平行四边形笔记

第十八章 平行四边形笔记(总6

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第十八章 平行四边形

一、平行四边形

1、平行四边形的定义：

两组对边分别平行的四边形叫做平行边形，用符号 表示，例如平行四边形ABCD记为： ABCD 2、平行四边形的性质：

（1）平行四边形的对边平行且相等； （2）平行四边形的对角相等，邻角互补； （3）平行四边形的对角线相互平分。 书写：∵ 四边形ABCD是平行四边形

四

∴ AB∥CD AB=CD AD∥BC AD=BC（平行四边形的对边平行且相等）

∠BAD=∠BCD ∠ABC=∠ADC （平行四边形的对角相等）

AO=CO BO=DO （平行四边形的对角线相互平分）

3、两平行线之间的距离：

两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。

平行线之间的距离处处相等。

4、平行四边形的判定：（平行四边形的第一个判定就是它的定义）

（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

书写：∵ AB=CD AD=BC

∴ 四边形ABCD是平行四边形

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 书写：∵ AB∥CD AB=CD ∴ 四边形ABCD是平行四边形

（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

书写：∵ ∠BAD=∠BCD ∠ABC=∠ADC（或∠A=∠C ∠B=∠D）

2

∴ 四边形ABCD是平行四边形

（3）对角线相互平分的四边形是平行四边形；

书写： ∵ AO=CO BO=DO

∴ 四边形ABCD是平行四边形

5、三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半

书写： ∵ DE是△ABC的中位线

1 ∴ DE∥BC DEBC

2形：矩形特殊在角上的平行四边6、特殊的平行四边形：特殊在边上的平行四边 形：菱形边、角都特殊的平行四边形：正方形二、矩形

1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

2、矩形的性质：因为矩形是特殊的平行四边形，所以矩形具有平行四边形的一切性质。

（1）矩形的四个角都相等，都是直角； 书写：∵ 四边形ABCD是矩形 ∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°

（2）矩形的对角相等（且相互平分）。

书写： ∵ 矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O ∴ AC=BD

(或AO=BO=CO=DO)

3、推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 书写： ∵ BO是Rt△ABC的斜边AC边上的中线

1 ∴ BOAC

2 逆定理：若三角形一边上的中线是这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

书写：∵ BO1AC 23

∴ △ABC是Rt△ABC 4、矩形的判定：

（1）有三个角是直角的四边形是矩形

书写：∵ ∠A=∠B=∠C=90° ∴ 四边形ABCD是矩形

（2）对角线相等的四边形是矩形

书写：∵ AC=BD的对角线AC、BD交于点O

∴ 四边形ABCD是矩形

三、菱形

1、菱形的定义：四条边都相等的四边形是菱形。

2、菱形的性质：因为菱形是特殊的平行四边形，所以菱形具有平行四边形的一切性质。

（1）菱形的四条边都相等；

书写：∵ 四边形ABCD是菱形 ∴ AB=BC=CD=AD

（2）菱形的对角线相互垂直（且平分）。

书写：∵ 菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O

∴ AC⊥BD与点O

3、推论：菱形的面积等于对角线乘积的一半 书写： ∵ 四边形ABCD是菱形

1 ∴ Sl菱形ABCDAC•BD

2

4、菱形的判定：

4

（1）四条边都相等的四边形是矩形

书写：∵ AB＝BC＝CD＝AD ∴ 四边形ABCD是菱形

（2）对角线相互垂直的平行四边形是矩形

书写：∵ 平行四边形ABCD的对角线AC⊥BD ∴ 四边形ABCD是菱形

四、正方形

1、正方形的定义：有一个角是直角、且邻边相等的平行四边形是正方

形。

2、正方形的性质：因为正方形既是特殊在边上的矩形，又是特殊在角上的菱形，所以正方形具有矩形、菱形的一切性质。 （1）正方形的四条边都相等； 书写：∵ 四边形ABCD是正方形 ∴ AB＝BC＝CD＝AD

（2）正方形的四个角都相等，都是直角。 书写：∵ 四边形ABCD是正方形 ∴ ∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°

（3）正方形的对角线相等、垂直且相互平分。 书写：∵ 四边形ABCD是正方形 ∴ OA＝OB＝OC＝OD

3、正方形的面积等于边长的平方或对角线平方的一半

S正方形ABCDAB21AC2 25

4、证明四边形ABCD是正方形的方法：

（1）先证明四边形ABCD是平行四边形，再证明有一个角是直角，邻边相等。（利用定义来证明）

书写：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且∠A＝90° AB＝BC

∴ 四边形ABCD是正方形

（2）先证明四边形ABCD是矩形，再证明邻边相等。（利用正方形是特殊在边上的矩形来证明）（或对角线相互垂直的矩形是正方形）

书写：∵ 四边形ABCD是矩形，且AB＝BC

∴ 四边形ABCD是正方形（邻边相等的矩形是正方形）

或：∵ 四边形ABCD是矩形，且AC⊥BD

∴ 四边形ABCD是正方形（对角线相互垂直的矩形是正方形） （3）先证明四边形ABCD是菱形，再证明有一个角是直角。（利用正方形是特殊在角上的菱形来证明）（或对角线相等的菱形是正方形）

书写：∵ 四边形ABCD是菱形，且∠A＝90°

∴ 四边形ABCD是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）

或：∵ 四边形ABCD是菱形，且AC＝BD

∴ 四边形ABCD是正方形（对角线相等的菱形形是正方形）

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