数学课例研究报告
一．研究目标
基本目标： 通过研究体现数学课堂教学中学生学生主体作用的激发、
学生参与作用的操
作、学生能力培养方面的发挥、 教学策略多样化、 教学模式系列化的课堂教学实例及理论成果。
衍生目标：在研究中，通过课例实践，让学生在
“做中学 ”，激发和增强对学习数学的兴
趣，体验自主学习与探究思考的过程， 发现和掌握数学学习方法， 建构自己的数学知识体系，发展自己的数学思维，感悟数学之美，提高数学学习水平。
二、课题研究的内容与方法 （一）研究的内容
课例研究， 是最基础的教学实践研究， 从课例中， 我们可以观察到的教与学实践过程要素是：
●关于教师的教：
A 、教学设计的适切性（包涵信息技术应用的适切性） B、教学过程的生成性（教学机智） C、教学评价的有效性 关于学生的学： A 、学习的准备 B、学习的注意程度
C、数学思维的深度、广度、灵活性 D、知识巩固能力
●关于信息技术与数学课程整合的过程： 构建有效教学过程，促进学生意义建构
因此，我们的研究内容主要包括对课例的系统分析、总结和课例要素的观察分析。
（二）研究的方法
本课题主要采用行动研究法。 以信息技术与初中数学课程整合的研究为载体，
把探索研
究结果与运用研究成果结合起来，边设计边实施， 边实施边修正， 边修正边反思， 促进课题研究的深入。 重点初中各年级的教材内容为主， 选择一些突破口。 选择若干个点分析其理论基础、内容特点、技术特征、学生的学习方式、学习结果及学生的个性发展等进行研究。
课例研究的流程包括五个步骤：
（ 1）课前分析（教学内容分析、学生分析）； （ 2）教学设计； （ 3）课堂教学观察； （ 4）教学反思； （ 5）教学过程建模。 三、研究的过程
第一阶段：行动序曲
初步的个人备课和准备阶段：
1．研讨课例研究目标的构建与课例内容的确立，形成课例的初步研究方案。 2．制定和申报课例研究方案，成立课例研究组。 第二阶段：实践探索：
1．开展课例研究工作，确定有关研究课的内容，注重集体研讨。 2 搜集、整理内容，以便有计划、有系统地进行研究。
3．有实验教师讲课，研究小组听课、评课，形成一定的教学模式。 第三：课后反思
第四阶段：全面总结课题研究工作，撰写集体备课笔记
四： 课例研修报告：
课例名称： 1、一元二次方程
教师：王伟
课时数：一课时
课型：新授课
一元二次方程 ４．分解因式法
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：在前几册学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元
一次方程的分式方程等， 初步感受了方程的模型作用， 并积累了解一元一次方程的方法， 熟练掌握了解一元一次方程的步骤； 在八年级学生学习了分解因式， 掌握了提公因式法及运用公式法 （平方差、完全平方）熟练的分解因式； 在本章前几节课中又学习了配方法及公式法解一元二次方程， 掌握了这两种方法的解题思路及步骤。
学生活动经验基础： 在相关知识的学习过程中， 学生已经经历了用配方法和公式法求一元二次方程的解的过程， 并在现实情景中加以应用， 切实提高了应用意识和能力， 也感受到了解一元二次方程的必要性和作用； 同时在以前的数学学习中， 学生已经经历了很多合作学习的过程， 具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析
教科书基于用分解因式法解一元二次方程是解决特殊问题的一种简便、特殊的方法的基础之
上，提出了本课的具体学习任务：能根据已有的分解因式知识解决形如“ x( x－a)=0”和“ x2－a2=0”的特殊一元二次方程。但这仅仅是这堂课具体的教学目标，或者说是一个近期目标。数学教
学由一系列相互联系而又渐次递进的课堂组成， 因而具体的课堂教学也应满足于远期目标， 或者说，数学教学的远期目标，应该与具体的课堂教学任务产生实质性联系。 本课《分解因式法》 内容从属
于“方程与不等式”这一数学学习领域， 因而务必服务于方程教学的远期目标： “经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程， 体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型， 并在解一元二次方程的过程中体会转化的数学思想， 进一步培养学生分析问题、 解决问题的意识和能力。 ”
同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。为此，本节课的 教学目标 是：
教学目标
1、能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性；
