC中,由勾股定理得AB2=AC2+BC2=92+122=152,∴AB=15,∴2.C

解析:A选项中没强调直角三角形,B选项中没强调直角边和斜边,D选项中应为a2+c2=b2,故选C.3.A

解析:在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2=42=16,S1=S2=

π=·AC2,π=·BC2,

=

,∴CD=

.

∴S1+S2=(AC2+BC2)=×16=2π.4.C

解析: 根据勾股定理，可判断边长之间的关系，可知构不成C图案，能构成A、B、D图案.故选：C5. 16

解析: SB=SC-SA=25-9=16.6. 这辆小汽车超速了

解析:根据题意,得AC=30米,AB=50米,∠C=90°.

在Rt△ACB中,根据勾股定理得,BC2=AB2-AC2=502-302=402,所以BC=40米.

小汽车2秒行驶了40米,则1小时行驶40×30×60=72 000(米),即小汽车的行驶速度为72千米/小时,因为72>70,所以这辆小汽车超速了.

导学一例题

1.C

解析:大正方形的面积可以表示为c2,也可以表示为ab×4+(b-a)2,

∴c2=ab×4+(b-a)2,即c2=2ab+b2-2ab+a2,∴c2=a2+b2.2.答案见解析

解析:(1)(答案不唯一)如图.

(2)验证:∵大正方形的面积可表示为(a+b)2,大正方形的面积也可表示为c2+4×ab,∴(a+b)2=c2+4×ab,即a2+b2+2ab=c2+2ab,∴a2+b2=c2,

即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.3.答案见解析

解析:连接BD,过点B作DE边上的高BF,则BF=b-a.∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab,S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a(b-a),∴ab+b2+ab=ab+c2+a(b-a),∴a2+b2=c2.

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1.C

解析:由勾股定理得斜边长为5 cm,所以长方形的面积为5×1=5(cm2).2.答案见解析

解析: 连接BD,过点B作DE边上的高BF,则BF=b-a.∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab,S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a(b-a),∴ab+b2+ab=ab+c2+a(b-a),∴a2+b2=c2.

3.答案见解析

解析:若△ABC是锐角三角形,则有a2+b2>c2;若△ABC是钝角三角形,∠C为钝角,则有a2+b2设CD=x,则有DB=a-x.

根据勾股定理,得b2-x2=c2-(a-x)2,即b2-x2=c2-a2+2ax-x2,所以a2+b2=c2+2ax.因为a>0,x>0,所以2ax>0.所以a2+b2>c2.

当△ABC是钝角三角形,∠C为钝角时,过点B作BD⊥AC,交AC的延长线于点D.

设CD=x,则BD2=a2-x2,

根据勾股定理,得(b+x)2+a2-x2=c2,即b2+2bx+x2+a2-x2=c2,所以a2+b2+2bx=c2.

因为b>0,x>0,所以2bx>0,所以a2+b2解析:在Rt△ABC中,AC2=AB2+BC2=82+62=102,∴AC=10,∴S阴影=S圆-S△ABC=

π-×8×6=25π-24.

导学二例题

1.B

解析:设斜边长为x,由勾股定理可知x2=62+82=100,所以x=10.2.C解析:∵b=3.144

解析:由S1+S2=S3得S2=S3-S1=169-25=144.4. 13

解析: 因为AB=AC,AD平分∠BAC,所以AD⊥BC且BD=CD,因为BC=10,所以CD=5,在Rt△ACD中,由勾股定理可得AC2=AD2+CD2=144+25=169,所以AC=13.

=

,a=

=

,c=4=

,∴c我爱展示

1.D

解析:在直角三角形ABD中,根据勾股定理,得BD=15;在直角三角形ACD中,根据勾股定理,得CD=6.如图(1),当AD在三角形ABC的内部时,BC=15+6=21;如图(2),当AD在三角形ABC的外部时,BC=15-6=9.所以BC的长是21或9.故选D.

2.C

解析:设A、B的面积和为S1,C、D的面积和为S2,E的面积为S3,则由题图可得S1+S2=S3,故S3=9+25+4+9=47.故选C.3.100 mm.

解析:在Rt△ABC中,∵AC=120-60=60(mm),BC=140-60=80(mm),∴AB2=AC2+BC2=10 000,∴AB=100 mm,∴两圆孔中心A和B的距离为100 mm.4.12

解析:设AH=a,AE=b,EH=c,则c=2,所以S1+S2+S3=(a+b)2+c2+(a-b)2=2(a2+b2)+c2=3c2=3×22=12.5.A

解析:在Rt△AOB中,AB2=OA2+OB2=22+72=53.

在Rt△A’OB’中,A’B’2=OA’2+OB’2=32+OB’2=AB2=53.∴OB’2=53-9=44>36,∴OB’>6,∴BB’<1.

导学三例题

1.A

解析:如图所示,将圆柱的侧面展开,连接AB,∵底面半径为2 cm,∴BC=

=2π=6 cm,

在Rt△ABC中,∵AC=8 cm,BC=6 cm,∴AB2=AC2+BC2=100,∴AB=10 cm.

2.17

解析:∵AB=CD=8 cm,∴展开图只有两种,如图所示:

图1中,AD2=(8+7)2+82=225+64=289=172,图2中,AD2=72+(8+8)2=49+256=305>289.∴这只蜘蛛爬行的最短距离为17 cm.

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1.A

解析:圆柱侧面沿DA展开,如图所示,AB=×的最短距离为10.

×π=8,BS=BC=6,在Rt△ABS中,由勾股定理得AS=10,即点P从点A移动到点S

2.B

解析:如图,AD=20,BD=CD+BC=15,连接AB,在Rt△ADB中,由勾股定理得AB=25,故选B.

