题型一：全等三角形小压轴题
考向1：多项选择题
1．如图，已知AB＝AC，AF＝AE，∠EAF＝∠BAC，点C、D、E、F共线．则下列结论，其中正确的是（ ）
①△AFB≌△AEC；②BF＝CE；③∠BFC＝∠EAF；④AB＝BC．
A．①②③
B．①②④
C．①②
D．①②③④
【解答】解：∵∠EAF＝∠BAC，∴∠BAF＝∠CAE，∵AF＝AE，AB＝AC，∴△FAB≌△EAC（SAS），故①正确，∴BF＝EC，故②正确，∴∠ABF＝∠ACE，∵∠BDF＝∠ADC，∴∠BFC＝∠DAC，∵∠DAC＝∠EAF，∴∠BFC＝∠EAF，故③正确，无法判断AB＝BC，故④错误， 故选：A．
2．如图，△ABC中，∠C＝90°、AD是角平分线，E为AC边上的点，DE＝DB，下列结论：①∠DEA+∠B＝180°；②∠CDE＝∠CAB；③AC＝（AB+AE）；④S△ADC＝S四
边形ABDE
，其中正确的结论个数为（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【解答】解：如图，过D作DF⊥AB于F，∵∠C＝90°，AD是角平分线，∴DC＝DF，∠C＝∠DFB，
又∵DE＝DB，∴Rt△CDE≌Rt△FDB，∴∠B＝∠CED，∠CDE＝∠FDB，CE＝BF，又∵∠DEA+∠DEC＝180°，∴∠DEA+∠B＝180°，故①正确；∵∠C＝∠DFB，∠B＝∠B，∴∠BDF＝∠BAC，∴∠CDE＝∠CAB，故②正确；∵AD是角平分线，∴∠CAD＝∠FAD，又∵∠C＝∠AFD，AD＝AD，∴△ACD≌△AFD，∴AC＝AF，∴AB+AE＝（AF+FB）+（AC﹣CE）＝AF+AC＝2AC， ∴AC＝（AB+AE），故③正确；
∵Rt△CDE≌Rt△FDB，∴S△CDE＝S△FDB，∴S四边形ABDE＝S四边形ACDF，又∵△ACD≌△AFD， ∴S△ACD＝S△ADF，∴S△ADC＝S四边形ACDF＝S四边形ABDE，故④正确； 故选：A．
3．如图，直线AC上取点B，在其同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE，CD与GF，下列结论正确的有（ ）
①AE＝DC；②∠AHC＝120°；③△AGB≌△DFB；④BH平分∠AHC；⑤GF∥AC．
A．①②④
B．①③⑤
C．①③④⑤
D．①②③④⑤
【解答】解：∵△ABD和△BCE都是等边三角形，∴BA＝BD，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE＝60°，
∵∠DBE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠ABE＝∠DBC＝120°，∵BA＝BD，∠ABD＝∠DBC，BE＝BC，
∴△ABE≌△DBC（SAS），∴AE＝DC，所以①正确；∠BAE＝∠BDC，∵∠BDC+∠BCD＝∠ABD＝60°，∴∠BAE+∠BCD＝60°，∴∠AHC＝180°﹣（∠BAH+∠BCH）＝180°﹣60°＝120°，所以②正确；
∵∠BAG＝∠BDF，BA＝BD，∠ABG＝∠DBF＝60°，∴△AGB≌△DFB（ASA）；所以③正确；
∵△ABE≌△DBC，∴AE和DC边上的高相等，即B点到AE和DC的距离相等，∴BH平分∠AHC，所以④正确；∵△AGB≌△DFB，∴BG＝BF，∵∠GBF＝60°，∴△BGF为等
边三角形，∴∠BGF＝60°，∴∠ABG＝∠BGF，∴GF∥AC，所以⑤正确．故选：D． 考向2：动点问题
4．如图，已知△ABC中，∠B＝∠C，BC＝8cm，BD＝6cm，如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设点Q的速度为xcm/s，则当△BPD与△CQP全等时，x＝ 1或 ．
【解答】解：设运动的时间为ts，则BP＝t，PC＝8﹣t，CQ＝tx，∵∠B＝∠C，∴当BD＝CQ，BP＝CP时，△BPD≌△CPQ（SAS），即tx＝6，t＝8﹣t，解得t＝4，x＝；当BD＝CP，BP＝CQ时，△BPD≌△CQP（SAS），即8﹣t＝6，t＝tx，解得t＝2，x＝1； 综上所述，x的值为1或．故答案为1或．
5．如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm．∠CAB＝∠DBA＝60°，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．设点Q的运动速度为xcm/s，若使得△ACP与△BPQ全等．x的值为 1或1.5 ．
【解答】解：要使△ACP与△BPQ全等，有两种情况：①AP＝BQ，∵点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．设点Q的运动速度为xcm/s，∴x＝1； ②AC＝BQ＝3cm，AP＝BP＝AB＝所以x的值是1或1.5.