2、会用分解因式法（提公因式法、公式法）解决某些简单的数字系数的一元二次方程；
3、通过分解因式法的学习，培养学生分析问题、解决问题的能力，并体会转化的思想。
4、通过小组合作交流，尝试在解方程过程中，多角度地思考问题，寻求从不同角度解决问题的方
法，并初步学会不同方法之间的差异，学会在与他人的交流中获益。
三、教学过程分析
本节课设计了七个教学环节：第一环节：复习回顾；第二环节：情境引入，探究新知；第三环节：例题解析；第四环节：巩固练习；第五环节：拓展延伸；第六环节：感悟与收获；第七环节：布置作业。
第一环节：复习回顾
2
内容：1、用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化为
(x+m) =n（n≥0）的形式。
3、选择合适的方法解下列方程：
2
2
①x-6x=7 ②3x +8x-3=0
目的： 以问题串的形式引导学生思考，回忆两种解一元二次方程的方法，有利于学生衔接前后知识，形成清晰的知识脉络，为学生后面的学习作好铺垫。
实际效果 ：第一问题学生先动笔写在练习本上，有个别同学少了条件“ n≥0”。 第二问题由于较简单，学生很快回答出来。
第三问题由学生独立完成， 通过练习学生复习了配方法及公式法， 并能灵活应用， 提高了学生自信心。
第二环节：情景引入、探究新知
1、师：有一道题难住了我，想请同学们帮助一下，行不行？
生：齐答行。
师：出示问题，一个数的平方与这个数的 3 倍有可能相等吗？如果能， 这个数是几？你是怎样求出来的？
说明：学生独自完成，教师巡视指导，选择不同答案准备展示。
附：学生 A：设这个数为 x，根据题意，可列方程
x2=3x
2∴x-3x=0
∵ a=1,b= -3,c=0 ∴ b2-4ac=9 ∴ x1=0, x2=3 ∴ 这个数是 0 或 3。
学生 B：: 设这个数为 x，根据题意，可列方程
x2 =3x
∴ x2-3x=02
2x -3x+(3/2)
2
2
(x-3/2)
=(3/2)
=9/4
∴ x-3/2=3/2 或 x-3/2= -3/2 ∴ x1=3,x2=0 ∴这个数是 0 或 3。
学生 C： : 设这个数为 x，根据题意，可列方程
x2=3x ∴
x2-3x=0 即 x(x-3)=0
∴ x=0 或 x-3=0
∴
x1=0,
x 2=3 ∴
这个数是 0 或 3
。 学生 D：设这个数为 x，根据题意，可列方程
2x =3x
两边同时约去 x, 得
内容：
∴ ∴ x=3
这个数是 3。
2、师：同学们在下面用了多种方法解决此问题，观察以上四个同学的做法是否存在问题 ?你认为那种方法更合适 ?为什么 ?
说明：小组内交流 , 中心发言人回答 , 及时让学生补充不同的思路，关注每一个学生的参与情
况。
超越小组：我们认为 D 小组的做法不正确 , 因为要两边同时约去 X, 必须确保 X 不等于 0, 但题目中没有说明。虽然我们组没有人用 C同学的做法 , 但我们一致认为 C 同学的做法最好 , 这样做简单又准确 .
学生 E：补充一点，刚才讲 X 须确保不等于 0，而此题恰好 X=0,所以不能约去，否则丢根 .
师：这两位同学的回答条理清楚并且叙述严密，相信下面同学的回答会一个比一个棒 !( 及时评价鼓励，激发学生的学习热情 )
3、师：现在请 C同学为大家说说他的想法好不好 ?
生：齐答好
学生 C：X(X-3)=0 所以 X1=0 或 X2=3 因为我想 3×0=0, 0×(-3)=0 ， 0×0=0 反过
来，如果 ab=0, 那么 a=0 或 b=0, 所以 a 与 b 至少有一个等于 0
4、师：好，这时我们可这样表示：
如果 a×b=0, 那么 a=0 或 b=0 这就是说：当一个一元二次方程降为两个一元一次方程时，
这两个一元一次方程中用的是“或”，而不用“且”。
所以由 x(x-3)=0 得到 x=0 和 x-3=0 时，中间应写上“或”字。 我们再来看 c 同学解方程 x =3x 的方法，他是把方程的一边变为 0，而另一边可以分解成两个
因式的乘积，然后利用 a×b=0, 则 a=0 或 b=0, 把一元二次方程变成一元一次方程， 从而求出方程的解。我们把这种解一元二次方程的方法称为分解因式法，即
当一元二次方程的一边为 0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我门就采用分解因式法来解一元二次方程。
2
目的：通过独立思考 , 小组协作交流 , 力求使学生根据方程的具体特征 , 灵活选取适当的解法 . 在操作活动过程中 , 培养学生积极的情感 , 态度，提高学生自主学习和思考的能力 , 让学生尽可能自己探索新知 , 教师要关注每一位学生的发展 . 问题 3 和 4 进一步点明了分解因式的理论根据及实质 , 教师总结了本节课的重点 .
