量子力学作业答案

第一章 量子理论基础

1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m与温度T成反比，即

m T=b（常量）；

并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。

解 根据普朗克的黑体辐射公式

e1以及 vc， （2）

8hv3vdv3c1hvkTdv， （1）

vdvvd， （3）

有

dvdcdv()d

()vc8hc51ehckT,1这里的的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+dλ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，取得极大值，因此，就得要求 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m。但要注意的是，还需要验证对λ的二阶导数在m处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m就是要求的，具体如下：

'8hc6e1hckThc15hckTkT11e0  5hckT11ehchckT0

 5(1ekT)hc kT

如果令x=

hc ，则上述方程为 kT5(1ex)x

这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有

mT把x以及三个物理常量代入到上式便知

hc xkmT2.9103mK

1．4 利用玻尔——索末菲的量子化条件，求：

（1）一维谐振子的能量；

（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。

已知外磁场H=10T，玻尔磁子MB91024JT1，试计算运能的量子化间隔△E，并与T=4K及T=100K的热运动能量相比较。

解 玻尔——索末菲的量子化条件为

pdqnh

其中q是微观粒子的一个广义坐标，p是与之相对应的广义动量，回路积分是沿运动轨道积一圈，n是正整数。

（1）设一维谐振子的劲度常数为k，谐振子质量为μ，于是有

p212Ekx

22这样，便有

p2(E12kx) 2这里的正负号分别表示谐振子沿着正方向运动和沿着负方向运动，一正一负正好表示一个来回，运动了一圈。此外，根据

1Ekx2

2可解出 x2E k这表示谐振子的正负方向的最大位移。这样，根据玻尔——索末菲的量子化条件，有

xxx112(Ekx2)dx()2(Ekx2)dxnh

x22



xx2(E12kx2)dxx1x2(Ekx2)dxnh

2x2(E1n

x2kx2)dx2h

为了积分上述方程的左边，作以下变量代换；

x2Eksin 这样，便有

22Ecos2d2En2sin2h kcos2E kcosdn

22E22h

22E2n

2kcosd2h

这时，令上式左边的积分为A，此外再构造一个积分

B222E2ksind

这样，便有

AB22E2kd2Ek, （1）

AB22Ecos2d2k2E(2)2kcos2d

2Ed,2kcos这里 =2θ，这样，就有

ABEkdsin0 根据式（1）和（2），便有

AEk

2） （

这样，便有

Eknh 2 Enh

2knh,k

h 2最后，对此解作一点讨论。首先，注意到谐振子的能量被量子化了；其次，这量子化的能量是等间隔分布的。

（2）当电子在均匀磁场中作圆周运动时，有 其中h2RqB

 pqBR 这时，玻尔——索末菲的量子化条件就为

20qBRd(R)nh

 qBR22nh  qBR2nh

p2又因为动能耐E，所以，有

2(qBR)2q2B2R2E

22qBnqnB22 nBNB,其中，MBq是玻尔磁子，这样，发现量子化的能量也是等间隔的，而且 2EBMB

具体到本题，有

E1091024J91023J

根据动能与温度的关系式

E以及

3kT 21kK103eV1.61022J

可知，当温度T=4K时，

E1.541.61022J9.61022J

当温度T=100K时，

E1.51001.61022J2.41020J

显然，两种情况下的热运动所对应的能量要大于前面的量子化的能量的间隔。

2.2 由下列定态波函数计算几率流密度：

11 (1)1eikr (2)2eikr

rr 从所得结果说明1表示向外传播的球面波，2表示向内(即向原点) 传播的球面波。

 解：J1和J2只有r分量

11e在球坐标中 r0e

rrrsini**(1) J1(1111)2mi1ikr1ikr1ikr1ikr [e(e)e(e)]r02mrrrrrr i111111 [(2ik)(2ik)]r02mrrrrrrkk rr203mrmr J1与r同向。表示向外传播的球面波。

i**(2) J2(222)2mi1ikr1ikr1ikr1ikr [e(e)e(e)]r02mrrrrrri111111

[(2ik)(2ik)]r02mrrrrrrkk 2r03rmrmrJ 可见，2与r反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。

