维普资讯 http://www.cqvip.com 第２８卷 第１期 高师理科学刊 Ｖｏｌ＿２８ Ｎｏ．１ ２００８年 １月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ｏｆ Ｔｅａｃｈｅｒｓ Ｃｏｌｌｅｇｅ ａｎｄ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｊａｎ． ２０ｏ８ 文章编号：１００７—９８３１（２００８）０１—００２７—０３ 矩阵的次迹及其性质 刘玉，郑兹滨 （韩山师范学院数学与信息技术系，广东潮州５２１０４１） 摘要：给出了矩阵次迹的概念，并研究了它的若干性质及应用，得出了关于矩阵次迹的一些新结 果． 关键词：矩阵的迹；矩阵的次迹；互换矩阵；次特征值 中图分类号：０１５１．２１ 文献标识码：Ａ 矩阵迹的性质与应用已有较深入的研究 ，本文给出了矩阵次迹的概念，研究了矩阵次迹的某些性质 与应用，得出了一些新的结果． １预备知识 用ｔｒＡ表示，ｌ阶方阵Ａ的迹，即ｔｒＡ＝∑ａ 用Ｊ 表示，ｌ阶单位矩阵；用．， 表示，ｌ阶次单位矩阵，即 ｉ＝１ 次对角线上元素全是１其余各位置的元素都是０的矩阵，用 表示ｎ阶次纯量矩阵．分别用Ａ ，Ａ ，Ａ 和Ａ 表示矩阵Ａ的转置矩阵，共轭转置矩阵，次转置矩阵和共轭次转置矩阵． 引理１Ｉ３］“ 设Ａ是，，ｌ×，ｌ矩阵，则．，一＝．，；Ｊ ＝Ｉ；Ｊ Ａ Ｊ ＝Ａ ；Ｊ Ａ Ｊ ＝Ａ ． 引理２ ” 设Ａ，曰分别是ｍ×ｎ和ｎ×ｍ矩阵，则 （ｉ）（ＡＢ） ＝ＢＳｒＡＳｒ； （ｉｉ）ｔｒ（ＡＢ）＝ｔｒ（ＢＡ）． ， 、 定义１㈨Ⅲ 设向量 ＝ 。ｘ２ … ∈Ｃ ，矩阵Ａ＝ ∈Ｃ…，设记 ｌｌ：＝ｆ ｌｘｉｌ ２ ＼ｉ＝１ ／ ｌ ，， 、ｊ 为 的Ｅｕｃｌｉｄｅａｎ范数，ＩＩＡＩＩ，＝ｌ＼、ｉ∑∑ 『Ｉ为Ａ的Ｆ＝１ ｊ＝ｌ ／ ｒｏｂｅｎｉｕｓ范数． 引理３ｔ 设Ａ＝ ∈ｃ ｎ，．￣ＩＪ Ａ≠０＝＝＞ｌＩＡＩ，＞０． 定义２ 设Ａ＝ ） ∈ｃ…，若存在数 和非零列向量戊，使Ａａ＝Ｍａ成－；ｒ，则称 是Ａ的次特 征值，戊是Ａ的属于次特征值的次特征向量． 引理４ｔ－ｓ 是Ａ的次特征值当且仅当 是．，Ａ的特征值． ２主要结果及证明 定义３设Ａ是，ｌ阶方阵，称其次对角元素之和为Ａ的次迹，记作ｓｔｒＡ，即ｓｔｒＡ＝∑ａ 。． ｉ＝１ 收稿Ｅｔ期：２００７－１０－２３ 作者简介：刘玉（１９５３一），男，黑龙江宾县人，教授，从事矩阵理论与应用研究．Ｅ－ｍａｉｌ：ｅｚ．＿ｌｉｕｙｕ＠１６３．ｃｏｍ 维普资讯 http://www.cqvip.com 高师理科学刊 第２８卷． －＿＿＿＿＿＿＿。＿。－＿●＿＿＿＿＿＿＿＿一 ｌｌ－ ～ 性质１设Ａ，Ｂ∈Ｃ ｎ，则下列性质成立： （１）设七，ｚ为常数，则Ｓｔｒ（ｋＡ± ）＝ｋＳｔｒＡ±ＩＳｔｒＢ； （２）ＳｔｒＡ＝ｔｒ（ＪＡ）＝ｔｒ（ＡＪ）； （３）ＳｔｒＡ＝ＳｔｒＡｓｒ＝ＳｔｒＡ ；ＳｔｒＡ＝ＳｔｒＡｓｒ＝ＳｔｒＡ ． ， 证明性质１中（１），（２）显然，这里只证（３）．其中ＳｔｒＡ＝Ｓｎ－Ａ玎显然成立．因为 ＳｔｒＡ＝ＳｔｒＡｓｒ＝ＳｔｒＪＡ Ｊ＝ｔｒＡ Ｊ＝ＳｔｒＡ ，所以ＳｔｒＡ＝ＳｔｒＡ ．同理可证ＳｔｒＡ＝ＳｔｒＡｓｒ＝ＳｔｒＡｒ．证毕． 