2014年内蒙古自治区呼和浩特市中考数学试卷(有答案)

2014年 呼 和 浩 特 市 中 考 试 卷

数 学

注意事项：

1．考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在试卷和答题纸的规定位置。

2．考生要将答案写在答题纸上，在试卷上答题一律无效。考试结束后，本试卷和答题纸一并交回。 3．本试卷满分120分。考试时间120分钟。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的）

1．下列实数是无理数的是 A．–1 B．0

1

C．π D．

3

2．以下问题，不适合用全面调查的是 A．旅客上飞机前的安检 B．学校招聘教师，对应聘人员的面试 C．了解全校学生的课外读书时间 D．了解一批灯泡的使用寿命

3．已知线段CD是由线段AB平移得到的，点A（–1，4）的对应点为C（4，7），则点B（–4，–1）的对应点D的坐标为 A．（1，2） B．（2，9） C．（5，3） D．（–9，–4） 4．右图是某几何体的三视图，根据图中数据，求得该几何体的体积为 A．60π B．70π C．90π D．160π 5．某商品先按批发价a元提高10%零售，后又按零售价降低10%出售，则最后的单价是 A．a元 B．0.99a元 C．1.21a元 D．0.81a元 6．已知⊙O的面积为2π，则其内接正三角形的面积为

33

A．33 B．3 6 C． 3 D． 6

22

7．实数a，b，c在数轴上对应的点如下图所示，则下列式子中正确的是

a b 0 c x A．ac > bc B．|a–b| = a–b C．–a <–b < c D．–a–c >–b–c 8．下列运算正确的是

13 A．54· = 6 B．(a3)2 =a3

222

1193 6 11b＋a C．D．(–a)÷a=(–a)a＋b ÷a2–b2 = b–a 

9．已知矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线AC，BD相交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交两边AD，BC于E，F（不与顶点重合），则以下关于错误！未找到引用源。CDE与错误！未找到引用源。ABF判断完全正确的一项为

A．错误！未找到引用源。CDE与错误！未找到引用源。ABF的周长都等于10cm，但面积不一定相等

1

B．错误！未找到引用源。CDE与错误！未找到引用源。ABF全等，且周长都为10cm

C．错误！未找到引用源。CDE与错误！未找到引用源。ABF全等，且周长都为5cm

D．错误！未找到引用源。CDE与错误！未找到引用源。ABF全等，但它们的周长和面积都不能确定

1

10．已知函数y = 的图象在第一象限的一支曲线上有一点A（a，c），点B（b，c＋1）在该函数图象

|x|

2

的另外一支上，则关于一元二次方程ax＋bx＋c = 0的两根x1，x2判断正确的是 A．x1 ＋ x2 >1，x1·x2 > 0 B．x1 ＋ x2 < 0，x1·x2 > 0 C．0 < x1 ＋ x2 < 1，x1·x2 > 0 D．x1 ＋ x2与x1·x2 的符号都不确定 二、填空题（本大题共6小题,每小题3分,共18分．本题要求把正确结果填在答题纸规定的横线上，

不需要解答过程）

11．一个底面直径是80cm，母线长为90cm的圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为 ________．

12．某校五个绿化小组一天的植树的棵数如下：10，10，12，x，8． 已知这组数据的平均数是10，那

么这组数据的方差是_________．

13．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36错误！未找到引用源。，则该等腰三角形的底角的度数

为___ __________．

223

14．把多项式6xy–9xy–y因式分解，最后结果为_________．

22

15．已知m，n是方程x＋2x–5 = 0的两个实数根，则m–mn＋3m＋n=_________． 16．以下四个命题：

①每一条对角线都平分一组对角的平行四边形是菱形．

m

②当m > 0时， y =–mx＋1与y = 两个函数都是y随着x的增大而减小．

x③已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A，B，C，D按逆时针依次排列，若A点坐标为（1，3）， 则D点坐标为（1，–3）．

④在一个不透明的袋子中装有标号为1，2，3，4的四个完全相同的小球，从袋中随机摸取一个然后放

1

回，再从袋中随机地摸取一个，则两次取到的小球标号的和等于4的概率为 ．

8

其中正确的命题有_________（只需填正确命题的序号）

三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）计算

1–1

（1）（5分）计算： 2cos 30°＋(3–2) ＋–2



31

（2）（5分）解方程： 2 –2 = 0

x＋2xx–2x

18．（6分）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65错误！未找到引用源。方向，距离灯塔80海里的A

处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45错误！未找到引用源。方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（结果用非特殊角的三角函数及根式表示即可） 19．（5分）已知实数a是不等于3的常数，解不等式组

–2x＋3≥–3 1， 并依据a的取值情况写出其解集． 1

(x–2a)＋ x < 022

20．（9分）学校为了了解初三年级学生体育跳绳的训练情况，从初三年级各班随

机抽取了50名学生进行了60秒跳绳的测试，并将这50名学生的测试成绩（即60秒跳绳的个数）从低到高分成六段记为第一到六组，最后整理成下面的频数分布直方图：请根据直方图中样本数据提供的信息解答下列问题． （1）跳绳次数的中位数落在哪一组？由样本数据的中位数你能推断出学校初三年级学生关于60秒跳绳成绩