补充：设(x)eikx，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？

 ∴波函数不能按(x) *dxdx

2dx1方式归一化。

其相对位置几率分布函数为 21表示粒子在空间各处出现的几率相同。

2.3 一粒子在一维势场

，x0 0xa U(x)0，，xa中运动，求粒子的能级和对应的波函数。

解：U(x)与t无关，是定态问题。其定态S—方程

2d2(x)U(x)(x)E(x) 22mdx 在各区域的具体形式为

2d21(x)U(x)1(x)E1(x) ① Ⅰ：x0 2mdx22d22(x)E2(x) ② Ⅱ： 0xa 22mdx2d23(x)U(x)3(x)E3(x) ③ Ⅲ：xa 2mdx2

由于(1)、(3)方程中，由于U(x)，要等式成立，必须

1(x)0 2(x)0 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。

方程(2)可变为

d22(x)dx22mE22(x)0

令k22mE2，得 d22(x)dx2k22(x)0 其解为 2(x)AsinkxBcoskx ④ 根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得 2(0)1(0) ⑤

2(a)3(a) ⑥

⑤ B0 ⑥ A0sinka0

kan (n1, 2, 3,) ∴n2(x)Asinax 由归一化条件 (x)2dx1 得 A2asin2n0axdx1 a由

bsinmaxsinnaaxdx2mn Asinka0

A2

a2

2(x)asinnax k22mE2

2E2n2ma2n2 (n1,2,3,)可见E是量子化的。

对应于En的归一化的定态波函数为

2ni sinxeEnt, 0xan(x,t)aa  0, xa, xa2.4. 证明（2.6-14）式中的归一化常数是A1a

Asinn证：

(xnaa),  0, （2.6-14）

由归一化，得

12a2nndxaAsin2a(xa)dxA2a1a2[1cosna(xa)]dx A2aA2an2xa2acosa(xa)dx

2A2aAa2ansinna(xa)aA2a ∴归一化常数A1a #

2.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。

12 解：(x)2xe2x22

xaxa

1(x)1(x)42

232x2e222x

x2e22x22d1(x)23 [2x22x3]ex

dx 令

d1(x) 0，得 dx1 x0 x x

1(x)0。 由1(x)的表达式可知，x0 ，显然不是最大几率的位置。 x时，

d21(x)23222232x2而 [(26x)2x(2x2x)]edx2 3224[(152x224x4)]exd21(x)431 20 2dx1ex2 可见x1是所求几率最大的位置。 #

3.2.氢原子处在基态(r,,) (1)r的平均值；

e2 (2)势能的平均值；

r13a0er/a0，求：

(3)最可几半径； (4)动能的平均值；

(5)动量的几率分布函数。

1 解：(1)rr(r,,)d3a020020re2r/a0r2sin drd d

43a00r3a2r/a0dr

0xneaxdxn! n1a

43!3a0 342a02a0e2e2(2)U()3ra0e23a0

002012r/a02ersin drd dr0020e2r/a0rsin drd d

4e23a00e2r/a0r dr4e21e232a02a0a0

(3)电子出现在r+dr球壳内出现的几率为 (r)dr020[(r,,)]2r2sin drd d42r/a02er 3a042r/a02erdr 3a0 (r) 令

d(r)423(2r)re2r/a0 dra0a0d(r)0，  r10, r2, r3a0 dr 当 r10, r2时，(r)0为几率最小位置

d2(r)48422r/a0 (2rr)e232a0dra0a0d2(r)

dr2ra082e0 3a0 ∴ ra0是最可几半径。

2121121(r)(sin)22ˆˆp r 2  (4)T  rrsinsin2222221r/a02r/a02 Te(e)rsin drd d 30002a0