＝2cm，∴时间为＝2秒，即x＝＝1.5，
题型二：全等三角形的大压轴题
6．根据全等多边形的定义，我们把四个角，四条边分别相等的两个凸四边形叫做全等四边
形，记作：四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1．
（1）若四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1，已知AB＝3，BC＝4，AD＝CD＝5，∠B＝90°，∠D＝60°，则A1D1＝ 5 ，∠B1＝ 90° ，∠A1+∠C1＝ 210° ．（直接写出答案）；
（2）如图1，四边形ABEF≌四边形CBED，连接AD交BE于点O，连接OF，求证：∠AOB＝∠FOE；
（3）如图2，若AB＝A1B1，BC＝B1C1，CD＝C1D1，AD＝A1D1，∠B＝∠B1，求证：四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1，∴A1D1＝AD＝5，∠B1＝∠B＝90°，∠D＝∠D1＝60°，∠A＝∠A1，∠C＝∠C1，∵∠A+∠C＝160°﹣90°﹣60°＝210°，∴∠A1+∠C1＝210°， 故答案为5，90°，210°． （2）如图1中，
∵四边形ABEF≌四边形CBED，∴EF＝ED，∠FEO＝∠DEO，∵EO＝EO，∴△FEO≌△DEO（SAS），∴∠EOF＝∠DOE，∵∠AOB＝∠DOE，∴∠AOB＝∠EOF． （3）如图2中，连接AC，A1C1．
∵AB＝A1B1，∠B＝∠B1，BC＝B1C1，∴△ABC≌△A1B1C1，∴AC＝A1C1，∠BAC＝∠B1A1C1，∠BCA＝∠B1C1A1，∵AD＝A1D1，CD＝C1D1，∴△ADC≌△A1D1C1（SSS），
∴∠D＝∠D1，∠DAC＝∠D1A1C1，∠ACD＝∠A1C1D1，∴∠BAD＝∠BAA1D1，∠BCD＝∠B1C1D1，
∴四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1．
7．（1）如图1，已知∠EOF＝120°，OM平分∠EOF，A是OM上一点，∠BAC＝60°，且与OF、OE分别相交于点B、C，求证：AB＝AC；
（2）如图2，在如上的（1）中，当∠BAC绕点A逆时针旋转使得点B落在OF的反向延长线上时，（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由； （3）如图3，已知∠AOC＝∠BOC＝∠BAC＝60°，求证：①△ABC是等边三角形； ②OC＝OA+OB．
【解答】（1）证明：过A作AG⊥OF于G，AH⊥OE于H，则∠AHO＝∠AGO＝90°，∵∠EOF＝120°，∴∠HAG＝60°＝∠BAC，∴∠HAG﹣∠BAH＝∠BAC﹣∠BAH，∴∠BAG＝∠CAH，∵OM平分∠EOF，AG⊥OF，AH⊥OE，∴AG＝AH，在△BAG和△CAH中，
∵，
∴△BAG≌△CAH（ASA），∴AB＝AC；
（2）结论还成立，证明：过A作AG⊥OF于G，AH⊥OE于H，与（1）证法类似根据ASA证△BAG≌△CAH（ASA），则AB＝AC；
（3）证明：①如图，∠FOA＝180°﹣120°＝60°，∠FOC＝60°+60°＝120°，即OM平分∠COF，
由（2）知：AC＝AB，∵∠CAB＝60°，∴△ABC是等边三角形；
②在OC上截取BO＝ON，连接BN，∵∠COB＝60°，∴△BON是等边三角形，∴ON＝OB，∠OBN＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°＝∠NBO，∴都减去∠ABN得：∠ABO＝∠CBN，
在△AOB和△CNB中∵，∴△AOB≌△CNB（SAS），∴NC＝OA，
∴OC＝ON+CN＝OB+OA，即OC＝OA+OB．
8．如图1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC． （1）求C点的坐标；
（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值；
