1．（1）【学习心得】
于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝ 45 °． （2）【问题解决】
如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的数． （3）【问题拓展】
如图3，如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 √5−1 ．
解：（1）如图1，∵AB＝AC，AD＝AC， ∴以点A为圆心，点B、C、D必在⊙A上， ∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角， ∴∠BDC=2∠BAC＝45°， 故答案是：45；
（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO． ∵∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴点A、B、C、D共圆， ∴∠BDC＝∠BAC， ∵∠BDC＝25°，
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∴∠BAC＝25°，
（3）如图3，在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG， 在△ABE和△DCF中， 𝐴𝐵=𝐶𝐷
{∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐷𝐴， 𝐴𝐸=𝐷𝐹
∴△ABE≌△DCF（SAS）， ∴∠1＝∠2，
在△ADG和△CDG中， 𝐴𝐷=𝐶𝐷
{∠𝐴𝐷𝐺=∠𝐶𝐷𝐺， 𝐷𝐺=𝐷𝐺
∴△ADG≌△CDG（SAS）， ∴∠2＝∠3， ∴∠1＝∠3，
∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°， ∴∠1+∠BAH＝90°，
∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°， 取AB的中点O，连接OH、OD， 则OH＝AO=2AB＝1，
在Rt△AOD中，OD=√𝐴𝑂2+𝐴𝐷2=√12+22=√5， 根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD， ∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小， 最小值＝OD﹣OH=√5−1．
̂上运动当O、H、D三点（解法二：可以理解为点H是在Rt△AHB，AB直径的半圆𝐴𝐵共线时，DH长度最小） 故答案为：√5−1．
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2．四边形ABCD中，AB＝AD，PE、PF分别是边BC、CD的中垂线，连接PA，PB，PC，PD，延长AP交BC于点H，延长CP交AB于点G，若AD∥BP，CG⊥AB． （1）判断四边形ABPD的形状，并加以证明； （2）求∠AHB的度数；
（3）若BH＝6，CH＝2，求AB的长度．
解：（1）四边形ABPD是菱形，理由如下： ∵PE、PF分别是边BC、CD的中垂线， ∴PB＝PC，PC＝PD， ∴PB＝PD，
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在△ABP与△ADP中， 𝐴𝐵=𝐴𝐷{𝑃𝐵=𝑃𝐷． 𝐴𝑃=𝐴𝑃
∴△ABP≌△ADP（SSS）． ∴∠BAP＝∠DAP． ∵AD∥BP， ∴∠DAP＝∠APB． ∴∠BAP＝∠APB． ∴AB＝BP．
∴AB＝BP＝PD＝AD， ∴四边形ABPD是菱形；
（2）设∠CPH＝α，∠PCB＝β， ∴∠APG＝∠CPH＝α． ∵PE垂直平分BC， ∴∠PBC＝∠PCB＝β． ∴∠GPB＝∠PBC+∠PCB＝2β． ∴∠APB＝∠APG+∠GPB＝α+2β． ∴∠APD＝∠APB＝α+2β．
∴∠GPD＝∠APG+∠APD＝2α+2β． ∵AD∥BP，CG⊥AB， ∴∠GPD＝90°． ∴2α+2β＝90°． ∴α+β＝45°． ∵∠AHB＝α+β， ∴∠AHB＝45°；
（3）∵BH＝6，CH＝2， ∴BC＝BH+CH＝8． ∵PE垂直平分BC，
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∴BE＝CE=BC＝4． ∴EH＝CE﹣CH＝4﹣2＝2．
在直角△PEH中，∵∠PEH＝90°，∠PHE＝45°，EH＝2， ∴PE＝2．
在直角△PEB中，∵∠PEB＝90°，BE＝4，PE＝2， ∴BP=√𝐵𝐸2+𝑃𝐸2=√42+22=2√5． ∴AB＝BP＝2√5，即AB的长度为2√5．
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3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与BC交于点M，与AB的另一个交点为E，过M作MN⊥AB，垂足为N． （1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为5，sinB=，求ED的长．
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【解答】（1）证明：连接OM，如图1，∵OC＝OM， ∴∠OCM＝∠OMC，
在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
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∴CD=AB＝BD， ∴∠DCB＝∠DBC， ∴∠OMC＝∠DBC， ∴OM∥BD， ∵MN⊥BD， ∴OM⊥MN， ∵OM过O， ∴MN是⊙O的切线；
12（2）解：连接DM，CE，∵CD是⊙O的直径，
∴∠CED＝90°，∠DMC＝90°， 即DM⊥BC，CE⊥AB， 由（1）知：BD＝CD＝5， ∴M为BC的中点， ∵sinB=5， ∴cosB=5，
在Rt△BMD中，BM＝BD•cosB＝4， ∴BC＝2BM＝8，
在Rt△CEB中，BE＝BC•cosB=5， ∴ED＝BE﹣BD=5−5=5．
4．已知∠MPN的两边分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的半径为r．
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（1）如图1，点C在点A，B之间的优弧上，∠MPN＝80°，求∠ACB的度数； （2）如图2，点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形APBC为菱形，∠APB的度
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数应为多少？请说明理由；
（3）若PC交⊙O于点D，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）．
【解答】解：（1）如图1，连接OA，OB，
∵PA，PB为⊙O的切线， ∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠APB+∠PAO+∠PBO+∠AOB＝360°， ∴∠APB+∠AOB＝180°， ∵∠APB＝80°， ∴∠AOB＝100°， ∴∠ACB＝50°；
（2）如图2，当∠APB＝60°时，四边形APBC是菱形， 连接OA，OB，
由（1）可知，∠AOB+∠APB＝180°， ∵∠APB＝60°，
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∴∠AOB＝120°， ∴∠ACB＝60°＝∠APB， ∵点C运动到PC距离最大， ∴PC经过圆心， ∵PA，PB为⊙O的切线，
∴PA＝PB，∠APC＝∠BPC＝30°， 又∵PC＝PC，
∴△APC≌△BPC（SAS），
∴∠ACP＝∠BCP＝30°，AC＝BC， ∴∠APC＝∠ACP＝30°， ∴AP＝AC，
∴AP＝AC＝PB＝BC， ∴四边形APBC是菱形； （3）∵⊙O的半径为r， ∴OA＝r，OP＝2r， ∴AP=√3r，PD＝r，
∵∠AOP＝90°﹣∠APO＝60°， ̂的长度=∴𝐴𝐷
60°𝜋⋅𝑟𝜋
=𝑟， 180°333̂=√3r+r+𝜋r＝（√3+1+𝜋）r． ∴阴影部分的周长＝PA+PD+𝐴𝐷
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