3.13 cm

解析:长方体侧面展开图如图所示,

PP’=2+4+2+4=12(cm),QP’=5 cm,在Rt△PQP’中,PQ2=PP’2+QP’2=122+52=169=132,∴PQ=13 cm.

限时考场模拟

1.A

解析:由勾股定理得AB2=42+32=25=52,∴AB=5,故选A.2.D

解析:如图所示,作BC⊥AE于点C,则BC=DE=8 m,设AE=x m,则AB=x m,AC=(x-2)m,在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,即(x-2)2+82=x2,解得x=17.所以旗杆的高度为17 m.

3.C

解析:设BN=x,由折叠的性质可得DN=AN=9-x,∵D是BC的中点,∴BD=3.在Rt△BND中,x2+32=(9-x)2,解得x=4.故线段BN的长为4.故选C.

4.另一端的出口F应选在AB边上距B点3米处.解析:因为AE=AD-DE,AD=8米,DE=3米,所以AE=5米,

在Rt△AEF中,由勾股定理得EF2=AE2+AF2,所以AF=12米.

所以BF=AB-AF=15-12=3米.

所以另一端的出口F应选在AB边上距B点3米处.5.D

解析:利用等积法验证勾股定理时,可从整体和部分两个方面来考虑.从整体上,可按梯形的面积计算公式表示;从部分看,直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积和,故选D.6.4

解析:易证Rt△ABC≌Rt△CDE,所以AB=CD.在Rt△CDE中,由勾股定理,得CD2+DE2=CE2,即AB2+DE2=CE2,而AB2=S3,CE2=3,DE2=S4,

所以S3+S4=3,同理S1+S2=1,S2+S3=2.所以S1+S2+S2+S3+S3+S4=1+2+3=6,则S1+S2+S3+S4=6-2=4.7.10km

解析:∵C、D两村到E站距离相等,∴CE=DE,在Rt△DAE和Rt△CBE中,DE2=AD2+AE2,CE2=BE2+BC2,∴AD2+AE2=BE2+BC2.设AE为x km,则BE=(25-x)km,∴152+x2=(25-x)2+102,整理得50x=500,解得x=10,∴E站应建在距离A站10 km处.8.B

解析:由S②=S②’,S②+S②’=S①=64,得S②=32.同理得S③=16,S④=8,S⑤=4.9.（1）DE=3；（2）AB=10

解析:(1)∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,∠C=90°,∴CD=DE,∵CD=3,∴DE=3.

(2)在Rt△ABC中,由勾股定理得AB2=AC2+BC2=62+82=102,∴AB=10,10.梯子的最短长度为13 m.解析:圆柱侧面展开图如图所示:

由题意知AA’=12 m,B’A’=5 m,连接AB’,在Rt△AB’A’中,

AB’2=AA’2+B’A’2=122+52=169=132,∴AB’=13 m.

答:梯子的最短长度为13 m.

课后作业

1.C

解析:∵∠AEB=90°,AE=6,BE=8,∴在Rt△ABE中,AB2=AE2+BE2=100,

∴S阴影=S正方形ABCD-S△ABE=AB2-×AE×BE=100-×6×8=76,故选C.2.10．

解析: （14×14﹣2×2）÷8=（196﹣4）÷8=192÷8=24 24×4+2×2=96+4=100

=10．

即正方形EFGH的边长为10．故答案为：10．3.B

解析:如图,设大树高AB=10 m,小树高CD=4 m,

过C点作CE⊥AB于E,则四边形EBDC是矩形,连接AC,∴EB=CD=4 m,EC=BD=8 m,AE=AB-EB=10-4=6(m).∵在Rt△AEC中,AC2=AE2+EC2=100,∴AC=10 m.故选B.4. 

解析: 由勾股定理求得BD=13,由题意知DA=DA’=BC=5,∠DA’E=∠DAE=90°,设AE=x,则A’E=x,BE=12-x,BA’=13-5=8,在Rt△EA’B中,(12-x)2=x2+82,解得x=5.A

解析:设点C到斜边AB的距离为h,在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2=92+122=152,∴AB=15.∵S△ABC=AC·BC=·AB·h,∴h=6. 

解析: 设小正方形与大正方形的面积分别为k2,13k2(k>0),则(b-a)2=k2,a2+b2=13k2,可得(a+b)2=25k2,所以b-a=k,a+b=5k,解得a=2k,b=3k,所以直角三角形较短的直角边a与较长的直角边b的比值为.7.

(cm2).

=

.,即AE的长为

.

解析:在△ABE和△CD’E中,∠B=∠D’=90°,∠AEB=∠CED’,AB=CD’,∴△ABE≌△CD’E,∴AE=EC.

设AE=x.在Rt△ABE中,AB2+BE2=AE2,即62+(8-x)2=x2,∴x=

,∴EC=AE=

cm.

×6=

(cm2).

∴S阴影=·EC·AB=×

8.甲、乙两人速度相同,所以甲、乙两人同时到达B处.解析:甲走的路程为DA+AB=6+6=12(km).

在Rt△ABC中,由勾股定理,得BC2=AB2+AC2=AB2+(AD+DC)2=62+(6+2)2=36+64=100,所以BC=10 km,则乙走的路程为BC+CD=10+2=12(km),故甲、乙两人所走的路程相等.

又因为甲、乙两人速度相同,所以甲、乙两人同时到达B处.9.该河的宽度为32 m.

解析:∵在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC=40 m,BC=24 m,∴AB2=AC2-BC2=402-242=322,∴AB=32 m,故该河的宽度为32 m.