3.1静电场分析
1、掌握静电场的基本⽅程和边界条件；
2、掌握静电场的电位函数及其微分⽅程，熟悉电位的边值关系；
3、掌握电容的概念，会计算双导体的电容，理解多导体系统部分电容的物理涵义。 重点：静电位的微分⽅程、电容的概念及典型双导体电容的计算。 难点：多导体系统的部分电容 讲授、练习 2学时第3章 静态电磁场及其边值问题的解 本章研究对象：
场源（电荷、电流）不随时间变化，具体有： 1、静⽌电荷激发的静电场； 2、恒定运动电荷形成的恒定磁场； 3、恒定电流激发的恒定磁场。 本章主要内容：1、静态场⽅程和边值关系；
2、位函数（电位、⽮量磁位、标量磁位）及其满⾜的微分⽅程和边值关系；3、静态场边值问题求解（镜像法、分离变量法、有限差分法）；4、电磁场的能量和⼒*；
5、电容、电感、电阻。 3.1静电场分析
静场的源量,J ρ和场量,E B 不随时间变化，电场和磁场相互独⽴，可以分开研究。 ⼀、静电场的基本⽅程和边值关系微分形式：ρ=??=??D E,
0 积分形式：0CE dl ?=? SD dS q ?=?边界形式：()12?0n eE E ?-= ()
12?n S e D D ρ?-= 本构⽅程：D E ε=⼆、静电场的标势及其微分⽅程 1、电位函数1）数学定义由于0=??E，所以有：()()E r r ?=-?
式中标量函数()r ?称为静电场的电位函数，简称电位。2）物理意义
在上式中，两边从P 到Q 点沿任意路径积分，有：()()()QQ QP
PP
E dl dl dl Q P l
=-??=-=--?从⽽：()()QP
Q P E dl ??-=-?? 上式表明：电位差()()P Q ??-的物理意义是把⼀个单位正电荷从点P 沿任意路 径移动到点Q 的过程中，电场⼒所做的功。
如果选择()0Q ?=，则：()QPP E dl=
物理意义：空间某点的静电位在数值上等于从该点移送单位正电荷到零电位点电场⼒ 做功。3）性质 (a)相对性
()P ?的值与参考点的选择有关。但不论怎样选取参考点，都不会影响到电场E的
值。不过，电位参考点的选取应满⾜以下要求：
第⼀，简单性：电位函数表⽰式取最简单的形式；如点电荷，若选0R 处为零电 位点，则：001114R R ?πε??=-
当0R →∞时，电位的形式最简单。 第⼆，有限性：场中各点的电位有确定值；第三，统⼀性：同⼀问题，只能选⼀个电位参照点。通常可以选接地、导体表⾯、⽆穷远点为电位参考点。(b)迭加性
()()-?=+++-?=?+?+?-=+++=n n n E E E E212121n +++=∴ 21上式表明电位是可加量。4)电位的计算 (a)点电荷的电位
选⽆穷远点为电位参考点，则任意点的电位为：()3
2000444RR
R qR q q r E dl dl dR R R R ?πεπεπε∞∞∞=?=?==??
(b)连续分布带电体的电位
利⽤电位的迭加，可以得到连续分布带电体的电位为：()()''0044VV
r dq r dV RR
ρ?πεπε==?
2、静电位的微分⽅程及边值关系1）静电位的微分⽅程对于均匀介质：E Dε=，则有：
()2D ε?ε?ρ??=??-?=-?=故得：ρ?-=?2
此⽅程称为静电场的泊松⽅程（Poisson Equation ）。 在⽆源区域内（0=ρ），上式化为：02=??
此⽅程称为拉普拉斯⽅程（Laplace Equation ）。
在不同的条件下求解泊松⽅程或拉普拉斯⽅程是静电学的基本问题之⼀。2）静电位的边值关系 （a ）介质分界⾯2p
如果空间包含两种及以上的介质系统，则分界⾯上电场满⾜边值关系：()()
1212??0n n S eE E e
D D ρ?-=?-= 下⾯⽤势来表⽰这种边值关系： 在介质分界⾯附近取两点1和2，有：2
1211221??n n E dl E e
l E e l ??-=?=??+ 因12,n n E E 有限，⽽12,0l l ??→，所以：
120??-= 或 12S S ??=
即：在介质两边分界⾯上，电势连续。可以证明：12S S ??=与()12?0n e
E E ?-=等价。 证明：''
12120,0-=-=''
1122∴-=-⽽ '1111t E l E l ??-=??=?， '2222t E l E l ??-=??=?所以有：12t t E E =或 ()12?0n eE E ?-= 再看()12?n S e
D D ρ?-=的势表⽰：E ?=-? 且 D E ε=，
()()1122?n S e ε?ε?ρ∴?-?--?=即：1212S n n
εερ??-=-?? 静电平衡状态下导体的性质： 导体内部不带电，电荷只能分布于导体表⾯；(b)导体界⾯⾯⾃由电荷S ρε2E 1E 1D 2D
导体内部电场强度为零；
导体为等势体，导体表⾯为等势⾯。 所以，在导体与介质的分解⾯上有：,Const ?= S Sn
ερ?=-?
