高中数学知识点精讲精析 微积分基本定理

要点精讲 1．（微积分基本定理）如果函数yf(x)在[a,b]上连续，则积分上限的函数

(x)af(t)dt (axb)

在[a,b]上可导，且(x)xdxf(t)dtf(x)(axb) dxa证明 当x(a,b)时，若自变量在应的增量为

x处取得增量x且xx(a,b)，函数(x)相

xx(xx)(x)x其中，介于

f(t)dtf()x（积分中值定理）

limlimf()f(x)x0xx0

x与xx之间。于是，(x)当xa或xb时，同理可证得：(a)f(a)，(b)f(b) 证毕

这个定理的重要意义在于： ⑴肯定了连续函数的原函数必存在；

⑵初步揭示了积分与导数的关系,从而预示有可能通过原函数来求得积分；

dxf(t)dtaf(x),并由复合函数的求导法则可dx⑶给出了积分上限函数的导数公式

推得

d(x)f(t)dtf[(x)](x) dxa2．牛顿-莱布尼茨公式

若函数f(x)在[a,b]上连续，且存在原函数F(x)，则f(x)在[a,b]上可积，且 b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F(b)-F(a) 这即为牛顿—莱布尼茨公式。

牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。下面就是该公式的证明全过程： 我们知道，对函数f(x)于区间[a,b]上的定积分表达为： b(上限)∫a（下限）f(x)dx

现在我们把积分区间的上限作为一个变量，这样我们就定义了一个新的函数： Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(x)dx

但是这里x出现了两种意义，一是表示积分上限，二是表示被积函数的自变量，但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。为了只表示积分上限的变动，我们把被积函数的自变量改成别的字母如t，这样意义就非常清楚了： Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(t)dt 3．函数Φ(x）的性质：

（1）定义函数Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(t)dt，则Φ’(x)=f(x)。 证明：让函数Φ(x)获得增量Δx，则对应的函数增量

ΔΦ=Φ(x+Δx)-Φ(x)=x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt

显然，x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt

而ΔΦ=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt=f(ξ)•Δx(ξ在x与x+Δx之间，可由定积分中的中值定理推得，

也可自己画个图，几何意义是非常清楚的。)

当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时，ξ趋向于x，f(ξ)趋向于f(x)，故有lim Δx→0 ΔΦ/Δx=f(x)

可见这也是导数的定义,所以最后得出Φ’(x)=f(x)。

（2）b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F（b）-F（a），F（x）是f(x)的原函数。 证明：我们已证得Φ’(x)=f(x)，故Φ(x）+C=F（x）

但Φ(a)=0（积分区间变为[a,a]，故面积为0），所以F（a）=C 于是有Φ(x）+F（a）=F（x），当x=b时，Φ(b)=F（b)-F(a),

而Φ(b)=b(上限)∫a（下限）f(t)dt，所以b(上限)∫a（下限）f(t)dt=F（b)-F(a) 把t再写成x，就变成了开头的公式，该公式就是牛顿-莱布尼茨公式。

典型例题 1 求极限x0【解析】

limx0cost2dtx.

0易知该极限为0型未定式，故由洛必达法则得

dx2costdtcostdt002limlimdxlimcosxx0x0x0x1 1x22 求下列函数的导数：

⑴ (x)【解析】

cosx1edtt2 ⑵ (x)2xx2sint2dt

cosxt21edtcos2xcos2x(x)e(cosx)esinx ⑴

⑵；因为(x)2xx2222sintdtsintdtsintdtsintdt22x0002x2xsint2dt0x2

2x0(x)所以，

x22sintdt0sintdt242sin(2x)(2x)sinx(x)

22sin4x22xsinx4.

3 设f(x)是[0，)内的正值连续函数，证明函数F(x)在(0，)内是单调增加的.

x0x0tf(t)dtf(t)dt

xf(x)f(t)dtf(x)tf(t)dt00xx证 因为F(x)x0f(t)dt2

xxxf(x)f(x)(xt)f(t)dt0xf(t)dt0tf(t)dt022xx0f(t)dt0f(t)dt

当x0时，在[0,x]上，f(x)0，(xt)f(t)0，且(xt)f(t)0，故知

F(x)0，从而推得F(x)在(0，)内是单调增加的.