2006年上海高考理科数学解析版

2006年全国普通高等学校招生统一考试

上海 数学试卷（理工农医类）

考生注意：

1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．

2．本试卷共有22道试题，满分150分，考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．

一．填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．已知集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3，m2}．若BA，则实数m＝ ． 2．已知圆x2－4x－4＋y＝0的圆心是点P，则点P到直线x－y－1＝0的距离是 ． 3．若函数f(x)＝ax（a＞0，且a≠1）的反函数的图像过点（2，－1），则a＝ ．

3Cn4．计算：lim3＝ ．

nn125．若复数z同时满足z－z＝2i，z＝iz（i为虚数单位），则z＝ ．

1，且是第四象限的角，那么cos()＝ ． 527．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程

6．如果cos＝

是 ． 8．在极坐标系中，O是极点，设点A（4，

5），B（5，－），则△OAB的面积是 ．

639．两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左

边4本恰好都属于同一部小说的概率是 （结果用分数表示）．

10．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 ． 11．若曲线y＝|x|＋1与直线y＝kx＋b没有公共点，则k、b分别应满足的条件是 ．

12．三个同学对问题“关于x的不等式x2＋25＋|x3－5x2|≥ax在[1，12]上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路． 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”． 乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”． 丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图像”．

参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a的取值范围是 ．

二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必本大题满分16分）须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分． 13．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是 [答]（ ） （A）AB＝DC；（B）AD＋AB＝AC；

A ----完整版学习资料分享----

2D B C 资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除





（C）AB－AD＝BD；（D）AD＋CB＝0．

14．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的 [答]（ ）

（A）充分非必要条件；（B）必要非充分条件；（C）充要条件；（D）非充分非必要条件． 15．若关于x的不等式(1k)x≤k4＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有[答]（ ） （A）2∈M，0∈M； （B）2M，0M； （C）2∈M，0M； （D）2M，0∈M．

16．如图，平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若p、q分别是M到直线l1和

2l2的距离，则称有序非负实数对（p，q）是点M的“距离坐标”．已知常数p≥0，q≥0，给出下列

l1命题：

①若p＝q＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点

M（p，q） 有且仅有1个；

l2 ②若pq＝0，且p＋q≠0，则“距离坐标”为

O （p，q）的点有且仅有2个；

③若pq≠0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有4个．

上述命题中，正确命题的个数是 [答]（ ） （A）0； （B）1； （C）2； （D）3．

三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．（本题满分12分） 求函数y＝2cos(x4)cos(x4)＋3sin2x的值域和最小正周期．

[解] 18．（本题满分12分）

如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1）？ [解]

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A 10 北

20 B •

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19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60． （1）求四棱锥P－ABCD的体积； （2）若E是PB的中点，求异面直线 DE与PA所成角的大小（结果用反 三角函数值表示）． [解]（1）

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A B P E O D C 资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除

（2） 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y＝2x相交于A、B两点． （1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么OAOB＝3”是真命题；

（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由． [解]（1）

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2资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除

（2） 21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

已知有穷数列{an}共有2k项（整数k≥2），首项a1＝2．设该数列的前n项和为Sn，且an1＝

(a1)Sn＋2（n＝1，2，┅，2k－1），其中常数a＞1．

（1）求证：数列{an}是等比数列； （2）若a＝2项公式；

（3）若（2）中的数列{bn}满足不等式|b1－[解]（1）

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22k1，数列{bn}满足bn＝

1，求数列{bn}的通log2(a1a2an)（n＝1，2，┅，2k）

n3333|＋|b2－|＋┅＋|b2k1－|＋|b2k－|≤4，求k的值． 2222资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除