实际效果 ：对于问题 1 学生能根据自己的理解选择一定的方法解决，速度比较快。第 2 问让学
生合作解决，学生在交流中产生了不同的看法， 经过讨论探究进一步了解了分解因式法解一元二次方程是一种更特殊、简单的方法。 C同学对于第 3 问的回答从特殊到一般讲解透彻，学生语言学生更容易理解。问题 4 的解决很自然地探究了新知——分解因式法 . 并且也点明了运用分解因式法解一元二次方程的关键：将方程左边化为因式乘积 , 右边化为 0，这为后面的解题做了铺垫。
说明：如果 ab=0，那么 a=0 或 b=0，“或”是“二者中至少有一个成立”的意思，包括两种情况，二者同时成立；二者有一个成立。“且”是“二者同时成立”的意思。
第三环节 例题解析
内容：解下列方程 (1) 、 5X2=4X ( 仿照引例学生自行解决 )
( 师生共同解决 ) (2) 、 X-2=X(X-2)
2
( 师生共同解决 ) (3) 、 (X+1) -25=0
学生 G：解方程（ 1）时，先把它化为一般形式，然后再分解因式求解。
解：（ 1）原方程可变形为
5X2-4X=0
∴ ∴
∴ X(5X-4)=0 X=0或 5X-4=0 X1=0, X2=4/5
学生 H：解方程（ 2）时因为方程的左、右两边都有 (x-2), 所以我把 (x-2) 看作整体，然后移项，
再分解因式求解。
解： (2) 原方程可变形为
（X-2）-X(X-2)=0
∴ (X-2)(1-X)=0
∴ X-2=0 或 1-X=0
∴ X1=2 ， X2 =1
学生 K：老师，解方程（ 2）时能否将原方程展开后再求解
师：能呀，只不过这样的话会复杂一些，不如把 (x-2) 当作整体简便。
学生 M：方程 (x+1) 2- 25=0的右边是 0，左边 (x+1) 2-25 可以把 (x+1) 看做整体，这样左边就是一个平方差，利用平方差公式即可分解因式。
解： (3) 原方程可变形为
[(X+1)+5][(X+1)-5]=0
∴ (X+6)(X-4)=0
∴ X+6=0或 X-4=0
∴ X1=-6 ， X2=4
师：好﹗这个题实际上我们在前几节课时解过，当时我们用的是开平方法，现在用的是因式
分解法。由此可知：一个一元二次方程的解法可能有多种，我们在选用时，以简便为主。
问题： 1、用这种方法解一元二次方程的思路是什么 ?步骤是什么 ? ( 小组合作交流 )
2、对于以上三道题你是否还有其他方法来解 ? ( 课下交流完成 )
目的：例题讲解中 , 第一题学生独自完成 , 考察了学生对引例的掌握情况 , 便于及时反馈。第 2、
3 题体现了师生互动共同合作，进一步规范解题步骤 , 最后提出两个问题。问题 1 进一步巩固分解
因式法定义及解题步骤，而问题 2 体现了解题的多样化。
实际效果 ：对于例题中 (1) 学生做得很迅速 , 正确率比较高； (2) 、(3) 题经过探究合作最终顺利的完成 , 所以学生情绪高涨 , 讨论热烈 , 思维活跃 , 正是因为这，问题 1、2 学生们有见地的结论不断涌现，叙述越来越严谨。
说明：在课本的基础上例题又补充了一题 , 目的是练习使用公式法分解因式。
第四环节：巩固练习
(X+2)(X-4)=0 内容：1、解下列方程：（ 1）
X2-4=0 (2 )
(3 ) 4X(2X+1)=3(2X+1)
2、一个数平方的两倍等于这个数的 7 倍，求这个数？
目的：华罗庚说过“学数学而不练 , 犹如入宝山而空返”该练习对本节知识进行巩固，使学生
更好地理解所学知识并灵活运用。
实际效果 ：此处留给学生充分的时间与空间进行独立练习， 通过练习基本能用分解因式法解一
元二次方程，收到了较好的效果。
第五环节 拓展与延伸
师：想不想挑战自我？ 学生：想 内容：1、一个小球以 15m/s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的速度 h(m) ，与时间 t(s) 满足
关系： h=15t-5t 2 小球何时能落回地面？
2、一元二次方程（ m-1） x 2 +3mx+(m+4)(m-1)=0 有一个根为 0，求 m 的值
