（新人教A版选修2-3）二项式定理教
案
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m 1.3二项式定理 学习目标：
掌握二项式定理和二项式系数的性质。
2.能灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题
学习重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题
学习难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题
授课类型：新授课 课时安排：1课时 教
具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：
．二项式定理及其特例： （1），
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（2）.
2．二项展开式的通项公式：
3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 4
二项式系数表（杨辉三角） 展开式的二项式系数，当依次取
…时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 5．二项式系数的性质：
展开式的二项式系数是，，，…，．可以看成以为自变量的函数，定义域是
，例当时，其图象是个孤立的点（如图）
（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵）．
直线是图象的对称轴．
（2）增减性与最大值：当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值． （3）各二项式系数和： ∵， 令
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，则
二、讲解范例： 例1．设 ，
当时，求的值 解：令得： ， ∴，
点评：对于，令即可得各项系数的和的值；令即，可得奇数项系数和与偶数项和的关系 例2．求证：．
证（法一）倒序相加：设 ① 又∵ ② ∵，∴， 由①+②得：， ∴，即．
（法二）：左边各组合数的通项为 ， ∴ ．
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例3．已知：的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大．
（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项
解：令，则展开式中各项系数和为， 又展开式中二项式系数和为， ∴，．
（1）∵，展开式共项，二项式系数最大的项为第三、四两项， ∴，，
（2）设展开式中第项系数最大，则， ∴，∴，
即展开式中第项系数最大，． 例4．已知，
求证：当为偶数时，能被整除
分析：由二项式定理的逆用化简，再把变形，化为含有因数的多项式 ∵ ， ∴
，∵为偶数，∴设（）， ∴
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（），
当=时，显然能被整除， 当时，（）式能被整除， 所以，当为偶数时，能被整除 三、课堂练习： ．展开式中的系数为 ，各项系数之和为 ．
2．多项式（）的展开式中，的系数为
3．若二项式（）的展开式中含有常数项，则的最小值为（） A.4 B.5 c.6 D.8
4．某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应 （） A.低于5％ B.在5％～6％之间 c.在6％～8％之间 D.在8％以上
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5．在的展开式中，奇数项之和为，偶数项之和为，则等于（） A.0 B. c. D.
6．求和：．
7．求证：当且时，．
8．求的展开式中系数最大的项 答案：1.45,0 2. 0 ．提示： 3.B 4.c 5.D 6. 7. 8.
四、小结：二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二
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项式系数的性质对条件进行逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用
五、课后作业：
．已知展开式中的各项系数的和等于的展开式的常数项，而
展开式的系数的最大的项等于，求的值 答案： 2．设 求：① ②． 答案：①； ②
3．求值：． 答案：
4．设，试求的展开式中： （1）所有项的系数和；
（2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和 答案：（1）；
（2）所有偶次项的系数和为； 所有奇次项的系数和为
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六、板书设计（略） 七、课后记：
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