初中数学二次函数知识点训练及答案

一、选择题

1．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：（1）4a+2b+c＜0；（2）方程ax2+bx+c＝0两根都大于零；（3）y随x的增大而增大；（4）一次函数y＝x+bc的图象一定不过第二象限．其中正确的个数是（ ）

A．1个 【答案】C 【解析】 【分析】

B．2个 C．3个 D．4个

由图可知，x=2时函数值小于0，故（1）正确，函数与x轴的交点为x=1.x=3，都大于0，故（2）正确 ，由图像知（3）错误，由图象开口向上，a＞0，与y轴交于正半轴，c＞0，对称轴x=﹣【详解】

①由x＝2时，y＝4a+2b+c，由图象知：y＝4a+2b+c＜0，故正确； ②方程ax2+bx+c＝0两根分别为1，3，都大于0，故正确； ③当x＜2时，由图象知：y随x的增大而减小，故错误； ④由图象开口向上，a＞0，与y轴交于正半轴，c＞0，x=﹣

＝1＞0，∴b＜0，

＝1，故b＜0，bc＜0，即可判断一次函数y＝x+bc的图象.

∴bc＜0，∴一次函数y＝x+bc的图象一定过第一、三、四象限，故正确； 故正确的共有3个， 故选：C． 【点睛】

此题主要考查二次函数的图像，解题的关键是熟知各系数所代表的含义.

2．如图是函数yx22x3(0x4)的图象，直线l//x轴且过点(0,m)，将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是（ ）

A．m1 B．m0 C．0m1 D．m1或m0

【答案】C 【解析】 【分析】

找到最大值和最小值差刚好等于5的时刻，则M的范围可知. 【详解】

解：如图1所示，当t等于0时， ∵y(x1)4， ∴顶点坐标为(1,4)， 当x0时，y3， ∴A(0,3)， 当x4时，y5， ∴C(4,5)， ∴当m0时，

2D(4,5)，

∴此时最大值为0，最小值为5； 如图2所示，当m1时， 此时最小值为4，最大值为1． 综上所述：0m1， 故选：C．

【点睛】

此题考查了二次函数与几何图形结合的问题，找到最大值和最小值的差刚好为5的m的值为解题关键．

3．对于二次函数yax212axa0，下列说法正确的个数是（ ） 2①对于任何满足条件的a，该二次函数的图象都经过点2,1和0,0两点； ②若该函数图象的对称轴为直线xx0，则必有0x01； ③当x0时，y随x的增大而增大；

④若P4,y1，Q4m,y2m0是函数图象上的两点，如果y1y2总成立，则

a1． 12B．2个

C．3个

D．4个

A．1个 【答案】B 【解析】 【分析】

根据二次函数的图象与性质（对称性、增减性）逐个判断即可． 【详解】 对于yax212axa0 212当x2时，y4a2(2a)1，则二次函数的图象都经过点2,1 当x0时，y0，则二次函数的图象都经过点0,0 则说法①正确

12a1此二次函数的对称轴为 2x12a4aQa0 111 4a11时，y随x的增大而增大；当4ax01，则说法②错误

由二次函数的性质可知，抛物线的开口向下，当xx因11时，y随x的增大而减小 4a1110 4a111时，y随x的增大而增大；当x1时，y随x的增大而减小 4a4a即说法③错误

则当0xQm0

4m4

由y1y2总成立得，其对称轴x114 4a1，则说法④正确 12综上，说法正确的个数是2个 故选：B． 【点睛】

解得a本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、增减性），熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．

4．已知，二次函数y=ax2+bx+a2+b（a≠0）的图象为下列图象之一，则a的值为（ ）

A．-1 【答案】A 【解析】 【分析】

B．1 C．-3 D．-4

分别对图形进行讨论：若二次函数的图形为第一个，则b=0，其顶点坐标为(0，a2)，与图形中的顶点坐标不符；若二次函数的图形为第二个，则b=0，根据顶点坐标有a2=3，由抛物线与x的交点坐标得到x2=-a，所以a=-4，它们相矛盾；若二次函数的图形为第三个，把点(-1，0)代入解析式得到a-b+a2+b=0，解得a=-1；若二次函数的图形为第四个，把(-2，0)和(0，0)分别代入解析式可计算出a的值． 【详解】