（2）

（3） 22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分）

已知函数y＝x＋＋∞)上是增函数．

a有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在(0，a]上是减函数，在[xa，

2b（1）如果函数y＝x＋（x＞0）的值域为[6，＋∞)，求b的值；

xc（2）研究函数y＝x2＋2（常数c＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；

xaa（3）对函数y＝x＋和y＝x2＋2（常数a＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研

xx11究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F(x)＝(x2)n＋(2x)n（n是

xx----完整版学习资料分享----

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正整数）在区间[[解]（1）

（2）

（3）

1，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）． 2上海数学(理工农医类)参考答案

2006年全国普通高等学校招生统一考试

上海 数学试卷（理工农医类）

考生注意：

1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．

2．本试卷共有22道试题，满分150分，考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．

一．填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4

分，否则一律得零分．）

1．已知集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3，m}．若BA，则实数m＝ ； 解：由m22m1m1，经检验，m1为所求；

2．已知圆x2－4x－4＋y＝0的圆心是点P，则点P到直线x－y－1＝0的距离是 ； 解：由已知得圆心为：P(2,0)，由点到直线距离公式得：d----完整版学习资料分享----

22|201|2； 211资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除

3．若函数f(x)＝ax（a＞0，且a≠1）的反函数的图像过点（2，－1），则a＝ ； 解：由互为反函数关系知，f(x)过点(1,2)，代入得：a12a1；

23Cn4．计算：lim3＝ ；

nn1

12332Cnn(n1)(n2)nnn3n2n1解：lim3limlimlimnn1n(n31)3!n(n31)3!n(113)3!632；

n5．若复数z同时满足z－z＝2i，z＝iz（i为虚数单位），则z＝ ； 解：已知ZiZ2iZ2ii1；

1i1，且是第四象限的角，那么cos()＝ ； 52 解：已知cos()sin(1cos2)26；

257．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的

6．如果cos＝

标准方程是 ；

b242y2a2b,c232xa161为所求； 解：已知222164abcF(23,0)58．在极坐标系中，O是极点，设点A（4，），B（5，－），则△OAB的面积是 ；

63 解：如图△OAB中，OA4,OB5,AOB2((5))5

366SAOB145sin55 (平方单位)；

26

9．两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成

一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是 （结果用分数表示）；

1P4种方法； 解：分为二步完成： 1) 两套中任取一套，再作全排列，有C2 2) 剩下的一套全排列，有P4种方法；

1C2P4P41； 所以，所求概率为：

P83510．如果一条直线与一个平面垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体

中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 ； 解：正方体中，一个面有四条棱与之垂直，六个面，共构成24个“正交线面对”；而正方

体的六个对角截面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线

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面对”，所以共有36个“正交线面对”；

211．若曲线y＝|x|＋1与直线y＝kx＋b没有公共点，则k、b分别应满足的条件

是 ． 解：作出函数y2|x|1 如右图所示：

所以，k0,b(1,1)；

12．三个同学对问题“关于x的不等式x2＋25＋|x3－5x2|≥ax在[1，12]上恒成立，求实数a

的取值范围”提出各自的解题思路．

甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．

乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”． 丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图像”．

参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a的取值范围是 ； 解：由x2＋25＋|x3－5x2|≥ax,1x12ax25|x25x|，

x1,x0的图象，

x1,x0x 而x252x2510，等号当且仅当x5[1,12]时成立；

xx 且|x25x|0，等号当且仅当x5[1,12]时成立；

所以，a[x25|x25x|]min10，等号当且仅当x5[1,12]时成立；故a(,10]；

x二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结

论，其中有且只有一个结论是正确的，必本大题满分16分）须把正确结论的代号写在题 后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括 号内），一律得零分．

13．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是 [答]（ ）

（A）ABDC； （B）ADABAC； （C）ABADBD； （D）ADCB0；

解：由向量定义易得， （C）选项错误；ABADDB；

A

B

14．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”

的 [答]（ ）

（A）充分非必要条件；（B）必要非充分条件；（C）充要条件；（D）非充分非必要条件； 解： 充分性成立： “这四个点中有三点在同一直线上”有两种情况：

1）第四点在共线三点所在的直线上，可推出“这四个点在同一平面上”； 2）第四点不在共线三点所在的直线上，可推出“这四点在唯一的一个平面内”；

必要性不成立：“四个点在同一平面上”可能推出“两点分别在两条相交或平行直线上”； 故选（A）

415．若关于x的不等式(1k)x≤k＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有[答]（ ）

D C

2（A）2∈M，0∈M； （B）2M，0M； （C）2∈M，0M； （D）2M，0∈M；

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解：选（A）

方法1：代入判断法，将x2,x0分别代入不等式中，判断关于k的不等式解集是

否为R；

方法2：求出不等式的解集：

4(1k2)x≤k4＋4xk24(k21)252x[(k21)252]min252；

k1k1k116．如图，平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若p、q分别是M到

直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对（p，q）是点M的“距离坐标”． 已知常数p≥0，q≥0，给出下列命题：