（3）如图3，已知点F坐标为（﹣2，﹣2），当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt△FGH，始终保持∠GFH＝90°，FG与y轴负半轴交于点G（0，m），FH与x轴正半轴交于点H（n，0），当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，求证m+n为定值，并求出其值．
【解答】解：（1）过C作CM⊥x轴于M点，如图1，
∵CM⊥OA，AC⊥AB，∴∠MAC+∠OAB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°，则∠MAC＝∠OBA，
在△MAC和△OBA中，，∴△MAC≌△OBA（AAS）
∴CM＝OA＝2，MA＝OB＝4，∴点C的坐标为（﹣6，﹣2）； （2）如图2，过D作DQ⊥OP于Q点，
∵DQ⊥OP，DE⊥OE，∠POE＝90°∴四边形OEDQ是矩形，∴OE＝QD，DE＝OQ， ∴OP＝PQ+OQ＝DE+PQ，∵∠APO+∠QPD＝90°，∠APO+∠OAP＝90°，∴∠QPD＝∠OAP，
在△AOP和△PDQ中，∴OP﹣DE＝2；
，∴△AOP≌△PDQ（AAS），∴QP＝AO＝2，
（3）结论②是正确的，m+n＝﹣4，理由如下：如图3，过点F分别作FS⊥x轴于S点，FT⊥y轴于T点，
∴FS＝FT＝2，∠FHS＝∠HFT＝∠FGT，在△FSH和△FTG中，
，∴△FSH≌△FTG（AAS）∴GT＝HS，
又∵G（0，m），H（n，0），点F坐标为（﹣2，﹣2），∴OT═OS＝2，OG＝|m|＝﹣m，OH＝n，∴GT＝OG﹣OT＝﹣m﹣2，HS＝OH+OS＝n+2，∴﹣2﹣m＝n+2， ∴m+n＝﹣4．
9．在△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．
（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，若AG：AB＝5：13，BC＝4
，求DE+DF的值．
【解答】解：（1）猜想：BF＝CG．理由：如图1．∵BF⊥AC，CG⊥AB，∴S△ABC＝AC•BF＝AB•CG．∵AB＝AC，∴BF＝CG；
（2）猜想：DE+DF＝CG．理由：连接AD，如图2．∵DF⊥AC，DE⊥AB，CG⊥AB， ∴S△ACD＝AC•DF，S△ABD＝AB•DE，S△ABC＝AB•CG．∵S△ACD+S△ABD＝S△ABC，∴AC•DF+AB•DE＝AB•CG．∵AB＝AC，∴DF+DE＝CG；
（3）连接AD，如图3．同（2）可得：DF+DE＝CG．设AG＝5x，∵AG：AB＝5：13，AB＝AC，
∴AC＝AB＝13x．∴∠G＝90°，∴GC＝
＝12x．在Rt△BGC中，
∵BG＝AB+AG＝13x+5x＝18x，GC＝12x，BC＝4解得：x＝，∴DE+DF＝CG＝12x＝8．
，∴（18x）2+（12x）2＝（4）2，
10．如图1，在平面直角坐标系中，A（﹣2，0）、B（0，5），AB＝AD，∠ABC+∠ADC＝180°，BC⊥CD．
（1）求证：∠ABO＝∠CAD； （2）求点D坐标；
（3）如图2，若OC＝OB＝5，E为∠BCO的邻补角的平分线上的一点，且∠BEO＝45°，OE交BC于点F，求BF的长．
【解答】解：（1）如图1，在四边形ABCD中，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵BC⊥CD，∴∠BCD＝90°，∴∠BAD＝90°．∴∠BAC+∠CAD＝90°，又∵∠BAC+∠ABO＝90°． ∴∠ABO＝∠CAD．
（2）如图1，过点D作DG⊥AC，∴∠AGD＝∠BOA＝90°，又∵∠ABO＝∠CAD，AB＝AD，∴△ABO≌△DAG（AAS），∴DG＝AO＝2，AG＝BO＝5，∴OG＝AG﹣AO＝3，则点
D的坐标为（3，﹣2）；
的平分线上，
（3）如图2，过点E作EH⊥BC于点H，作EG⊥x轴于点G，∵E点在∠BCO的邻补角
∴EH＝EG．又∵∠BCO＝∠BEO＝45°，∴∠EBC＝∠EOC．∴△EBH≌△EOG（AAS）， ∴EB＝EO．又∵∠BEO＝45°，∴∠EBO＝∠EOB＝67.5°，∵∠OBC＝45°， ∴∠BOE＝∠BFO＝67.5°．∴BF＝BO＝5．