式中，ε为导体外介质的电容率，?n e
为导体表⾯外法线。 例题3.1.2：求均匀电场0E 的电位分布。
解：选取均匀电场中某⼀点O 为坐标原点，并设该点的电位为()O ?，则空间任意点 的电位为：()()()00OP
P O E dl O E r =+?=-??
r 为P 点的位⽮。若选()0O ?=，则有：()0r E r ?=-?
在球坐标系中，设0E 为极轴⽅向，则()0cos r E r ?θ=-。
注意：均匀电场可以看作由⽆限⼤平⾏板电容器产⽣，其电荷分布不在有限区域内， 因此不能选()0?∞=。
例题3.1.3：两块⽆限⼤接地导体平板分别置于0x =和x a =处，在两板之间的x b = 处有⼀⾯密度为0S ρ的均匀电荷分布，如图。求两导体平板之间的电位和电场。 解：电位满⾜⼀维拉普拉斯⽅程：⽅程的解设为：
()111x C x D ?=+ ()222x C x D ?=+利⽤边界条件：()11000x x D ?==?=；()22200x b x C a D ?==?+=；()1x ?()2x ?()2120d x dx ?=0S ρ()2220d x dx ?=()()12122x b
x x C b C b D ??==?=+；()()210000210S S x b
x x C C x x ??ρεερε=
-+=-=-。 联⽴求解得：()0001122000,0,,S S S b a b bC D C D a a ρρρεεε-=-==-= 于是，有：()()010S a b x x aρ?ε-=， 0x b ≤≤；()()020S bx a x aρ?ε=
-， b x a ≤≤ ()()()0110?S x a b E x x eaρ?ε-=-?=-，0x b ≤≤； ()()0220?S x bE x x e aρ?ε=-?=
， b x a ≤≤ 三、导体系统的电容
电容是导体系统的⼀种基本属性，它是描述导体系统储存电荷能⼒的物理量。这 ⾥的导体系统是线性独⽴系统，即导体周围的介质是线性介质，且导体系的总电量为 零。1、双导体的电容计算
两导体带等量异号的电荷，电位差为U ，定义两导系统的电容：C q U =
电容的单位是法拉F 。61211010F F pF µ==
电容的⼤⼩与电荷量、电位差⽆关，只是导体系统的物理尺度（如两导体的形状、 尺⼨、相互位置）及周围介质的特性参数的函数。
典型的双导体系统有：平⾏板电容器、平⾏双线、同轴线等。通常，这类导体的 纵向尺⼨远⼤于横向尺⼨，可以作为平⾏平⾯电场来研究。
例题3.1.4平⾏双线，导线半径为a ，导线轴线距离为D ,且a D ，设周围介质为空⽓。求：平⾏双线单位长度的电容。
a D ，可以认为电荷均匀分布在两导线表⾯上。应⽤
⾼斯定理和迭加原理，可得到两导线之间的平⾯上任意 ⼀点P 的电场强度为：10?2l x E e x ρπε=， 20?()2()l
x E e D x ρπε-=-- 12011?2l x E E E ex D x ρπε??=+=+ ?-??
两导线间的电位差为：11ln 2D aD al l aaD a U
E dx x D x a ρρπεπε---??=?=+= ?-
故得平⾏双线单位长度的电容为：[]()
ln ()ln C D a a D a πεπε=≈-2、多导体系统的部分电容
在⼯程应⽤中，经常遇到由三个或更多的导体组成的多导体系统。如计及⼤地 作⽤的架空平⾏双线传输线、耦合带状线、屏蔽多芯电缆等。
在多导体系统中，任何两个导体间的电位差都要受到其余导体上电荷的影响，因 此，研究多导体系统时，必须将电容的概念推⼴，引⼊部分电容的概念。
部分电容是指多导体系统中，⼀个导体在其余导体影响下，与另⼀个导体构成的 电容。1）电位系数
设有N 个导体和⼤地组成的系统，各导体的位置、形状及周围介质均是固定的， 显然，每个导体的电位与各个导体（包括⾃⾝）所带电量成正⽐，即：DxyPx
解：设两导线单位长度带电量分别为l ρ和lρ-。由于
取⼤地为电位参考点（零电位点），如图。
111121111212k n k k k kk kn k n n n nknn n q q q ?αααα?αααα?αααα
? = ? ? 或表⽰为： ()11,2,Ni ij j
i q i N ?α===∑
式中ij α称为电位系数。下标相同的ii α称为第i 个导体的⾃电位系数，()ij i j α≠称为第i 个和第j 个导体间的互电位系数。物理意义： 1110j j N i ij j
q q q q q ?α-+=======
即ij α在数值上等于第j 个导体上的总电量为⼀个单位⽽其余导体上的总电量为 零时第i 个导体的电位。
式中规定的电荷为零的条件是指这些导体各⾃的净电荷为零，它们仍然要置于系 统中原位置。由于导体表⾯有总量为零的感应电荷，因此它们的形状、尺⼨、相对位 置直接影响电场分布。 电位系数具有以下特征：
电位系数与各导体的电位和带电量⽆关，只是导体系统的物理尺度及周围介 质的特性参数的函数；