说明：a 学生交流合作后教师适当引导提出两个问提， 1、第一题中小球落回地面是什么意思？
2、第二题中一个根为 0 有什么用？
b 这组补充题目稍有难度 , 为了激发优秀生的学习热情。
目的：学生在对分解因式法直接感知的基础上，在头脑加工组合，呈现感知过的特点，使认识 从感知不段发展， 上升为一种可以把握的能力。 同时学生通过独立思考及小组交流， 寻找解决问题的方法，获得数学活动的经验， 调动了学生学习的积极性， 也培养了团结协作的精神， 使学生在学习中获得快乐，在学习中感受数学的实际应用价值。
实际效果 ：对于问题 1，个别学生不理解问题导致没列出一元二次方程；问题 2 由于在配方法时接触过此类型的题目，因此掌握比较不错。
说明：小组内交流时，教师关注小组中每个学生的参与积极性及小组内的合作交流情况。 第六环节 感悟与收获
内容：师生互相交流总结
1、分解因式法解一元二次方程的基本思路和关键。 2、在应用分解因式法时应注意的问题。 3、分解因式法体现了怎样的数学思想 ?
目的：鼓励学生结合本节课的内容谈自己的收获与感想。
实际效果 ：学生畅所欲言，在民主的氛围中培养学生归纳概括能力和语言表达能力；同时引导学生反思探究过程，帮助学生肯定自我、欣赏他人。
第七环节 布置作业
1、课本习题 2.7 1、2(2) (3) 2、预习提纲：如何列方程解应用题
四、教学反思
评价的目的是为了全面了解学生的学习状况 , 激励学生的学习热情 , 促进学生的全面发展 . 所 1.
, 能否清楚的表达自己的观点 , 及时发现学生 以本节课在评价时注重关注学生能否积极主动的思考
的闪光点 , 给予积极肯定地表扬和鼓励增强他们对数学活动的兴趣和应用数学知识解决问题的意
识, 帮助学生形成积极主动的求知态度
. 拓展了学生的思 这节课的“拓展延伸”环节让学生切实体会到方程在实际生活中的应用 2.
路, 培养了学生的综合运用知识解决问题的能力 .
本节中应着眼干学生能力的发展 , 因此其中所设计的解题策略、思路方法在今后的教学中应 3.
注意进一步渗透 , 才能更好地达到提高学生数学能力的目标 .
2 课例名称： 求解中考压轴题的四种常见解题方法
教师：黄振
课时：一课时
课型：复习课
中考数学压轴题
教学目标：掌握 中考压轴题的四种常见解题方法 1.1 压轴题的概念
中考数学试卷中的试题排列顺序通常都遵循着 “从简单到复杂、从易到难” 的原则。中考试题中按题型分类的排列顺序一般是： 一、选择题（客观题，有些地方将其称作 “第Ⅰ卷” ）；二、填空题（形式简单的主观题）；三、解答题（二、三也合称第Ⅱ卷）。在这三类题型中，
思维难度较大的题目一般都设置在各类题型的最后一题，被称作压轴题。
中考压轴题按其题型的区别及在整个试卷中的位置情况又可分为两类：
选择题和填空题
型的压轴题，常被称作小压轴题；解答题型压轴题（也即整个试卷的最后一题），叫大压轴题，通常所说的压轴题一般都指大压轴题。
1.2 压轴题的特点
中考数学压轴题的设计，大都有以下共同特点：知识点多、覆盖面广、条件隐蔽、关系
复杂、思路难觅、 解法灵活。 纵观近几年全国各地数学中考压轴题， 呈现了百花齐放的局面，就题型而言，除传统的函数综合题外，还有操作题、开放题、图表信息题、动态几何题、新 定义题型、探索题型等，令人赏心悦目。
中考压轴题主要是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目， 其思维难度高， 综合性强，往往都具有较强的选拔功能， 是为了有效地区分数学学科中尖子学生与一般学生的试题。
在课程改革不断向前推进的形势下， 全国各地近年涌现出了大量的精彩的压轴题。 丰富
的、公平的背景、精巧优美的结构，综合体现出多种解答数学问题的思想方法，贴近生活、关注热点、常中见拙、拙中藏巧、一题多问、层层递进，为不同层次的学生展示自己的才华创设了平台。
1.3 压轴题应对策略
针对近年全国各地中考数学压轴题的特点， 在中考复习阶段， 我们要狠抓基础知识的落实，因为基础知识是“不变量”，而所谓的考试“热点”只是与题目的形式有关。要有效地