11．在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B、C在y轴上，且点B与点C关于x轴对称，点D在线段AB上，点E为该坐标平面内一点．
（1）已知BD＝CE．
①如图1，若点E在线段AC上，求证：CD＝BE；
②如图2，若点E在线段BC上，且∠DEA＝∠ABC，求证：∠ACO＝2∠OAE． （2）如图3，已知BD＝AE，点E在线段CA的延长线上，F为CD中点，且∠OAB＝30°，求证：BF⊥EF．
【解答】证明：（1）①∵点B和点C关于x轴对称，∴AB＝AC，∴∠CBD＝∠BCE，
在△CBD和△BCE中，，∴△CBD≌△BCE（SAS），∴CD＝BE；
②∵∠DEA+∠DEB＝∠ACB+∠CAE，∠DEA＝∠ABC＝∠ACB，
∴∠DEB＝∠CAE，在△BED和△CAE中，，∴△BED≌△CAE（AAS），
∴BE＝AC＝AB，∴∠BEA＝∠BAE，∵点B和点C关于x轴对称，∴AB＝AC，OB＝OC， ∴∠BAO＝∠CAO，∴∠BAE＝2∠CAO﹣∠EAC＝2∠OAE+∠EAC，∵∠DEB＝∠CAE， ∴∠DEA＝2∠OAE，∵∠DEA＝∠ABC＝∠ACO，∴∠ACO＝2∠OAE；
（2）延长BF到点G，使BF＝FG，连接CG、EG、BE，如图3所示：∵点B和点C关于x轴对称，
∴AB＝AC，OB＝OC，∴∠OAB＝∠OAC＝30°，∴∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴CB＝AB，∠BCA＝60°，∵F为DC中点，∴DF＝CF，在△BDF和△GCF中，
，
∴△BDF≌△GCF（SAS），∴CG＝BD＝AE，∠CGF＝∠DBF，∴BD∥CG， ∴∠GCA＝∠BAC＝60°，∴∠BCG＝∠BCA+∠GCA＝60°+60°＝120°，
∵∠BAE＝180°﹣∠OAB﹣∠EAx＝180°﹣∠OAB﹣∠OAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴∠BCG＝∠BAE，在△BCG和△BAE中，，∴△BCG≌△BAE（SAS），
∴∠CBG＝∠ABE，BG＝BE，∵∠CBG+∠GBA＝60°，∴∠ABE+∠GBA＝60°，即∠GBE＝60°，∴△GBE是等边三角形，∵F是BG的中点，∴EF⊥BG，∴BF⊥EF．
12．如图，平面直角坐标系中，已知点A（a﹣1，a+b），B（a，0），且
2
+（a﹣2b）
＝0，C为x轴上点B右侧的动点，以AC为腰作等腰△ACD，使AD＝AC，∠CAD＝∠
OAB，直线DB交y轴于点P． （1）求证：AO＝AB； （2）求证：OC＝BD；
（3）当点C运动时，点P在y轴上的位置是否发生改变，为什么？
【解答】证明：（1）∵
+（a﹣2b）2＝0，
≥0，（a﹣2b）2≥0，∴
＝
＝，
0，（a﹣2b）2＝0，解得：a＝2，b＝1，∴A（1，3），B（2，0），∴OA＝AB＝
＝
，∴OA＝AB；
（2）∵∠CAD＝∠OAB，∴∠CAD+∠BAC＝∠OAB+∠BAC，即∠OAC＝∠BAD，在△OAC和△BAD中，
，∴△OAC≌△BAD（SAS），∴OC＝BD；
（3）点P在y轴上的位置不发生改变．
理由：设∠AOB＝∠ABO＝α，∵由（2）知△AOC≌△ABD，∴∠ABD＝∠AOB＝α，∵OB＝2，∠OBP＝180°﹣∠ABO﹣∠ABD＝180°﹣2α为定值，∵∠POB＝90°，∴OP长度不变，∴点P在y轴上的位置不发生改变．
13．在△ABC中，∠A＜60°，以AB，AC为边分别向外作等边△ABD，△ACE，连接DC，BE交于点H．（如图1） （1）求证：△DAC≌△BAE；
（2）求DC与BE相交的∠DHB的度数；
（3）又以BC边向内作等边三角形△BCF，连接DF（如图2），试判断AE与DF的位置与数量关系，并证明你的结论．
【解答】（1）证明：如图1中，∵△ABD、△ACE都是等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，
∠DAB＝∠CAE＝60°，∴∠DAC＝∠BAE，在△DAC和△BAE中，
，∴△DAC≌△BAE．