① 若p＝q＝0，则“距离坐标”为（0，0）的

点有且仅有1个；

② 若pq＝0，且p＋q≠0，则“距离坐标”为 （p，q）的点有且仅有2个；

③ 若pq≠0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有4个．

上述命题中，正确命题的个数是 [答]（ ）

（A）0； （B）1； （C）2； （D）3． 解：选（D）

① 正确，此点为点O； ② 正确，注意到p,q为常数，由p,q中必有一个为零，另

一个非零，从而可知有且仅有2个点，这两点在其中一条直线上，且到另一直线的距 离为q（或p）； ③ 正确，四个交点为与直线l1相距为p的两条平行线和与直线l2 相距为q的两条平行线的交点；

三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．（本题满分12分）

求函数y2cos(x)cos(x)3sin2x的值域和最小正周期．

l1M（p，q）

l2

O

44[解] y2cos(x)cos(x)3sin2x

442(1cos2x1sin2x)3sin2x22 cos2x3sin2x

2sin(2x)6 ∴ 函数y2cos(x)cos(x)3sin2x的值域是[2,2],最小正周期是； 4418．（本题满分12分）

如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待 营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙 船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1）？ [解] 连接BC,由余弦定理得

BC2=202+102－2×20×10COS120°=700.

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于是,BC=107. ∵

3sinACBsin120, ∴sin∠ACB=,

720107 ∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41°

∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援.

19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60，对角线AC与BD相交 于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60． （1）求四棱锥P－ABCD的体积； （2）若E是PB的中点，求异面直线

DE与PA所成角的大小（结果用 反三角函数值表示）．

[解]（1）在四棱锥P-ABCD中,由PO⊥平面ABCD,得

∠PBO是PB与平面ABCD所成的角, ∠PBO=60°. 在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1, 由PO⊥BO, 于是,PO=BOtg60°=3,而底面菱形的面积为23. ∴四棱锥P-ABCD的体积V=

（2）解法一：以O为坐标原点,射线OB、OC、

OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立 空间直角坐标系.

在Rt△AOB中OA=3,于是,点A、B、 D、P的坐标分别是A(0,－3,0), B (1,0,0), D (－1,0,0), P (0,0, E是PB的中点,则E(

A

B E O D

C

P

1×23×3=2. 33).

3,3).

3313,0,) 于是DE=(,0, ),AP=(0,

22223222设DE与AP的夹角为θ,有cosθ=,θ=arccos, 44933344∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos 解法二：取AB的中点F,连接EF、DF.

由E是PB的中点,得EF∥PA， ∴∠FED是异面直线DE与PA所成

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2； 4资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除

角(或它的补角)，

在Rt△AOB中AO=ABcos30°=3=OP， 于是, 在等腰Rt△POA中， PA=6，则EF=

6. 2在正△ABD和正△PBD中,DE=DF=3，

16EF224= cos∠FED=

DE34∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y＝2x相交于A、B两点． （1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么OAOB＝3”是真命题； （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．

[解]（1）设过点T(3,0)的直线l交抛物线y2=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2).

当直线l的钭率不存在时,直线l的方程为x=3,此时,直线l与抛物线相交于点A(3,6)、B(3,－

22. 46). ∴OAOB=3；

当直线l的钭率存在时,设直线l的方程为yk(x3)，其中k0，

y22x 由得 ky22y6k0y1y26

yk(x3) 又 ∵ x11y12,x21y22，

22 ∴OAOBx1x2y1y21(y1y2)2y1y23，

4 综上所述，命题“如果直线l过点T(3,0)，那么OAOB=3”是真命题；

(2)逆命题是：设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点,如果OAOB=3,那么该直线过点T(3,0).该命题

是假命题.