解答中考压轴题，关键是要以不变应万变。加大综合题的训练力度，加强解题方法的训练，
加强数学思想方法的渗透， 注重“基本模式” 的积累与变化， 调适学生心理， 增强学生信心。
学生在压轴题上的困难可能来自多方面的原因，
如：基础知识和基本技能的欠缺、
解题
经验的缺失或训练程度不够、自信心不足等。 学生在压轴题上的具体困难则可能是： “不知从何处下手，不知向何方前进”。
在求解中考数学压轴题时， 重视一些数学思想方法的灵活应用， 是解好压轴题的重要工具，也是保证压轴题能求解得“对而全、全而美”的重要前提。
2．求解中考压轴题的常见思想方法 2.1 分类讨论思想
代表性题型：动态几何问题，存在性讨论问题。
例 1．（ 2009 年重庆） 已知：如图， 在平面直角坐标系
中，矩形 OABC的边 OA在
轴的正半轴上， OC在 轴的正半轴上， OA=2， OC=3。过原点 O作∠ AOC的平分线交 AB于点
D，连接 DC，过点 D作 DE⊥ DC，交 OA于点 E。
（ 1）求过点 E、D、 C 的抛物线的解析式；
（ 2）将∠ EDC绕点 D 按顺时针方向旋转后，角的一边与
轴的正半轴交于点 F，另一边
与线段 OC交于点 G。如果 DF与（ 1）中的抛物线交于另一点 M，点 M的横坐标为 ，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（ 3）对于（ 2）中的点 G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点 与 AB的交点 P 与点 C、G构成的△ PCG是等腰三角形？若存在，请求出点 Q，使得直线 GQ Q的坐标；若不存
E、 D、 C
在，请说明理由。
解析：（ 1）由△ ADE∽△ BCD，及已知条件求得 E、 D、 C 坐标，进而求出过点
的抛物线的解析式：
（ 2） EF=2GO成立．
点 M在该抛物线上，且它的横坐标为， ∴点 M的纵坐标为 ．设 DM的解析式为 将点 D、 M的坐标分别代入，得
解 得
∴ DM 的 解 析 式 为
∴ F（ 0 ，
3） EF=2
过点 D 作 DK⊥ OC于点 K，则 DA=DK． △DAF≌△ DKG， KG=AF=1， GO=1 ∴ EF=2GO
（ 3） 点 P 在 AB上， G（ 1， 0）， C（3， 0），则设 P（ t ， 2）． ∴ PG =（ t － 1） +2 ， PC =（ 3－ t ） +2 ， GC=2
①若 PG=PC，则（ t － 1） +2 =（ 3－ t ） +2
解得 t=2 ．∴ P（ 2，2），此时点 Q与点 P 重合． Q（ 2， 2） ②若 PG=GC，则（ t － 1） +2 =2 ，解得 t=1 ， P（ 1， 2） 此时 GP⊥ x 轴． GP与该抛物线在第一象限内的交点 Q的横坐标为 1，
∴点 Q的纵坐标为 ．Q（ 1， ）
③若 PC=GC，则（ 3－ t ） +2 =2 ，解得 t=3 ，∴ P（ 3， 2） 此时 PC=GC=2， P 与 D 重合 过点 Q作 QH⊥ x 轴于点 H，
则 QH=GH，设 QH=h，∴ Q（ h+1， h）
．
， ）
解得
（舍去）．∴ Q（
综上所述，存在三个满足条件的点
Q，即 Q（ 2， 2）或 Q（1， ）或 Q（ ， ）
思想方法解读： 这道压轴题是将二次函数与平面几何相结合的函数综合题。 第⑴问结合“形”的特征，求出点
D、 E、C 的坐标，再设二次函数一般式，用待定系数
EF 的长度，并由旋
EF、
法可求得二次函数解析式。体现了解函数问题时常用到的“数形结合”思想。
第⑵由 D、M所在直线与 y 轴相交哦于 F，可求得 F 点坐标，并求出
转过程中的角度相等关系，设法构造全等求出
本题的第⑶问讨论存在性问题。
定的点，因此应考虑
OG。得证结论。解决第⑵问的关系是将
OG转化为可求的已知量，得到其长度关系。体现出数学解题中的“转化思想”。
要使△ PCG是等腰三角形， 其中 G、C为定点， P 为不确
P 点坐标参数， 用所设参数表示出相应三角