性质２设Ａ∈Ｃ 且其次特征根分别为 ， ：，…， （可能有重根），￣ｌＪＳｔｒＡ＝∑ ． ｉ＝１ 证明由性质１中的式（２）－ｔｊ：Ｇｌ￣４，￣．ＳｔｒＡ＝ｔｒ（ＪＡ）＝∑ ．进一步还可得到ｄｅｔＡ＝（一１）．（．－０／２１ｉ ． ｉ＝ｌ ｉ＝１ 证毕． 性质３设Ａ∈Ｃ ，Ｐ是酉矩阵，则Ｓｔｒ（ｐＳｒＡｐ）＝ＳｔｒＡ． 证明 由引理１、性质１中（２）、引理２与酉矩阵的性质，得Ｓ仃（Ｐ口ＡＰ）＝Ｓｔｒ（ＪＰｒＪＡＰ）＝ｔｒ（Ｐ ＪＡＰ）＝ ｔｒ（ＪＡＰＰ ）＝ｔｒ（ＪＡ）＝ＳｔｒＡ．证毕． 性质４设Ａ和 分别是ｎ ｘ ｍ和ｍ ｘ ｎ阶矩阵，则Ｓｔｒ（ＡＪ Ｂ）＝Ｓｔｒ（ＢＪ Ａ）． 证明令Ａ＝ ， ＝ ）朋 ，￣ｌＪ ＡＪ ＝ ，其中： ＝ 口捷６ 一 ， （ｊ，ｊ＝Ｌ ２’ｏ ｏ ｏ ）； ＢＪ Ａ＝ ， ｄ ＝Ｘｂ 口 ＋ｌ－ （ｉ，．『＝１’２，…，ｍ），所以 ｋ＝ｌ Ｓｔｒ（ＡＪ ）＝∑ｃ －ｆ＋ｌ＝∑∑口捷ｂ ｎ－ｉ＋ｌ Ｓｔｒ（ＢＪ Ａ）＝∑ｄ －ｆ＋ｌ＝∑∑ｂ诸口 －ｆ＋ｌ＝∑∑６ 州 口诸＝∑∑口诸ｂ 州 从而Ｓｔｒ（ＡＪ Ｂ）＝Ｓｔｒ（ＢＪ Ａ）．证毕． 性质５设Ａ∈Ｃ ，若对任意的Ｘ∈Ｃ 有Ｓｔｒ（ＡＸ）＝０，则Ａ是零矩阵，即Ａ＝０． 证明设Ａ≠０，则Ａ中有某元素口 ≠０．取 ＝ ，使 ＝１，（ｉ， ）≠（ｍ，，ｌ—ｋ＋１）时， Ｘ ０・ 贼阵Ａ 次对角线上的元 。＝ 州＝ ｓ仃（ ）＝缸刊 ．ｍ≠。， 与已知矛盾，故Ａ＝０．证毕． 性质６设Ａ∈Ｃ ，￣Ｓｔｒ（ＡＪ Ａ口）＝Ｓｔｒ（Ａ口Ｊ Ａ）＝ｌｌＡｌ；． 一 ． 己ａｌｌａｌｌ ｉ＝１ 一 证明 令Ａ＝ ∈Ｃ ｘ＾，则 ＝ 口２ｉ口２ｉ ＩＩ ｉ＝１ ，所以 ● ｎ．．．．．一 ∑口耐ａ ・ ＩＩ ｉ＝１ ｓｔｒ（ ）＝荟喜 ＝姜言 由性质４，得 （Ａ一ＳｒｊｍＡ）＝ｓ仃（ ） 证毕． 推论设Ａ∈Ｃ ，则Ａ为零矩阵的充分必要条件是Ｓｔｒ（Ａ盯ＪＡ）＝０． 证明充分性显然；下证煅ｌ生＇由Ｊｌ生质６和弓Ｉ理３得ｓｔｒ（一ＡＳｒｊＡ） 喜 Ｉ 口 。 维普资讯 http://www.cqvip.com 第ｌ期 刘玉，等：矩阵的次迹及其性质 ２９ （ｉ， ＝１，２，…，ｎ），故Ａ为零矩阵 性质７设Ａ∈Ｃ ，Ｘ∈Ｃ ，则Ｘ ＡＸ＝Ｓｔｒ（ＡＸＸ盯） ∑ 证毕 证明令Ａ＝ ）…，Ｘ＝ ｂ２ 一ｎ ） ∈Ｃ ，则Ｘ ＡＸ ： ．一 ｊ＝ｌ ｉ＝１ ｆ 以 ： ／ ●ａ ｂｉｂ』， ●●＿＿、 ∑以ｕｂ ｂｌ ｊ＝ｌ ，ＡＸＸ盯＝ ∑ ． 而ｓｔ Ａ ）＝ ｆｉ ａｏｂｊｂ—ｉ ｌ＿ ＝ｌ Ｊ：ｌ ／ 一 所以Ｘ ＡＸ＝Ｓｔｒ（ＡＸＸ ）． 证毕 ＝ 性质８对任意的Ａ∈Ｃ ，则Ａ可以表示成一个次纯量矩阵 与一个次迹为零的矩阵之和 Ｅ ，，，． ．．．．．．．．．．．．，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．