（2）如图1中，∵△DAC≌△BAE，∴∠ADC＝∠ABE，∵∠AOD＝∠BOH，∠AOD+∠ADC+∠DAO＝180°，∠BOH+∠OHB+∠ABE＝180°，∴∠OHB＝∠DAO＝60°，∴∠DHB＝60°．
（3）结论AE＝DF，AE∥FD．如图2中，连接EF，∵△ABD，△BCF，△ACE都是等边三角形，
∴BD＝BA＝AD，BF＝BC，CA＝CE＝AE，∠ABD＝∠CBF＝∠BCF＝∠ACE＝60°，∴∠
DBF＝∠CBA，∠BCA＝∠ECF，在△ABC和△DBF中，DBF，
，∴△ABC≌△
同理△ABC≌△EFC，∴DF＝AC＝AE，EF＝AB＝AD，∴四边形ADFE是平行四边形， ∴DF＝AE，DF∥AE．
14．已知，△ABC是等腰直角三角形，BC＝AB，A点在x负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方．
（1）如图1所示，若A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，1），求点C的坐标； （2）如图2，过点C作CD⊥y轴于D，请直接写出线段OA，OD，CD之间等量关系； （3）如图3，若x轴恰好平分∠BAC，BC与x轴交于点E，过点C作CF⊥x轴于F，问
CF与AE有怎样的数量关系？并说明理由． 【解答】解：（1）作CH⊥y轴于H，如图1，
∵点A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，1），∴OA＝3，OB＝1， ∵△ABC是等腰直角三角形，∴BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBH＝90°，
∵∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠CBH＝∠BAO，在△ABO和△BCH中，
∴△ABO≌△BCH，∴OB＝CH＝1，OA＝BH＝3，∴OH＝OB+BH＝1+3＝4，∴C（﹣1，4）； （2）OA＝CD+OD．理由如下：如图2，∵△ABC是等腰直角三角形，∴BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBD＝90°，∵∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠CBD＝∠BAO，
在△ABO和△BCD中，∴△ABO≌△BCD，∴OB＝CD，OA＝BD，
而BD＝OB+OD＝CD+OD，∴OA＝CD+OD；
（3）CF＝AE．理由如下：如图3，CF和AB的延长线相交于点D，∴∠CBD＝90°，∵CF⊥x，∴∠BCD+∠D＝90°，而∠DAF+∠D＝90°，∴∠BCD＝∠DAF，
在△ABE和△CBD中，，∴△ABE≌△CBD（ASA），∴AE＝CD，∵x轴平
分∠BAC，CF⊥x轴，∴CF＝DF，∴CF＝CD＝AE．
15．在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，写出△ABD≌△ACE的理由； （2）如图2，当点D在线段BC上，∠BAC＝90°，直接写出∠BCE的度数； （3）如图3，若∠BCE＝α，∠BAC＝β，点D在线段CB的延长线上时，则α、β之间有怎样的数量关系？写出你的理由．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，同（1）的方法可得，△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ACE＝∠ABD＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°；
（3）解：α＝β．理由如下：同（1）的方法可得，△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠BCE＝α，∴∠ACE＝∠ACB+∠BCE＝∠ACB+α，∵∠ABD是△ABC的一个外角，∴∠ABD＝∠ACB+∠BAC＝∠ACB+β，∴α＝β．
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