P 点坐标。 第⑶问不仅体现了分类讨
GC为腰、 GC为底，并考虑 G、 C、 P分别为顶点等多种情况进行分类讨
构造相应方程，可求出
论。假设存在 P 点，结合 P 点的位置，通过设置 形边长，由等腰三角形的性质，
论思想，还考察了用方程建模的能力。
2.2 转化思想
代表性题型： 面积问题， 二函数图象与坐标轴的交点距离、 二次函数与一次函数交点距离、反比例函数与一次函数交点距离问题（与一元二次方程根的系数关系转化）。
例 2．已知： Rt △ ABC的斜边长为 5，斜边上的高为 2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边 AB 与 x 轴重合（其中 OA （2）如图 2，点 D的坐标为（ 2， 0），点 P（ m， n）是该抛物线上的一个动点（其中 m>0， n>0），连接 DP交 BC于点 E。 2 ①当△ BDE是等腰三角形时， 直接写出 此时点 E的坐标。（ 3 分） ②又连接 CD、 CP（如图 3），△ CDP是否有最大面积？若有，求出△ CDP的最大面积和 此时点 P 的坐标；若没有，请说明理由。（ 3 分） 解析：⑴由 Rt△ AOC∽ Rt△ COB易知， CO=OA.OB=OA(AB-OA),可求 OA=1,OB=4 ∴ A(-1,0) B(4,0) C(0,2) 可设解析式为 y=a(x+1)(x-4) ， 将点 C(0,2) 代入，可求 a= ∴ 为所求 ⑵ ； 提示：① ED=EB时，过 E作 BD垂线，可得 ②直线 BC 的解析式为 ，设 ，利用勾股定理和点 在直线 BC上，可得两个方程组 分别可求 和 。 ⑶方法 1：连 OP。如图 4。 P（ m，n）在抛物线 上 ∴ P（ m， ） S△CPO=S 四边形 ODPC－S△ OCD =S + S △ POC －S = △PDO △OCD OC· |x p|+ OD· |y p| — OC· OD = × 2m+ ×2（ ）－ ×2× 2 = － m + m=－ （m－ ） + 当 m= 时， S△ CPO面积最大，此 方法 2：过 D作 X 轴的垂线，交 PC 于 P（ ， ） 时 M，如图 5。 易求 PC的解析式为 ，且 ，故 ∴当 时， ， 思想方法解读： 本题是一道二次函数与平面几何综合的压轴题 第⑴问由三角形形似 （或射影定理） 求出相关线段的长， 写出相应点的坐标。然后灵活 设置二次函数式，用待定系数法求出二次函数式。 第⑵问， 虽然题目要求是 直接写出 点 E 的坐标。 但点 E 的坐标必须通过计算得到。 而在 计算的过程中，要考虑符合要求的等腰三角形的多样性，需分类讨论顶点、腰的对应情况。 第⑶问是本题的难点。题中的面积表示，要结合 P（ m，n）在抛物线上，充分利用点的坐标的几何意义，或是利用平面几何的性质，有效表示△ BCD的面积，将不能直接表示的三角形面积转化为能用已知线段和 P 点坐标表示的面积。 方法 1 是将四边形分割成两个三角形△POC、△ POD，方法 2，是通过过 D点作垂线，直接将△ BDC转化为△ PDM、△ CDM。 2． 3 极端值思想 代表性题型：动态几何问题，动态函数问题。 例 3．已知 为线段 上的动点，点 在射线 上，且满足 ，且点 与点 （如图 1 所示）． （ 1）当 重合时（如图 2 所示），求线段 的长； （ 2）在图 1 中，联结 ．当 ，且点 在线段 上时，设点 之间的距 离为 ， ，其中 表示 的面积， 表示 的面积，求 关于 的函数解析式，并写出函数定义域； （3）当 ，且点 在线段 的延长线上时（如图 3 所示），求 的大小。 解析：（ 1） AD=2，且 Q点与 B 点重合。由 =1，∴ PB（ Q） =PC，△ PQC为等 腰直角三角形， BC=3， PC=Bccos45° =3× = 。 （ 2）如图：作 PE⊥BC， PF⊥ AQ。 BQ=x，则 AQ=2－ x。 由△ BPF∽△ BDP， = = ，又 BF=PE ∴ = ，∴ PF= PE S △ APQ= （ 2－ x）PF， S△PBC= × 3PE ∴ y= （2－ x） P 点与 D 点重合时，此时 CQ取最大值。