的一个什么结论？

2



（2）若用各组数据的组中值（各小组的两个端点的数的平均数）代表各组的实际数据，求这50名学生

的60秒跳绳的平均成绩（结果保留整数）；

（3）若从成绩落在第一和第六组的学生中随机抽取2名学生，用列举法求抽取的2名学生恰好在同一

组的概率．

3

21．（7分）如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿AC折叠，点B落在点E处，AE与DC的交点为O, 连

接DE．

（1）求证：∆ADE≌∆CED; （2）求证： DE∥AC． 22．（7分）为鼓励居民节约用电，我市自2012年以来对家庭用电收费实行阶梯

电价，即每月对每户居民的用电量分为三个档级收费，第一档为用电量在180千瓦时（含180千瓦时）以内的部分，执行基本价格；第二档为用电量在180千瓦时到450千瓦时（含450千瓦时）的部分，实行提高电价；第三档为用电量超出450千瓦时的部分，执行市场调节价格． 我市一位同学家今年2月份用电330千瓦时，电费为213元，3月份用电240千瓦时，电费为150元．已知我市的一位居民今年4、5月份的家庭用电量分别为160和 410千瓦时，请你依据该同学家的缴费情况，计算这位居民4、5月份的电费分别为多少元?

k

23．（8分）如图，已知反比例函数y = （x > 0，k是常数）的图象经过点A（1,4），点B（m , n），

x

其中m＞1， AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C． （1）写出反比例函数解析式； （2）求证：∆ACB∽∆NOM； （3）若∆ACB与∆NOM的相似比为2，求出B点的坐标及AB所在直线的解析式． 24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM．

（1）求证：∠ACM=∠ABC；

（2）延长BC到D，使BC = CD，连接AD与CM交于点E，若⊙O的半径为3，

ED = 2, 求∆ACE的外接圆的半径．

12

25．（12分）如图，已知直线l的解析式为y = x–1，抛物线y = ax＋

25bx＋2经过点A（m，0），B（2，0），D 1，4 三点．



（1）求抛物线的解析式及A点的坐标，并在图示坐标系中画出抛物线的大致图象；

（2）已知点 P（x，y）为抛物线在第二象限部分上的一个动点，过点P作PE垂直x轴于点E, 延长PE

与直线l交于点F，请你将四边形PAFB的面积S表示为点P的横坐标x的函数， 并求出S的最大值及S最大时点P的坐标；

（3）将（2）中S最大时的点P与点B相连，求证：直线l上的任意一点关于x轴的对称点一定在PB

所在直线上．

4

2014年 呼 和 浩 特 市 中 考 试 卷

数学参考答案及评分标准

一、选择题

1．C 2．D 3．A 4．B 5．B 6．C 7．D 8．C 9．B 10．C 二、填空题

11．160° 12．1.6 13．63°或27°

14．–y(3x–y)2

15．8 16．① 三、计算题

17．（1）解：原式=2 × 311

2 ＋ 3–2 ＋ 2 ············· 3分= 3–(3＋2) ＋ 1

2

·······················

4分 = –32

······························

5分 （2）解：去分母得

3x2–6x–x2

–2x = 0 ·······················

1分 2x2

–8x = 0 ·························· 2分 ∴ x = 0或x = 4 ························

3分 经检验：x = 0是增根

∴ x = 4是原方程的解 ···················· 5分 18．解：过点P作PD⊥AB于D ··················· 1分

由题意知∠DPB = 45°

在RtΔPBD中，sin 45° = PD

PB

∴ PB=2PD ··························· 2分 ∵ 点A在P的北偏东65°方向上 ∴ ∠APD = 25° 在RtΔPAD中

cos 25° = PD

PA

∴ PD = PA cos 25° = 80 cos 25° ················ 5分 ∴ PB = 802 cos 25° ····················· 6分



–2x＋3≥–3…………………①19．解：12

(x–2a)＋1

2 x < 0……………②解①得：x≤3 ··························· 1分 解②得：x < a ·························· 2分 ∵ a是不等于3的常数

∴ 当a > 3时，不等式组的解集为x≤3 ··············· 4分 当a < 3时，不等式组的解集为x < a··············· 5分 20．解：（1）中位数落在第四组 ·················· 1分 由此可以估计初三学生60秒跳绳在120个以上的人数达到一半以上 ···

3分 （2）x = 2×70＋10×90＋12×110＋13×130＋10×150＋3×170

50

≈121 ·

6分

5

（3）记第一组的两名学生为A、B，第六组的三名学生为1、2、3 ···· 则从这5名学生中抽取两名学生有以下10种情况： AB，A1，A2，A3，B1，B2，B3，12，13，23