解：若二次函数的图形为第一个，对称轴为y轴，则b=0，y=ax2+a2，其顶点坐标为(0，a2)，而a2>0，所以二次函数的图形不能为第一个；

若二次函数的图形为第二个，对称轴为y轴，则b=0，y=ax2+a2，a2=3，而当y=0时，x2=−a，所以−a=4，a=−4，所以二次函数的图形不能为第二个；

若二次函数的图形为第三个，令x=−1，y=0，则a−b+a2+b=0，所以a=−1； 若二次函数的图形为第四个，令x=0，y=0，则a2+b=0①；令x=−2，y=0，则

4a−2b+a2+b=0②，由①②得a=−2，这与图象开口向上不符合，所以二次函数的图形不能为第四个. 故选A. 【点睛】

本题考查了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与系数的关系：a＞0，开口向上；a＜0，开口向下；抛物线的对称轴为直线x=-上则点的坐标满足抛物线的解析式.

；顶点坐标为(-，

)；也考查了点在抛物线

5．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列4个结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；其中正确的结论的个数是（ ）

A．1 【答案】D 【解析】 【分析】

B．2 C．3 D．4

根据二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定解答． 【详解】

①由抛物线的对称轴可知：﹣∴ab＜0，

∵抛物线与y轴的交点在正半轴上， ∴c＞0，

∴abc＜0，故①正确； ②∵﹣

＝1，

＞0，

∴b＝﹣2a，

∴2a+b＝0，故②正确．

③∵（0，c）关于直线x＝1的对称点为（2，c）， 而x＝0时，y＝c＞0， ∴x＝2时，y＝c＞0， ∴y＝4a+2b+c＞0，故③正确； ④由图象可知：△＞0， ∴b2﹣4ac＞0，故②正确； 故选：D． 【点睛】

本题考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，属于中考常考题型．

6．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①4a﹣2b+c＞0；②3a+b＞0；③b2＝4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个互异实根．其中正确结论的个数是（ ）

A．1个 【答案】B 【解析】 【分析】

B．2个 C．3个 D．4个

根据二次函数图象和性质，开口向下，可得a<0，对称轴x=1，利用顶点坐标，图象与x轴的交点情况，对照选项逐一分析即可． 【详解】

①∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x＝1，

∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间， ∴当x＝﹣2时，y＜0，

即4a﹣2b+c＜0，所以①不符合题意；

b＝1，即b＝﹣2a， 2a∴3a+b＝3a﹣2a＝a<0，所以②不符合题意； ③∵抛物线的顶点坐标为（1，n），

②∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣4acb2∴＝n，

4a∴b2＝4ac﹣4an＝4a（c﹣n），所以③符合题意； ④∵抛物线与直线y＝n有一个公共点， ∴抛物线与直线y＝n﹣1有2个公共点，

∴一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根，所以④符合题意． 故选：B．

【点睛】

本题考查了二次函数的图象和性质的应用，二次函数开口方向，对称轴，交点位置，二次函数与一次函数图象结合判定方程根的个数，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．

7．已知抛物线W:yx24xc，其顶点为A，与y轴交于点B，将抛物线W绕原点旋转180得到抛物线W'，点A,B的对应点分别为A',B'，若四边形ABA'B'为矩形，则

c的值为（ ）

A．3 2B．3 C．

3 2D．

5 2【答案】D 【解析】 【分析】

4c)，,B'(0，c)，结合矩形的性质，列出关于c的方先求出A(2，c-4)，B(0，c)，A'(2，程，即可求解． 【详解】

∵抛物线W:yx4xc，其顶点为A，与y轴交于点B，

2∴A(2，c-4)，B(0，c)，

∵将抛物线W绕原点旋转180得到抛物线W'，点A,B的对应点分别为A',B'，

4c)，,B'(0，c)， ∴A'(2，∵四边形ABA'B'为矩形， ∴AA'BB'，

∴2(2)(c4)(4c)(2c)2，解得：c故选D． 【点睛】

本题主要考查二次函数图象的几何变换以及矩形的性质，掌握二次函数图象上点的坐标特征，关于原点中心对称的点的坐标特征以及矩形的对角线相等，是解题的关键．

225． 2

8．将抛物线y（ ）

A．先向右平移4个单位，再向上平移5个单位 B．先向右平移4个单位，再向下平移5个单位

C．先向左平移4个单位，再向上平移5个单位 D．先向左平移4个单位，再向下平移5个单位 【答案】C 【解析】 【分析】 先把抛物线y【详解】 ∵抛物线yx24x3平移，使它平移后图象的顶点为2,4，则需将该抛物线