例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(

1,1)，此时OAOB=3, 22直线AB的方程为：y(x1)，而T(3,0)不在直线AB上；

3说明：由抛物线y2=2x上的点A (x1,y1)、B (x2,y2) 满足OAOB=3，可得y1y2=－6，

或y1y2=2，如果y1y2=－6，可证得直线AB过点(3,0)；如果y1y2=2，可证得直线 AB过点(－1,0),而不过点(3,0).

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21．（本题满分16分，本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题

满分6分）

已知有穷数列{an}共有2k项（整数k≥2），首项a1＝2．设该数列的前n项和为Sn，且an1＝

(a1)Sn＋2（n＝1，2，┅，2k－1），其中常数a＞1．

（1）求证：数列{an}是等比数列； （2）若a＝2

22k1，数列{bn}满足bn＝

1， log2(a1a2an)（n＝1，2，┅，2k）

n求数列{bn}的通项公式；

（3）若（2）中的数列{bn}满足不等式|b1－

≤4，求k的值．

(1) [证明] 当n=1时,a2=2a,则

3333|＋|b2－|＋┅＋|b2k1－|＋|b2k－| 2222a2=a； a1 2≤n≤2k－1时, an+1=(a－1) Sn+2, an=(a－1) Sn－1+2, an+1－an=(a－1) an, ∴

an1=a, ∴数列{an}是等比数列. ann12(n1) (2) 解：由(1) 得an=2a bn=[nn1, ∴a1a2…an=2a=2a

nn(n1)2=2

nn(n1)2k1,

n(n1)n1]1(n=1,2,…,2k).

2k12k1313 （3）设bn≤,解得n≤k+,又n是正整数,于是当n≤k时, bn<；

2223 当n≥k+1时, bn>.

233333 原式=(－b1)+(－b2)+…+(－bk)+(bk+1－)+…+(b2k－)

22222 =(bk+1+…+b2k)－(b1+…+bk)

1n11(k2k1)k(0k1)kk222 =[. k][k]=

2k12k12k1k2

当≤4,得k2－8k+4≤0, 4－23≤k≤4+23,又k≥2,

2k1

∴当k=2,3,4,5,6,7时,原不等式成立.

22．（本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题

满分9分） 已知函数y＝x＋＋∞)上是增函数．

a有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在(0，a]上是减函数，在[xa，

2b（1）如果函数y＝x＋（x＞0）的值域为[6，＋∞)，求b的值；

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c（常数c＞0）在定义域内的单调性，并说明理由； 2xaa（3）对函数y＝x＋和y＝x2＋2（常数a＞0）作出推广，使它们都是你所推广的

xx函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F(x)

111＝(x2)n＋(2x)n（n是正整数）在区间[，2]上的最大值和最小值（可利

x2x（2）研究函数y＝x2＋

用你的研究结论）．

2bbb[解]（1）函数y=x+(x>0)的最小值是22，则22=6, ∴b=log29.

x (2) 设0xc 又y=x22是偶函数，于是，

x 当4cy1, 函数y=x2该函数在(－∞,－4c]上是减函数, 在[－4c,0)上是增函数；

a(常数a>0),其中n是正整数. nxa 当n是奇数时,函数y=xnn在(0,2na]上是减函数,在[2na,+∞) 上是增函数,

x (3) 可以把函数推广为y=xn 在(－∞,－2na]上是增函数, 在[－2na,0)上是减函数； 当n是偶数时,函数y=xna2n2naa,+∞) 上是增函数, 在(0,]上是减函数,在[nx 在(－∞,－2na]上是减函数, 在[－2na,0)上是增函数； F(x)=(x2)n+(0 =Cn(x2n1x1n x)2x111112n3r2n3rnn)C(x)C(x)C(x) nnn2n2n32n3rnxxxx1 因此F(x) 在 [,1]上是减函数,在[1,2]上是增函数.

2199 所以，当x=或x=2时，F(x)取得最大值()n+()n；

224 当x=1时F(x)取得最小值2n+1；

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