42

∴ P = = ··························

105

21．证明：（1）∵ 四边形ABCD是矩形 ∴ AD=BC AB=CD 又∵ AC是折痕 ∴ BC = CE = AD ························· AB = AE = CD ························· 7分

9分

1分 2分 又DE = ED

∴ ΔADE ≌ΔCED ························· （2）∵ ΔADE ≌ΔCED ∴ ∠EDC =∠DEA

又ΔACE与ΔACB关于AC所在直线对称 ∴ ∠OAC =∠CAB 而∠OCA =∠CAB

∴ ∠OAC =∠OCA ························· ∴ 2∠OAC = 2∠DEA ························ ∴ ∠OAC =∠DEA

∴ DE∥AC ···························· 22．解：设基本电价为x元/千瓦时，提高电价为y元/千瓦时 ······ 由题意得：

180x＋150y=213

180x＋60y =150 ······················· 解之得：x=0.6

y=0.7

·························

∴ 4月份的电费为：160×0.6=96元

5月份的电费为：180×0.6＋230×0.7 = 108＋161 = 269元 答：这位居民4、5月份的电费分别为96元和269元． ·········

23．解：（1）∵ y = k

x

过（1，4）点

∴ k = 4，反比例函数解析式为y = 4

x

···············

（2）∵ B（m，n） A（1，4）

∴ AC = 4–n，BC = m–1，ON = n，OM = 1 ············· ∴ AC4–n4ON = n = n

–1

而B（m，n）在y = 4

x

上

∴ 4

n = m

∴ AC

ON

= m–1

而 BCm–1OM = 1

∴ ACBC

ON = OM

···························

又∵ ∠ACB =∠NOM = 90°

∴ ΔACB∽ΔNOM ·························

3分

5分 6分 7分 1分 3分 4分

7分

1分 2分

4分 5分

6

（3）∵ ΔACB与ΔNOM的相似比为2 ∴ m–1 = 2 ∴ m = 3

4

∴ B点坐标为（3，） ······················ 6分

3

设AB所在直线的解析式为y = kx＋b

4∴ 3 = 3k＋b

4 = k＋b

∴ k = –4163 b = 3

∴ 解析式为y = –43 x＋16

3

····················

24．证明：（1）连接OC ······················ ∵ AB为⊙O的直径 ∴ ∠ACB = 90°

∴ ∠ABC ＋∠BAC = 90° 又∵ CM是⊙O的切线 ∴ OC⊥CM

∴ ∠ACM ＋∠ACO = 90° ···················· ∵ CO = AO

∴ ∠BAC =∠ACO

∴ ∠ACM =∠ABC ························· （2）∵ BC = CD ∴ OC∥AD 又∵ OC⊥CE ∴ AD⊥CE

∴ ΔAEC是直角三角形

∴ ΔAEC的外接圆的直径为AC ··················· 又∵ ∠ABC ＋∠BAC = 90° ∠ACM ＋∠ECD = 90° 而∠ABC =∠ACM ∴ ∠BAC =∠ECD

又∠CED =∠ACB = 90° ∴ ΔABC∽ΔCDE ∴ ABCD = BCED

而⊙O的半径为3 ∴ AB = 6

∴ 6BCCD = 2

∴ BC2

= 12

∴ BC = 23 ·························· 在RtΔABC中

∴ AC = 36–12 = 26 ····················· ∴ ΔAEC的外接圆的半径为6 ···················

25．解：（1）∵ y = ax2

＋bx＋2经过点B、D

4a＋2b＋ ∴ 

2 = 0

a＋b＋2 = 5



4 8分 1分

2分

3分

4分

6分 7分 8分

7

解之得：a =–14，b =–1

2 ∴ y =–12 1

4 x–2

x＋2 ······················· 2分

∵ A（m，0）在抛物线上

∴ 0 =–12 1

4 m–2

m＋2

解得：m =–4

∴ A（–4，0） ·························· 3分

图像（略） ···························· 4分

（2）由题设知直线l的解析式为y = 1

2

x–1

∴ S = 1

2 AB·PF

= 1

2

×6·PF

= 3（–12 11

4 x–2 x＋2＋1–2 x） ················ 5分

= –34 x2

–3x＋9

= –34

（x＋2）2

＋12 ····················· 6分

其中–4 < x < 0 ························· 7分 ∴ S最大= 12，此时点P的坐标为（–2，2） ············· 9分 （3）∵ 直线PB过点P（–2，2）和点B（2，0）

∴ PB所在直线的解析式为y =–1

2

x＋1 ··············· 10分

设Q（a，12 a–1）是y = 1

2

x–1上的任一点

则Q点关于x轴的对称点为（a，1–1

2

a）

将（a，1–11

2 a）代入y =–2

x＋1显然成立 ············· 11分

∴ 直线l上任意一点关于x轴的对称点一定在PB所在的直线上 ····· 12分 注：本卷中各题如有不同解法，可依据情况酌情给分。 8