微分方程的基本应用

微分方程的基本应用

数学科学学院 07级2班

摘要：微分方程是数学的重要分支, 用微分方程来刻画许多自然科学、经济科学甚至社会科学领域中的一些规律,这是微分方程应用的重要领域,也是其发展的动力.本文重点介绍了几个利用微分方程常来解决的问题的例子,从中我们可以了解到微分方程应用的广泛性以及解决具体问题时常采用的一般步骤.

关键词：微分方程 应用

1 引言

1.1 微分方程是与微积分一起形成发展起来的重要数学分支,已有悠久的历史,早在17~18世纪,牛顿、莱布尼兹、贝努里和拉格朗日等人在研究力学和几何学中就提出了微分方程【1,2】.随着科学的发展,它在力学、电学、天文学和其他数学物理领域内的应用不断获得成功,有力地推动了这些学科的发展,已成为研究自然科学和社会科学的一个强有力工具.如今,微分方程仍继续保持着进一步发展的活力,其主要原因是它的根源深扎在各种实际问题之中,许多实际问题可以通过建立微分方程模型得以解决. 1.2 解决方法

应用微分方程解决实际问题,其实就是建立微分方程数学模型,通过建立微分方程、确定定解条件、求解及对解的分析可以揭示许多自然界和科学技术中的规律.应用微分方程解决具体问题的主要步骤:

(1)分析问题,将实际问题抽象,建立微分方程,并给出合理的定解条件; (2)求解微分方程的通解及满足定解条件的特解,或由方程讨论解的性质;

(3)由所求得的解或解的性质,回到实际问题,解释该实际问题,得出客观规律.我

现在我就简单谈一下微分方程知识的应用 2 微分方程的应用举例 2.1 几何问题 2.1.1 等角轨线

我们来求这样的曲线或曲线族,使得它与某已知曲线族的每一条曲线相交成给定的角度.这样的曲线轨线已知曲线的等角轨线.当所给定的角为直角时,等角轨线就轨线正交轨线.等角轨线在很多学科（如天文,气象等）中都有应用.下面就来介绍等角轨线的方法.

首先把问题进一步提明确一些.

设在（x,y）平面上,给定一个单参数曲线族（C）:x,y,c0求这样的曲线l,使得l与(C)中每一条曲线的交角都是定角 .

设l的方程为y1=y1(x).为了求y1(x),我们先来求出y1(x)所对应满足的微分方程,也就是要求先求得x, y1,y1的关系式.条件告诉我们l与（C）的曲线相交成定角,于是,可以想象,y1和y1必然应当与（C）中的曲线y=y(x)及其切线

''

的斜率y'有一个关系.事实上,当≠

'时,有 2y1y'tank ''1yy1或

y'y1kky11'' （2.11）

当=

时,有 2y'1y1' （2.12）

'又因为在交点处,y(x)=y1(x),于是,如果我们能求得x, y1,y1的关系,即曲线族（C）所满足的微分方程（2.1）

Fx,y,y'0

只要把y y1和（2.11）或（2.12）代入（2.1）,就可求得x, y1,y1的方程了.

如何求（2.1）呢？采用分析法.

设y=y(x)为（C）中任一条曲线,于是存在相应的C,使得

x,yx,c0 （2.13） 因为要求x,y, y1的关系,将上式对x求导,得

'x,yx,cy'x,yx,cy'x0 x（2.14） ''这样,将上两式联立,即由

x,y,c0 （2.15） '''x,y,cx,y,cy0yx消去C,就得到x,yx,y'x所应当满足的关系

Fx,y,y'0

这个关系称为曲线族（C）的微分方程. 于是,等角轨线（≠）的微分方程就是

2y1'k0 Fx,y1,（2.16） '1ky1

而正交轨线的微分方程为

1 Fx,y1,'0 （2.17）

y1 为了避免符号的繁琐,以上两个方程可以不用y1,而仍用y,只要我们明确它是所求的等角轨线的方程就行了.

为了求得等角轨线或正交轨线,我们只需求上述两个方程即可. 例1 求直线束ycx的等角轨线和正交轨线.

解 首先求直线束ycx的微分方程. 将ycx对x求导,得y=C,由

ycx 'yc'消去C,就得到ycx的微分方程

dyy dxx当≠

时,由（2.16）知道,等角轨线的微分方程为 2dykydx dyx1kdxxdxydyxdyydx k或

及

xdxydy1xdyydx2 222kxyxy即

ydxdxydy1x 2kx2y2y1x积分后得到

11ylnx2y2arctanlnc 2kx或

xyce如果=

221yarctan2x

,由（2.17）可知,正交轨线的微分方程为 21y dyxdx即

dyx dxy或 xdxydy0 故正交轨线为同心圆族x2y2c2.

例2 抛物线的光学问题

在中学平面解析几何中已经指出,汽车前灯和探照灯的反射镜面都取为旋转抛物面,就是将抛物线绕对称轴旋转一周所形成的曲面.将光源安置在抛物线的焦点处,光线经镜面反射,就成为平行光线了.这个问题在平面解析几何中已经作了证明,现在来说明具有前述性质的曲线只有抛物线,

由于对称性,只有考虑在过旋转轴的一个平面上的轮廓线l,如图,

yMTR N Aox

以旋转轴为Ox轴,光源放在原点O(0,0).设l的方程为y=y(x,y).由O点发出的光线经镜面反射后平行于Ox轴.设M(x,y)为l上任一点,光线OM经反射后为MR.MT为l在M点的切线,MN为l在M点的法线,根据光线的反射定律,有