一／ ａｌｎ一１ ，证明任取Ａ＝ ∈Ｃ ，令Ｂ＝ｘＪ 蚴 ，２ ： ● 以ｎｎ－Ｉ Ｘｌ＋Ｘ２＋…＋Ｘｎ＝０ ａＩ１ ａ２１ ａｌｎ一１ ，Ｘ＋Ｘｌ Ｘ＋Ｘｌ 以２ｎ ● ａＩｎ ａ２ｘ＋Ｘ２ ● ０，于是Ａ＝ｘＪ＋Ｅ＝ ● ， 则可得方程组 ｘ＋Ｘ２； ： ： ： ＼、 ，，●●●●●●一、、 Ｍ ｎ一１ 的系数行列式 ｘ＋Ｘｎ ａｎｎ－Ｉ ，ａｎｎ 为Ｄ，…＝一／／，≠０， 因此它有唯一解ａｌｌ …ａＩ，其 中 ， 设为 ＝ｃ， １＝ｃ１， ２＝ｃ２，…， ＝ｃ ， 则 ＋ ２ ｘ＋Ｘｎ ａｎｌ Ａ＝ ［ｃ ∑Ｈ ∑ ＋ ｎ一１ Ｃｌ ａ２ｎ ● ａ２１ ‘ ∑ ∑ 以 ＋ 其中ｃｌ＋ｃ２＋…＋Ｃ ＝０ ＋ ｎ 证毕． ： Ｃ ａｎｎ－１ ，ａｎｎ ＝ 参考文献ｉ 【１］张禾瑞，郝钢新．高等代 Ｍ］．４版．北京：高等教育出版社，１９９７：２８９－２９６． 【２］张贤达．矩阵分析与应用【Ｍ］．北京：清华大学出版社，２００４：５４—１４０． 【３］袁晖坪．次正定次Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵【ＪＪ．山西大学学报（自然科学版），２０００，２３（２）：ｌ １３－１ １５． 【４］方保镕．矩阵论基础【ＭＪ．南京：河海大学出版社，１９９３：２１６－２２２． 【５］Ｂｅｌｌｍａｎ Ｒ．Ｓｏｍｅ Ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ ｆｏｒ Ｐｏｓｉｔｉｖｅ Ｍａｔｒｉｃｅｓ，Ｇｅｎｅｒ￣Ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ ２【Ｍ］．【ｓ，ｎ］：Ｂｉｒｋｈａｕｓｅｒ Ｖｅｒｌａｇ，１９８０：８９—９０ Ｓｕｂｔｒａｃｅ ｏｆ ｍａｔｒｉｘ ａｎｄ ｉｔｓ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ＬＩＵ Ｙｕ，ＺＨＥＮＧ Ｚｉ—ｂｉｎ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＴｅｃｌｍｏｌｏｇｙ，ＨａｎｓｈａｎＴｅａｃｈｅｒｓ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｃｈａｏｚｈｏｕ ５２１０４１，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｇｉｖｅｎ ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔ ｏｆ ｓｕｂｔｒａｃｅ ｏｆ ｍａｔｒｉｘ，ｐｒｏｖｅｄ ｓｏｍｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｓｕｂｔｒａｃｅ ｏｆ ｍａｔｒｉｃｅｓ，ｏｂｔａｉｎｅｄ ｓｏｍｅ ｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ ａｎｄ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ ａｂｏｕｔ ｔｈｅ ｓｕｂｔｒａｃｅ ｏｆ ｍａｔｒｉｃｅｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ ｔｒａｃｅ ｏｆ ｍａｔｒｉｘ；ｓｕｂｔｒａｃｅ ｏｆ ｍａｔｉｒｘ；ｉｎｔｅｒｃｈａｎｇｅａｂｌｅ ｍａｔｉｒｘ；ｓｕｂ—。ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