x24x3化为顶点式，再根据函数图象平移的法则进行解答即可．

2x24x3可化为yx21

∴其顶点坐标为：(2,−1)，

∴若使其平移后的顶点为(−2,4)则先向左平移4个单位，再向上平移5个单位． 故选C. 【点睛】

本题考查二次函数图像，熟练掌握平移是性质是解题关键.

9．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（ ） A．原数与对应新数的差不可能等于零

B．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大 C．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30 D．当原数取50时，原数与对应新数的差最大 【答案】D 【解析】 【分析】

设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解． 【详解】

解：设原数为m，则新数为设新数与原数的差为y

12m ， 1001212mmm， 100100易得，当m＝0时，y＝0，则A错误

则ym∵10 100b1m﹣﹣50 时，y有最大值．则B错误，D正确． 2a当12﹣100当y＝21时，12mm＝21 100解得m1＝30，m2＝70，则C错误． 故答案选：D． 【点睛】

本题以规律探究为背景，综合考查二次函数性质和解一元二次方程，解题时要注意将数字规律转化为数学符号．

10．函数yax2bx5(a0)，当x1与x7时函数值相等，则x8时，函数值等于( ) A．5

B．5 2C．

5 2D．－5

【答案】A 【解析】 【分析】

2根据二次函数的对称性，求得函数yaxbx5(a0)的对称轴，进而判断与x8的

函数值相等时x的值，由此可得结果． 【详解】

2∵函数yaxbx5(a0)，当x1与x7时函数值相等，

∴函数yax2bx5(a0)的对称轴为：x∴x8与x0的函数值相等，

174， 22∴当x8时，yaxbx5a0b055，

即x8时，函数值等于5， 故选：A． 【点睛】

本题主要考查二次函数的图象和对称性．掌握二次函数的对称性和对称轴的求法，是解题的关键．

11．如图，矩形ABCD的周长是28cm，且AB比BC长2cm．若点P从点A出发，以

1cm/s的速度沿ADC方向匀速运动，同时点Q从点A出发，以2cm/s的速度沿ABC方向匀速运动，当一个点到达点C时，另一个点也随之停止运动．若设运动

时间为t(s)，VAPQ的面积为Scm2，则Scm与t(s)之间的函数图象大致是（ ）

2

A． B．

C． D．

【答案】A 【解析】 【分析】

先根据条件求出AB、AD的长，当0≤t≤4时，Q在边AB上，P在边AD上，如图1，计算S

与t的关系式，分析图像可排除选项B、C；当4＜t≤6时，Q在边BC上，P在边AD上，如图2，计算S与t的关系式，分析图像即可排除选项D，从而得结论． 【详解】

解：由题意得2AB2BC28，ABBC2， 可解得AB8，BC6，即AD6，

①当0≤t≤4时，Q在边AB上，P在边AD上，如图1，

S△APQ=

11APgAQtg2tt2， 22图像是开口向上的抛物线，故选项B、C不正确； ②当4＜t≤6时，Q在边BC上，P在边AD上，如图2，

S△APQ=

11APgABt84t， 22图像是一条线段，故选项D不正确； 故选：A． 【点睛】

本题考查了动点问题的函数图象，根据动点P和Q的位置的不同确定三角形面积的不同，解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出S与t的函数关系式．

12．如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为边AD上一个动点，连接BE，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90°得到点F，连接CF，则△CEF面积的最小值是（ ）

A．16 【答案】B

B．15 C．12 D．11

【解析】 【分析】

过点F作AD的垂线交AD的延长线于点H，则△FEH∽△EBA，设AE=x，可得出△CEF面积与x的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值． 【详解】

