南开大学

南开大学 本科课程教学大纲

课程名称： 高等数学 (生化类) 英文名称： Higher Mathematics 课 号： 所 属 院： 数学科学学院 日 期： 2002 年 12 月 30 日

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周学时 5 总学时 160 学分 教学对象（本课程适合的专业和年级）： 预备知识： 三阶行列式和二元、三元线性方程组 平面上的直角坐标、曲线及其方程 直线与二元一次方程 圆锥曲线与二元二次方程 极坐标，参数方程 函数及其图形（基本初等函数） 4.5 化学院、生命科学学院、环境工程与环境科学学院、医学院各专业和法政学院心理学专业及医学委培一年级。 课程在教学计划中的地位作用： 基础课。 课程的基本要求： 高等数学是一门重要的基础课，通过学习这门课程，学生将系统地获得微积分（包括矢量代数和空间解析几何）与常微分方程等一些最基本的知识，较好地掌握数学分析与常微分方程的基本理论和常用的计算方法（即基本概念，基本理论，基本运算，基本技巧）。培养学生逻辑思维、推理能力特别是分析问题、解决问题的能力。进一步提高学生的综合素质。为物理、力学及其他专业课程的学习做好准备。同时也为进一步扩大学生的数学知识面打下必要的基础。

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课程内容及学时分配： 第一学期 主要内容：一元函数微积分、矢量代数 函数及其图形 （2）（讲课2学时，下同） 1．数轴、区间等 2. 常量、变量、函数的定义与函数的表示法 3. 函数的有界性、单调性、奇偶性与周期性 4. 反函数及其图形，基本初等函数及其图形，复合函数，初等函数 5. 双曲函数与反双曲函数 极限与连续性 （11） 极限： ( 6 ) 1、数列及数列的单调增减性、有界性定义 * 2、数列极限的（ε- N）定义 * 3、函数极限的（ε- N）与（ε- δ）定义 4、函数的左右极限 5、无穷小与无穷大的定义，关于无穷小的定理 6、极限的四则运算，极限存在准则 sinx7、两个重要极限:lim1,x0x8、无穷小的比较，等价无穷小 1lim(1)e xxx 函数连续性： （5） 1．函数连续的定义，函数的间断点 2．连续函数的和、差、积、商的连续性。

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3．连续函数的反函数的连续性（不证） 4．连续函数的复合函数的连续性 5．基本初等函数和初等函数的连续性 6．闭区间上连续函数的最大值、最小值定理及介值定理（不证） 导数与微分 （12） 1．导数的定义 2．导数的几何意义，平面曲线的切线与法线 3．函数的可导性与连续性之间的关系 4．函数的和、差、积、商的导数、复合函数、反函数的导数 5．基本初等函数的导数公式，初等函数的求导 6．高阶导数，隐函数的导数，取对数求导法，由参数方程所确定的函数的导数 7．微分的定义与几何意义 8．微分的运算法则 9．微分形式的不变性 *10. 微分在近似计算及误差估计中的应用 中值定理与导数的应用 （14） 1．罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理 2．罗必达法则 3．带有拉格朗日余项的泰勒公式 4．函数增减性的判定法 5．函数的极值及其求法、最大值和最小值问题 6．曲线的凹性及其判定法，曲线的拐点及其求法 7．曲线的渐近线 8．函数图形的描绘方法 *9. 弧微分

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*10. 曲率的定义及计算公式 不定积分 （12） 1．原函数与不定积分的定义 2．不定积分的性质 3．基本积分公式 4．换元积分法和分部积分法 5．有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分 6．积分表的用法 定积分 （8） 1．定积分的概念，定积分存在定理的叙述 2．定积分的性质，定积分中值定理 3．积分上限的函数及其求导定理，牛顿-莱布尼兹公式 4．定积分的换元法与分部积分法 *5. 定积分的近似计算法（矩形法，梯形法与抛物线法） 6. 广义积分的定义与计算 定积分的应用 （6） 1．平面图形的面积 2．已知平行截面面积求体积，旋转体体积 3．曲线的弧长 *4．定积分在物理学、化学中应用举例 矢量代数 （5） 1．空间直角坐标系 2．矢量的概念 3．矢量的加减法，矢量与数量的乘法 4．投影定理 5．矢量的分解与矢量的坐标