过 D作 DH⊥ BC。 CD= ，此时 = ， = ， PQ= ， BQ=AB－ AQ= ∴函数的定义域： 0≤ x≤ (3) 方法 1： PQ/PC=AD/AB,假设 PQ不垂直 PC，则可以作一条直线 PQ′垂直于 PC，与 AB 交于 Q′点，则： B， Q′， P，C 四点共圆。 由圆周角定理，以及相似三角形的性质得： 又由于 PQ/PC=AD/AB PQ′ /PC=AD/AB, 所以，点 Q′与点 Q重合，所以角∠ QPC=90° 方法 2：如图 3，作 PM⊥ BC， PN⊥ AB。由 = = ，即 == ∴△ PNQ∽△ PMC ∠ MPC＝∠ NPN，∴∠ QPC=∠ MPC＋∠ QPB＝∠ NPQ＋∠ QPM＝ 90° 思想方法解读： 这是一道动态几何的变式综合题。 第⑴问，线段的比值 不变， Q在特殊点（与 B 点重合），由 AD=AB=2，故 PQ PC。 （B） =PC，△ PQC为等腰直角三角形。利用几何性质可求出 第⑵问中利用三角形相似比，结合已知条件中的固定线段比，找出△ 点运动的极端情况，当 的固定线段比，求出此时 PAQ、△ PBC 高之 P 间的比例关系，是求函数式的关键。而第二问中写出函数的定义域则是难点。需分析出 P 与 D 重合时， BQ取得最大值。集合图形的几何性质及已知条件中 BQ的长度，既为 BQ的最大值。体现极端值思想。 ⑶中可以用四点共圆通过归一法求证，也可以通过构造相似形求证。 2． 4 数形结合思想（用好几何性质） 代表性题型：函数与几何综合题。 例 4．在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y=a（ x+1） +c（a＞ 0）与 x 轴交于 A、B , 两点 ( 点 A在点 B的左侧 ) ，与 y 轴交于点 C，其顶点为 M,若直线 MC的函数表达式为 与 x 轴的交点为 N，且 COS∠BCO＝ 。 ⑴求次抛物线的函数表达式。 (2) 在此抛物线上是否存在异于点 为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点 C 的点 P，使以 N、 P、 C 为顶点的三角形是以 NC P 的坐标：若不存在，请说明理由； ?向下最多可平移多少个 (3) 过点 A 作 x 轴的垂线，交直线 MC于点 Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物 线与线段 NQ总有公共点， 则抛物线向上最多可平移多少个单位长度 单位长度 ? 解析：⑴由直线 y=kx － 3 与 y 轴交点坐标为 抛物线 y=a（ x+1） +c（ a＞ 0）开口向上，过 ∴ A、B 在 y 轴两侧， B 在 y 轴右侧。如图。 C（ 0，－ 3） C（ 0，－ 3） Rt △ AOC中， OC=3， cos ∠BCO= ∴BC= ， OB=1 ∴ B（ 1， 0） 又 B（ 1， 0）， C（ 0，－ 3）在 y=a（ x+1） +c 上 ∴抛物线解析式 y=x +2x－ 3 ⑵由⑴抛物线顶点 ∴ N（ 3， 0） 假设抛物线上存在点 M（－ 1，－ 4），直线 y=kx － 3 过 M，∴直线解析式 y=x － 3 ∴△ NOC为等腰直角三角形 P 使△ NPC为以 NC为一条直角边的直角三角形。 ① PC为另一条直角边。 PC⊥ CN，而 A 与 N 关于 y 轴对称在抛物线上。 ∴存在 P1（－ 3， 0）使△ NPC为以 NC为一条直角边的直角三角形 ② PN为另一条直角边。 PN⊥ CN，则∠ PNO=45°设 PN交 y 轴于点 D，则 D（ 0， 3） PN所在直线 y=－ x+3 由 解得 ∴存在 P2（ ， ）， P3（ ， ）使△ NPC 为以 NC 为一条直角边的直角三角形。 满足条件的点有 P（1 － 3，0），P（2 ， ），P（3 ， ） ⑶①若抛物线沿对称轴向上平移。设向上平移 b 个单位（ b＞ 0）。 