倾斜角与斜率参考答案

1．下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是( ) A．(4,2)与(－4,1) C．(3，－1)与(2，－1) 答案 D

解析 D项，因为x1＝x2＝－2，所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在． 2．(多选)已知直线斜率的绝对值为3，则直线的倾斜角可以为( ) A．30° B．60° C．120° D．150° 答案 BC

解析 由题意得直线的斜率为3或－3，故直线的倾斜角为60°或120°. 3．已知点A(3，1)，B(33，3)，则直线AB的倾斜角是( ) A．60° C．120° 答案 B 解析 kAB＝

3－133＝，∴tan θ＝且0°≤θ＜180°，∴θ＝30°.

333－33

B．30° D．150° B．(0,3)与(3,0) D．(－2,2)与(－2,5)

4．若某直线的斜率k∈(－∞，3]，则该直线的倾斜角α的取值范围是( ) π

0， A.3ππ

0，∪，π C.32答案 C

π解析 ∵直线的斜率k∈(－∞，3]，∴k≤tan ，

3ππ

0，∪，π. ∴该直线的倾斜角α的取值范围是32

5．如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )

ππB.3，2 πD.3，π

A．k1＜k3＜k2 C．k1＜k2＜k3

B．k3＜k1＜k2 D．k3＜k2＜k1

答案 A

解析 设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则由图知0°＜α3＜α2＜90°＜α1＜180°， 所以tan α1＜0，tan α2＞tan α3＞0，即k1＜0，k2＞k3＞0.

6．直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率的取值范围是( ) A．[0,2] 10， C.2答案 A

2－0解析 如图，当直线l在l1的位置时，k＝tan 0°＝0；当直线l在l2的位置时，k＝＝2，故直线l的斜

1－0率的取值范围是[0,2]．

7．已知点A(1,2)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为135°，则点P的坐标为 ． 答案 (3,0)或(0,3)

解析 由题意知，kPA＝－1，若点P在x轴上，设点P的坐标为P(m,0)(m≠1)， 则

0－2

＝－1，解得m＝3，即P(3,0)． m－1

B．[0,1] 1

－，0 D.2

n－2

若点P在y轴上，设点P的坐标为P(0，n)，则＝－1，解得n＝3，即P(0,3)．

0－1综上，点P的坐标为(3,0)或(0,3)．

8．若经过点A(1－t,1＋t)和点B(3,2t)的直线的倾斜角为钝角，则实数t的取值范围是 ． 答案 (－2,1)

解析 由题意知，kAB＝

2t－1＋tt－1

＝.因为直线的倾斜角为钝角，

3－1－tt＋2

t－1

所以kAB＝<0，解得－2t＋2

9．已知直线l经过两点A(－1，m)，B(m,1)，问：当m取何值时：

(1)直线l与x轴平行？(2)直线l与y轴平行？(3)直线l的方向向量的坐标为(3,1)． (4)直线的倾斜角为45°？(5)直线的倾斜角为锐角？

解 (1)若直线l与x轴平行，则直线l的斜率k＝0，∴m＝1. (2)若直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在，∴m＝－1.

1－m111

(3)直线l的方向向量的坐标为(3,1)，故k＝，即＝，解得m＝.

32m＋13m－1

(4)由题意可知，直线l的斜率k＝1，即＝1，解得m＝0.

－1－mm－1

(5)由题意可知，直线l的斜率k>0，即>0，解得－1－1－m

10.如图所示，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，OB边在x轴的正半轴上，已知∠BOD＝60°，求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率．

解 在菱形OBCD中，OD∥BC，∠BOD＝60°，所以直线OD，BC的倾斜角相等，都为60°， 所以kOD＝kBC＝tan 60°＝3.因为CD∥OB，且OB在x轴上， 所以直线OB，CD的倾斜角相等，都为0°，所以kOB＝kCD＝0，

由菱形的性质，知∠COB＝30°，∠OBD＝60°，所以直线OC，BD的倾斜角分别为30°，120°， 所以kOC＝tan 30°＝

3

，kBD＝tan 120°＝－3. 3

11．如果直线l先沿x轴负方向平移2个单位长度，再沿y轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是( ) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案 B

解析 设A(a，b)是直线l上任意一点，则平移后得到点A ′(a－2，b＋2)， 于是直线l的斜率k＝kAA′＝

b＋2－b

＝－1.

a－2－a

12．已知点A(2,3)，B(－3，－2)，若直线l过点P(1,1)，且与线段AB始终没有交点，则直线l的斜率k的取值范围是( )

3



3k> C.k

4

3

k>2或k< B.k4



D．{k|k<2}

答案 A 解析 ∵kAP＝

3－1－2－13

＝2，kBP＝＝，如图， 2－1－3－14

3

∵直线l与线段AB始终没有交点，∴斜率k的取值范围是4，2.

π3π13．已知直线l的倾斜角的取值范围是4，4，则直线l的斜率的取值范围是 ． 答案 (－∞，－1]∪[1，＋∞)

π

解析 当倾斜角α＝时，l的斜率不存在；

2

πππ3π

，时，l的斜率k＝tan α∈[1，＋∞)；当α∈，时，l的斜率k＝tan α∈(－∞，－1]． 当α∈422414．已知O(O为坐标原点)是等腰直角三角形OAB的直角顶点，点A在第一象限，∠AOy＝15°，则斜边AB所在直线的斜率为 ． 答案

3或－3 3

解析 设直线AB与x轴的交点为C，(图略)则∠ACO＝180°－∠A－∠AOC＝180°－45°－105°＝30°， 或∠ACO＝180°－∠A－∠AOC＝180°－45°－75°＝60°.所以kAB＝tan 30°＝

3或kAB＝tan 120°＝－3. 3

15．直线l的方向向量为(－1,2)，直线l的倾斜角为α，则tan 2α的值是( ) 4A. 33C. 4答案 A

解析 ∵直线l的方向向量为m＝(－1,2)，∴直线l的斜率等于－2， －442tan α

∴tan α＝－2，tan 2α＝＝＝.

1－tan2α1－43

y－1

16．已知实数x，y满足方程x＋2y＝6，当1≤x≤3时，求的取值范围．

x－2解

y－1

的几何意义是过M(x，y)，N(2,1)两点的直线的斜率． x－2

4B．－

33D．－

4

531，，B3，， 因为点M在函数x＋2y＝6的图象上，且1≤x≤3，所以可设该线段为AB，且A22y－13131

－∞，－∪，＋∞. 又kNA＝－，kNB＝，所以的取值范围是2222x－2