所有电位系数均为正值，且具有对称性，即ij ji αα=； ? ⾃电位系数⼤于与它相关的互电位系数，即()ii ij j i αα>≠。
2212112111,
q q q q ??αα====
12120,0,>>>112111210,0,αααα∴>>>2）电容系数（或感应系数）
同理，可以得到每个导体上的电荷量与各个导体（包括⾃⾝）的电位成正⽐，即：例：⼆个导体与⼤地组成的系统111121111212
k n k k k kk kn k n n n nk
nn n q q q ββββ?ββββ?ββββ = 或表⽰为： ()11,2,Ni ij j
j q i N β?===∑
式中ij β称为电容系数或感应系数。下标相同的系数ii β⾃感应（或⾃电容）系数，下 标不同的系数()ij j i β≠称为互电容（或互感应）系数。 物理意义：1110j j N iij j
q β?-+=======
即ij β在数值上等于第j 个导体的电位为⼀个单位 ⽽其余导体的电位为零时，第i 个导体所带电量。
注意：其它导体仍然要置于系统中原位置。 如右上图，设1231,0V ===，则 120,0q q >< ? 11210,0ββ>< 电容系数具有以下特征：
电容系数与各导体的电位和带电量⽆关，只是导体系统的物理尺度及周围介 质的特性参数的函数；
电容系数具有对称性，即ij ji ββ=；互电容系数0ij β≤，⾃电容系数0ii β>； ? ⾃电容系数⼤于与它相关的互电容系数，即ii ijββ>。 ? 电容系数ij β与电位系数ij α的关系为：()1i jij ij M β+=-?
式中?是电位系数组成的⾏列式ij α，ij M 是⾏列式ij α的余⼦式。事实上，由线性 ⽅程组的解定理有：()111N i j i ij j j q M ?+==-?∑， 所以，()111011j j N i ji
ij ij j q M β?-++========-?
3）部分电容
静电独⽴系统中导体电荷与导体电位的关系可以⽤电位系数或电容系数表⽰。但 ⼯程实际中常常已知的是各导体之间的电位差（电压），因此需要知道导体的电荷和 导体间电压的关系。为此，将电容系数⽅程改写为电量与电压的关系：()()()()11112111212110N N N q βββ?β??β??=+++------()()()()()221212122222323110N N N q β??βββ?β??β??=--++++------()()()()()112211120N N N N N NN N N N N NN N q β??β??β??βββ?--=-------++++-令 ()ij ij C i j β=-≠ 和 12ii i i iN C βββ=+++，则上述⽅程组可简写为：
()()11,2,NNi ij i j ii i ijj i
j q C C q i N ≠==-+==∑∑
式中iiii iq C ?=
是导体i 与地之间的电容，称为导体i 的⾃有部分电容；()ijij i jq C i j ??=
≠-是导体i 和导体j 之间的电容，称为导体i 和导体j 之间互有部分电容。
部分电容具有以下特征：
ii C 在数值上等于全部导体的电位都为⼀个单位时，第i 个导体上总电荷量的 值；
()ij C i j ≠在数值上等于第j 个导体上的电位为⼀个单位、其余导体都接地 时，第i 个导体上感应电荷的⼤⼩； 部分电容具有对称性，即ij ji C C =； ? 所有部分电容都⼤于零，即0ij C >；
N 个导体和⼤地构成的系统，共有()12N N +个部分电容，如上图3个导体 和⼤地构成的系统，共有6个部分电容。 4）⼯作电容
⼯作电容与电源的连接⽅式有关，是从电源端⼝看的⼊端等效电容。如图1122121122p C CC C C C =++
例题1：屏蔽电缆如图所⽰，测得1、2导体间的电容为0.020uF ；1、2导体相连与 铅⽪间的电容为0.034uF ，求各部分电容。解：等效电路如图，由对称性：1122C C =，根据测量结果：1122121122
0.020()C C C uF C C +=+， 11220.034()C C uF +=
解得：1122120.017();0.0115()C C uF C uF ===
例题2：上题如导体2与电缆壳相连，导体1、2间施加100V 电压，求导体1、2所 带电量。解：导体2与电缆相连220C =，1、2导体间的⼯作电容为：12110.01150.0170.0285()p C C C uF =+=+=
导体1上的电荷量：1120.0285100 2.85()p q C U uC ==?=导体2上的电荷量：122111120.01152.85 1.15()0.0285C q q uC C C =-=-?=-+
作业：思考题：3.4，3.5，3.6；练习题：3.3，3.4，3.6，3.7，3.9。
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容