221r/a01d2dr/a02e[r(e)]rsin drd d 320002dra0rdr421 (3a02a00r2r/a0(2r)e dr

a022a0a0422  (2)42442a02a0(r) (5) c(p)*(r,,)d p1 c(p)(2)3/213a00er/a0rdre02iprcossin dd

0iprcos2 2(2)3/2a300re2r/a0dre0 d(cos)

2(2)3/2a300r2er/a0drieipriprcos0i

2(2)3/2prr/a0prre(ee)dr 3ip0a00xneaxdxn! n1a2(2)3/211[] 3ip1i1ia0(p)2(p)2a0a0  4ip 2332a0ipa(1p)202a024303244a02221 2aa0(a0p)

(2a0)3/2(a0p)2222

动量几率分布函数

358a0 (p)c(p)2 224(a0p)2

L23.5 一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是H，L为角动量，

2I求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数： (1) 转子绕一固定轴转动： (2) 转子绕一固定点转动：

解：(1)设该固定轴沿Z轴方向，则有 L2L2Z

221d2ˆˆ 哈米顿算符 H LZ22I2Idˆ与t无关，属定态问题) 其本征方程为 (H

2d2()E()22Idd()2IE ()22d2

令 m22IE，则 2d2()2 m()0 2d 取其解为 ()Aeim (m可正可负可为零) 由波函数的单值性，应有

(2)()eim(2)eim 即 ei2m1 ∴m= 0，±1，±2，…

m22转子的定态能量为Em (m= 0，±1，±2，…)

2I可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。 定态波函数为 mAeim A为归一化常数，由归一化条件

* 1mmdA2dA220022A12

∴ 转子的归一化波函数为 m1ime 2 综上所述，除m=0外，能级是二重简并的。

(2)取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为

ˆ1Lˆ2 H2Iˆ与t无关，属定态问题，其本征方程为 H

1ˆ2LY(,)EY(,) 2Iˆ的本征函数，E为其本征值) (式中Y(,)设为Hˆ2Y(,)2IEY(,) L 令 2IE2，则有

ˆ2Y(,)2Y(,) Lˆ2的本征方程，其本征值为 此即为角动量L L22(1)2 (0, 1, 2, ) 其波函数为球谐函数Ym(,)NmP(cos)eim ∴ 转子的定态能量为

(1)2 E2Im 可见，能量是分立的，且是(21)重简并的。 3.9.设氢原子处于状态 (r,,)13R21(r)Y10(,)R21(r)Y11(,) 22求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的几率

和这些力学量的平均值。

解：在此能量中，氢原子能量有确定值

E2es222n2es282 (n2)

角动量平方有确定值为

L2(1)222 (1) 角动量Z分量的可能值为 LZ10LZ2 其相应的几率分别为 其平均值为 LZ1330 44413， 44

3.10一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为

, ra; U(r)

0, ra求粒子的能级和定态函数。

解：据题意，在ra的区域，U(r)，所以粒子不可能运动到这一区域，即在这区域粒子的波函数

0 (ra)

由于在ra的区域内，U(r)0。只求角动量为零的情况，即0，这时在各个方向发现粒子的几率是相同的。即粒子的几率分布与角度、无关，是各向同性的，因此，粒子的波函数只与r有关，而与、无关。设为(r)，则粒子的能量的本征方程为

21d2d(r)E 2rdrdr 令 U(r)rE, k22E，得 2d2uk2u0 2dr

其通解为

u(r)AcoskrBsinkr

AB(r)coskrsinkrrr波函数的有限性条件知， (0)有限，则 A = 0 ∴ (r)Bsinkr r 由波函数的连续性条件，有

B (a)0  sinka0

a ∵B0 ∴kan (n1,2,) kn an222 ∴ En 22a (r)Bnsinr raa2其中B为归一化，由归一化条件得

1dd(r)r2sin dr0004 ∴ Ba0nB2sin2rdr2 aB2a

1 2 a ∴ 归一化的波函数

12 asinnra r (r)