此时抛物线的解析式为： y=x +2x－ 3+b 抛物线与线段 NQ总有交点， 即由抛物线解析式、 直线 MC所在直线解析式组成的方程组 有解。由 消除 y 得 x +x+b=0， =1－4b≥ 0， ∴ 0＜ b≤ ∴向上最多可平移 +2x－3－ b 个单位 ②若向下平移 b 个单位（ b＞ 0），设 y=x 由 y=－ x+3，可求得 Q（－ 3，－ 6）， N（ 3， 0） 对于抛物线 y=x +2x－ 3－ b 当 x＝－ 3， y=－ b，抛物线与直线 y=－ x+3 有交点，则需－ b≥ -6 ， b≤ 6 当 x=3 时， y=12－ b，抛物线与直线 y=－ x+3 有交点，则 12-b ≥ 0， b≤ 12。 ∴向下最多可平移 12 个单位。 C 点坐标，由 C 点坐标结合 a＞ 0，判定抛物线与 x 轴交 思想方法解读： 本题还是一道二次函数与平面几何综合的压轴题。 第⑴问中，由直线解析式求出 点的大致位置。并结合 cos ∠ BCO= ，求出 B 点坐标，在根据待定系数法求出抛物线的 解析式。 第⑵问，以 NC为直角边的直角三角形，应分 C、N分别为直角顶点分类讨论。 结合相应点的坐标及垂直条件， 利用 45°角的几何性质， 分析得到 A 点满足条件， 并求出 PN⊥NC时，PN所在直线的解析式，是解题的关键。 第⑶问是本题的难点。分抛物线向上、向下平移两种讨论。向上平移时，需抛物线与直 线 NQ有交点，由判别式可确定平移 b 的范围； 向下平移时，线段 NQ是否与抛物线相交， 关键是两个端点 N、 Q是否在抛物线外侧。只要取两个端点刚好在抛物线上的特殊情况，进行 分别判断，求出满足条件的b 的范围即可，体现出用极端值解题的思想。 反思： 由以上的试题可看出，在中考压轴题中所体现出的数学思想方法并不是单一 的，一般每道中考压轴题均综合体现了两到三种不同的数学思想方法。 一定要结合题型特征，注意一些常见的数学思想方法的灵活运用。 3 用好二次根式的两个隐含条件 我们在求解压轴题时， 教师：陈冬艳 课时：一课时 课型：习题课 目标：会利用 二次根式 隐含条件⑴ a≥0；⑵ ≥ 0 解题 过程：二次根式 必满足： ⑴ a≥0；⑵ ≥ 0。这两个条件在实际问题中一般都不直 接给出，称为隐含条件。 例 1 判断下列式子有意义的条件： ⑴ + +1； ⑵ 解：⑴要式子有意义，必有 解得 ∴ x≥ 即 x≥ 时，式子 + +1 有意义。 ⑵要式子有意义，必有 ， 0，且分母 x2 是非负数，∴ x≠ 0， ∵分式的分母不为 则有 -x-1≥ 0， x≤ -1。∴ x≤ -1 时，式子 有意义。 例 2 已知实数 a 满足 + =a，求 a-20052 的值。 分析 ：二次根式 中必有 a≥ 0。 中， a-2006≥ 0，∴ a≥ 2006 解：由 ∴ 由 + =a，得 a-2005+ =a =2005， ∴ a-2006=20052， ∴ a-20052=2006 例 3 在实数范围内， 设 a=（ - ）2009，求 a 的个位数字是多少？ 解：在 与 中， ∴ -2=0（只有 0 的相反数相等） ，x= ± 2； 又由 ≠0，即 x≠2。 ∴ x=-2 ∴ a=（ 例 4 的值。 - ） 2009=62009，则 a 的个位数字是 6。 + 已知 a、b、c 为实数，且 ax2+bx+c=0 ， +（ c+3）2=0 。求 4x2-10x 解：由 ≥ 0， ≥ 0，（ c+3） 2≥ 0， + +（ c+3）2=0 ∴ 练习：试卷一份 课后反思： 解得 ∴ 2x2-5x-3=0 ，得 2x2 -5x=3 ∴ 4x2-10x=2 （ 2x2-5x ） =2× 3=6。 1、这节课是 二次根式的 拓展延伸，拓展了学生的思路 , 培养了学生的综 合运用知识解决问题的能力 . 2、本节中应着眼干学生能力的发展 , 因此其中所设计的解题策略、思路方法在今后 的教学中应注意进一步渗透 , 才能更好地达到提高学生数学能力的目标 . 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容