解：过点F作AD的垂线交AD的延长线于点H， ∵∠A=∠H=90°，∠FEB=90°， ∴∠FEH=90°-∠BEA=∠EBA， ∴△FEH∽△EBA， ∴

HFHEEF, AEABBEQG为BE的中点，

1FEGEBE,

2HFHEEF1, ∴

AEABBE2设AE=x， ∵AB8,AD4,

1x,EH4, 2DHAEx,

∴HFSCEFSDHFCSCEDSEHF

11111x(x8)8(4x)4•x 2222212x4x164xx 412xx16, 4112 时，△CEF面积的最小值421615. 1∴当

244故选：B．

x

【点睛】

本题通过构造K形图，考查了相似三角形的判定与性质．建立△CEF面积与AE长度的函数关系式是解题的关键．

13．若二次函数yax22axc的图象经过点（﹣1，0），则方程ax22axc0的解为（ ）

A．x13，x21 B．x11，x23 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】

∵二次函数yax2axc的图象经过点（﹣1，0），∴方程ax22axc0一定有

2一个解为：x=﹣1，∵抛物线的对称轴为：直线x=1，∴二次函数yax2axc的图象

2C．x11，x23 D．x13，x21

与x轴的另一个交点为：（3，0），∴方程ax22axc0的解为：x11，x23． 故选C．

考点：抛物线与x轴的交点．

14．已知二次函数yax22ax3a(a0)，关于此函数的图象及性质，下列结论中不一定成立的是( )

A．该图象的顶点坐标为1,4a

B．该图象与x轴的交点为1,0,3,0

D．当x1时，y随x的增大而增

C．若该图象经过点2,5，则一定经过点4,5 大 【答案】D 【解析】 【分析】

根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 【详解】 解：y=a（x2-2x-3） =a（x-3）（x+1） 令y=0， ∴x=3或x=-1，

∴抛物线与x轴的交点坐标为（3，0）与（-1，0），故B成立； ∴抛物线的对称轴为：x=1， 令x=1代入y=ax2-2ax-3a， ∴y=a-2a-3a=-4a，

∴顶点坐标为（1，-4a），故A成立； 由于点（-2，5）与（4，5）关于直线x=1对称，

∴若该图象经过点（-2，5），则一定经过点（4，5），故C成立；

当x＞1，a＞0时，y随着x的增大而增大，当x＞1，a＜0时，y随着x的增大而减少，故D不一定成立； 故选：D． 【点睛】

本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．

15．如图，四边形ABCD是正方形，AB8，AC、BD交于点O，点P、Q分别是AB、BD上的动点，点P的运动路径是ABBC，点Q的运动路径是BD，两点的运动速度相同并且同时结束.若点P的行程为x，△PBQ的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（ ）

A．【答案】A 【解析】 【分析】

B． C． D．

分点P在AB边和BC边上两种情况画出图形，分别求出y关于x的函数关系式，再结合其取值范围和图象的性质判断即可. 【详解】

解：当点P在AB边上，即0x8时，如图1，由题意得：AP=BQ=x，∠ABD=45°，∴ BP=8－x，

过点Q作QF⊥AB于点F，则QF=22BQx， 22则y1222(8x)xx22x，此段抛物线的开口向下； 224

当点P在BC边上，即8x82时，如图2，由题意得：BQ=x，BP=x－8，∠CBD=45°， 过点Q作QE⊥BC于点E，则QE=22BQx， 22则y1222(x8)xx22x，此段抛物线的开口向上. 224故选A. 【点睛】

本题以正方形为依托，考查了动点问题的函数图象、正方形的性质、等腰直角三角形的性质和二次函数的图象等知识，分情况讨论、正确列出二次函数的关系式是解题的关键.

16．二次函数y=﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（ ）

A．t＞﹣5 【答案】D 【解析】 【分析】

B．﹣5＜t＜3 C．3＜t≤4 D．﹣5＜t≤4

先根据对称轴x=2求得m的值，然后求得x=1和x=5时y的值，最后根据图形的特点，得出直线y=t在直线y=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4． 【详解】

∵抛物线的对称轴为x＝2， ∴m2，m=4 2如图，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0的解就是抛物线y=﹣x2+mx与直线y=t的交点的横坐标

当x=1时，y=3， 当x=5时，y=﹣5，

由图象可知关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解， 则直线y=t在直线y=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4， ∴﹣5＜t≤4． 故选：D．