∠OMN=∠NMR

从而

tan∠OMN=tan∠NMR 因为MT的斜率为y',MN的斜率为-1,所以由正切公式,有 y'

1yy'x1tan∠OMN=, tan∠NMR=

yy'1xy'从而

1xyy'=-

y'xy'y即得到微分方程

yy'2+2xy'-y=0

由这方程中解出y',得到齐次方程

y'=-xx()21 yy令

y=u,即y=xu,有 xdydu=u+x dxdx代入上式得到

du(1u2)1u2= xudx分离变量后得

udu(1u2)1u2dx x令1+u2t2上式变为

dtdx.积分后得 t1xlnt1ln或u21c1.两端平方得 xC xcu11

x22化简后得

c22cu2

xx2

y代入，得y22cxc2.这是一族以原点为焦点的抛物线. x2.2 动力学问题

动力学是微分方程最早期的源泉之一.我们都知道动力学的基本定律是牛顿第二定律

以ufma

这也是用微分方程来解决动力学的基本关系式.它的右端明显地含有加速度a,a是位移对时间的二阶导数.列出微分方程的关键就在于找到外力f和位移对时间的导数－速度的关系.只要找到这个关系,就可以由fma列出微分方程了. 在求解动力学问题时,要特别注意力学问题中的定解条件,如初值条件等. 例3 物体由高空下落,除受重力作用外,还受到空气阻力的作用,在速度不太大的情况下,空气阻力可看做与速度的平方成正比试证明在这种情况下,落体存在极限速度v1.

解 设物体质量为m,空气阻力系数为k,又设在时刻t物体下落的速度为v,于是在时刻t物体所受的合外力为

fmgkv2（重力-空气阻力）

从而,根据牛顿第二定律可得出微分方程

dvmmgkv2dt(2.21)

因为是自由落体,所以有

v00

(2.22)

解(2.21),由(2.22)有

积分得

v0tmdvdt

mgkv20mgkv1mlnt 2mgmgkv或

lnmgkvmgkv2tkg m解出v,得

v2tkgmmge1 2tkgmke1当t时,有

limvtmgv1 （2.23） k据测定,ks,其中为与物体形状有关的常数,为介质密度,s为物体在地面上的投影面积.

人们正是根据公式（2.23）,来为跳伞者设计保证安全的降落伞的直径大小的.在落地速度v1,m, ,与 一定时,可定出s来. 2.3 流体混合问题

中学代数中有这样一类问题：某容器中装有浓度为c1的含某种物质A的液体V升,从其中取出v1升后,加入浓度为c2的液体v2升,要求混合后的液体的浓度以及物质A的含量.这类问题用初等代数就可以解决了. 但是,在实际中还经常碰到如下的问题：如图,

c1 1

c2

vv2 容器内装有含物质A的流体.设时刻t=0时,流体的体积为V0,物质A的质量为x0.今以速度v2（单位时间的流量）放出流体,而同时又以速度v1注入浓度为c1的流体,试求时刻t时容器中物质A的质量及流体的浓度. 这类问题称为流体混合问题.它是不能用初等数学解决的,必须用微分方程来计算.

首先,我们用微元发来列方程.设在时刻t,容器内物质A的质量为x=x(t),浓度为c2,经过时间dt后,容器内物质A的质量增加了dx.于是,有关系式

dxc1v1dtc2v2dtc1v1c2v2dt

因为

c2x

v0v1v2t代入上式有

xv2dxc1v1dt

vvvt012或

xv2dxc1v1

dtv0v1v2t这是一个线性方程.求物质A在时刻t的质量的问题就归结为求方程满足初始条件x(0)= x0的解的问题.

例4 某厂房容积为45m×15m×6m,经测定,空气中含有0.2﹪的CO2.开通通风设备,以360m3s的速度输入含有0.05﹪的CO2的新鲜空气,同时又排出同等数量的室内空气.问30min后室内所含CO2的百分比.

解 设在时刻t,车间内CO2的百分比为x(t) ﹪,当时间经过dt后,室内

CO2的该变量为

45×15×6×dx﹪=360×0.05﹪×dt-360×x﹪×dt

于是有关系式

4050dx=360(0.05-x)dt

或

40.05xdt dx45初值条件为x(0)=0.2.

将方程分离变量并积分,初值解满足

xt4dx0.20.05x045dt

求出x,有

X=0.05+0.15e4t45

以t=30min=1800s代入,得x≈0.05.即开动通风设备30min后,室内的CO2含量接近0.05﹪,基本上已是新鲜空气了. 2.4 变化率问题

若某未知函数的变化率的表达式为已知,那么据此列出的方程常常是一阶微分方程.

例5 在某一个人群中推广技术是通过其中已掌握新技术的人进行的,设该人群

的总人数为N,在t=0时刻已掌握新技术的人数为x0,在任意时刻t已掌握新技术的人数为x(t)(将x(t)视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例系数k＞0,求x(t).

解 由题意立即有

dxkxNx,x0x0 dt按分离变量法解之,

dxkdt,即

xNx11dxkNdt xNx积分并化简的通解

NcekNt x1cekNt由初值条件得特解

Nx0ekNtx

Nx0x0ekNt3. 总结：通过以上几个简单的例子，我们发现用微分方程解决一些实际问题其实很方便，也很普遍，所以在以后的学习中，除了学习必须的理论与方法外，更应该加强理论与实际的联系，将学习的知识更好的用于解决实际问题中.

参考文献

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[3] 东北师范大学微分方程教研室.常微分方程,第二版.高等教育出版社.2005 [4] 蔡燧林,常微分方程,第二版.武汉大学出版社.2003.