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6．矢量的模、单位矢量、方向余弦与方向数 7．矢径，两点间距离 8．矢量的数量积，两矢量的夹角，两矢量平行与垂直的条件 9．两矢量的矢量积，矢量的混合积 第二学期 主要内容：空间解析几何，多元函数微积分，级数，常微分方程 曲面与曲线 （3） 1．曲面方程，球面方程 2．母线平行于坐标轴的柱面方程，二次柱面 3．曲线及其参数方程 4．空间曲线在坐标面上的投影 平面与直线 （4） 1．平面的点法式方程 2．平面的一般方程的研究 3．平面的截距式方程 4．点到平面的距离 5．两平面的夹角 6．直线的方程 7．两直线的夹角 8．直线与平面的夹角 9．直线与平面的交点 10．杂例 二次曲面 （3） 1．旋转曲面 2．椭球面

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*3. 单叶双曲面 双叶双曲面 4．椭圆抛物面 5．二次锥面 级数 （12） 1．无穷级数概念 2．无穷级数的基本性质，收敛的必要条件 3．正项级数收敛的充分判别法 4．任意项级数、条件收敛与绝对收敛 5．函数项级数的一般概念 6．幂级数的收敛半径 7．幂级数的运算 8．泰勒级数及初等函数的展开式 *9. 泰勒级数在近似计算上的应用 富里哀级数 （4） 1．三角级数，三角函数系的正交性 2．尤拉—富里哀公式 3．富里哀级数 4．偶函数及奇函数的富里哀级数 5．函数展开的正弦及余弦级数 6．任意区间上的富里哀级数 多元函数的微分法 （14） 1．多元函数的定义，区域的概念 2．二元函数的极限及连续性 3．偏导数 4．全增量及全微分 5．复合函数的微分法

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6．隐函数及其微分法 7．空间曲线的切线及法平面 8．曲面的切平面及法线 9．高阶偏导数 10. 多元函数的极值 11. 条件极值—拉格朗日乘数法则 重积分 （13） 1．二重积分的概念，二重积分存在定理的叙述 2．二重积分的简单性质、中值定理 3．二重积分计算法、利用极坐标的计算法 4．三重积分的概念及其计算法 5．柱面坐标和球面坐标 *6. 曲面的面积 *7. 重积分的应用举例 曲线积分及曲面积分 （12） 1．对坐标的曲线积分 2．对弧长的曲线积分 3．格林公式 4．曲线积分与路线无关的条件 *5. 曲面积分 *6. 奥—高公式（不证） 微分方程 （10） 1．微分方程的一般概念 2．变量可分离的微分方程 3．齐次微分方程 4．一阶线性方程

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5．全微分方程 6．高阶微分方程的几个特殊类型 7．线性微分方程解的结构 8．常系数齐次线性方程 9．常系数非齐次线性方程 *10. 尤拉方程

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教 材 名称：高等数学讲义（上，下册） 作者：樊映川等 出版日期：2001年5月 出版社：高等教育出版社 获奖情况：在国家教委举办的全国优秀教材评选中获全国优秀奖 使用情况：在全国同类教材中属比较优秀者 使用情况良好 高等数学（上，下册）同济大学应用数学系，高等教育出版社 高等数学习题集 同济大学应用数学系，高等教育出版社 数学分析 陈传章等 复旦大学数学系，高等教育出版社 高等数学 詹瑞清 北京大学数学学院 学苑出版社 高等数学 滕桂兰 天津大学出版社 专业化学应用数学 胡龙桥，南开大学出版社 主要参考书 本大纲的特色（在教学内容、方法、手段方面改革的情况）： 特别注重对学生进行基本概念，基本理论，基本运算，基本技巧的训练。培养学生逻辑思维，推理能力特别是分析问题，解决问题的能力。进一步提高学生的综合素质。 1．补充有关典型例子与化学类有关例子以加深学生对基础理论的理解与增加学生对数学学习的兴趣。 2．结合讲课内容，经常在课堂上展开一些讨论以提高学生分析问题与解决问题的能力。 3．重视讲课效果的信息反馈，根据实际情况及时调整讲课进度与方法。 4．提倡运用多媒体辅助教学。 为了给学生深入学习专业课程打下必要的更全面的数学基础，编著出版了“专业化学应用数学”。并在全国高校化学类首先开设了“专业化学应用数学”选修课程。

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补充说明： 1．每学期授课16周，其中机动1周，讲课总学时75（学时）。 2．带“*”号的内容可根据学时情况选讲，考试不要求。 院（系）主管领导意见： 签字： 院（系）学术委员会意见： 签字：

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