【点睛】

本题考查二次函数与一元二次方程的关系，方程有解，反映在图象上即图象与x轴(或某直线)有交点．

17．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列结论中正确的是（ ）

A．ac＞0 【答案】D 【解析】 【分析】

B．b＞0 C．a+c＜0 D．a+b+c＝0

根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 【详解】

A.由图象可知：a＜0，c＞0， ∴ac＜0，故A错误； B.由对称轴可知：x＝∴b＜0，故B错误； C.由对称轴可知：x＝∴b＝2a， ∵x＝1时，y＝0， ∴a+b+c＝0， ∴c＝﹣3a，

∴a+c＝a﹣3a＝﹣2a＞0，故C错误； 故选D． 【点睛】

本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．

b＜0， 2ab＝﹣1， 2a

18．二次函数yax2bxc(a,b,c为常数，且a0)中的x与y的部分对应值如表：

x ··· ··· 1 1 0 1 3 3 ··· ··· y 3 5 下列结论错误的是( )

A．ac0 的一个根；

B．3是关于x的方程axb1xc02C．当x1时，y的值随x值的增大而减小； D．当-1ax2b1xc0.

【答案】C 【解析】 【分析】

根据函数中的x与y的部分对应值表，可以求得a、b、c的值 然后在根据函数解析式及其图象即可对各个选项做出判断． 【详解】

解：根据二次函数的x与y的部分对应值可知： 当x1时，y1，即abc1， 当x0时，y3，即c3， 当x1时，y5，即abc5，

abc1联立以上方程：c3，

abc5a1解得：b3，

c3∴yx3x3；

A、ac1330，故本选项正确；

B、方程axb1xc0可化为x22x30，

22将x3代入得：322339630，

∴3是关于x的方程axb1xc0的一个根,故本选项正确；

2C、yx23x3化为顶点式得：y(x)∵a10，则抛物线的开口向下，

32221， 433时，y的值随x值的增大而减小；当x时，y的值随x值的增大而增大；22故本选项错误；

∴当xD、不等式axb1xc0可化为x22x30，令yx22x3，

2由二次函数的图象可得：当y0时，-1本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与不等式的关系，

根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键．

19．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结i论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③2a+b＝0；④a﹣b+c＜0．其中正确的结论有（ ）

A．1个 【答案】C 【解析】 【分析】

B．2个 C．3个 D．4个

首先根据开口方向确定a的取值范围，根据对称轴的位置确定b的取值范围，根据抛物线与y轴的交点确定c的取值范围，根据抛物线与x轴是否有交点确定b2﹣4ac的取值范围，根据x＝﹣1函数值可以判断． 【详解】

解：Q抛物线开口向下，

a0，

Q对称轴xb1， 2ab0，

Q抛物线与y轴的交点在x轴的上方，

c0，

abc0，故①错误；

Q抛物线与x轴有两个交点，

b24ac0，故②正确；

Q对称轴x2ab，

b1， 2a2ab0，故③正确；

根据图象可知，当x1时，yabc0，故④正确； 故选：C． 【点睛】

此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用是解题关键．

20．在同一坐标系中，二次函数yax2bx与一次函数ybxa的图像可能是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】C 【解析】 【分析】

直线与抛物线联立解方程组，若有解，则图象有交点，若无解，则图象无交点； 根据二次函数的对称轴在y左侧，a，b同号，对称轴在y轴右侧a，b异号，以及当a大于0时开口向上，当a小于0时开口向下，来分析二次函数；同时在假定二次函数图象正确的前提下，根据一次函数的一次项系数为正，图象从左向右逐渐上升，一次项系数为负，图象从左向右逐渐下降；一次函数的常数项为正，交y轴于正半轴，常数项为负，交y轴于负半轴．如此分析下来，二次函数与一次函数无矛盾者为正确答案． 【详解】

yax2bx解：由方程组得ax2＝−a，

ybxa∵a≠0

∴x2＝−1，该方程无实数根，

故二次函数与一次函数图象无交点，排除B．

A：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；但是一次函数b为一次项系数，图象显示从左向右上升，b＞0，两者矛盾，故A错；

C：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；b为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，b＜0，两者相符，故C正确； D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错． 故选C． 【点睛】

本题考查的是同一坐标系中二次函数与一次函数的图象问题，必须明确二次函数的开口方向与a的正负的关系，a，b的符号与对称轴的位置关系，并结合一次函数的相关性质进行

分析，本题中等难度偏上．