湖南省衡阳市2021届高三数学下学期第二次联考（二模）试题 理
注意事项：
1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。时量120分钟，满分150分。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应位置上。 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。 4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第I卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。 1.1－
2i＝ 1i2
A.－i B.i C.2－i D.2＋i 2.已知集合A＝{x∈N|lnx<1}，则A＝ A.{x|
1 5.若函数f(x)＝ax＋e－e在R上单调递减，则实数a的取值范围为 A.a≤2 B.a≤1 C.a≥1 D.a≥2 6.空间点A(x，y，z)，O(0，0，0)B(2，3，2)，若|AO|＝1，则|AB|的最小值为 A.1 B.2 C.3 D.4 7.将不超过实数x的最大整数记为[x]，函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝e－1，则[f(ln)]＝ A.2 B.1 C.－2 D.－1 8.设a>1>b>0，则下列不等式恒成立的是 A. x －x x 3811120211202111ba B.()>() C.log 优质资料\\word可编辑 x2y29.已知P为椭圆C：221(ab0)上一点，F1，F2是C的两个焦点，椭圆C的离心率 ab为 3，且△PF1F2的周长为16，若△PF1F2为等腰三角形，则|PF1|的取值不可能为 ．．．5A.4 B.5 C.6 D.8 10.算术运算符MOD表示取余数，如a MOD b＝c，表示a除以b余数为c，右图是关于取余的一个程序框图，若输入x的值为3，则输出x＝ A.9 B.7 C.3 D.1 11.已知θ∈{ 3424,,44 现将函数f(x)＝cosx－sinx的图象向右平移θ个单位后得,2}， 到函数g(x)的图象，若两函数g(x)与y＝tanωx(ω>0)图象的对称中心完全相同，则满足题意的θ的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 12.已知△ABC的周长为9，若cos ABC＝2sin，则△ABC的内切圆半径的最大值为 22A. 31 B.1 C.2 D. 22第II卷 本卷包括必考题与选考题两部分，第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22～23题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上) 13.若向量a，b满足：a⊥(a－b)，|b|＝2，则|2a－b|＝ 。 14.中国古代崇尚玉，玉寓意美好的人或事物。许多汉字与玉相关，如：玲、珑、珍、珠、琼、 - 2 - / 11- 2 - 优质资料\\word可编辑 理等，现将“玛、玚、珅、珪、珽、珊”六个汉字排一排，其中笔画数相同的汉字必须相邻的排法有 种。(用数字作答) 15.如图，三棱锥A－PBC，PA，PB，PC两两垂直，PA＝1，PB＝2，PC＝3，点O为三棱锥A－PBC外接球的球心，则AO与PC所成角的大小为 。 x2y216.直线y＝k(x＋6)(k>0)与双曲线E：221(a0,b0)及其渐近线从左至右依次交 ab于点A，B，C，D，双曲线的左右焦点分别为F1，F2且焦距为4，则△F2CD与△F1AB的面积之比为 。 三解答题(本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。) (一)必做题(共60分) 17.(本小题满分12分)已知数列{an}，{bn}满足：a1＝1，an＋an＋1＝n，bn＝a2n－1。 (1)证明：数列{bn}为等差数列。 (2)记Sn为数列{an}的前n项和，求S31－S24的值。 18.(本小题满分12分)直四棱柱ABCD－A1B1C1D1被平面α所截，所得的一部分如右图所示，EF＝DC。 (1)证明：ED//平面ACF； (2)若DC＝2AD＝4A1E＝2，∠ADC＝E到平面ACF的距离。 19.(本小题满分12分)某中学长期坚持贯彻以人为本，因材施教的教育理念，每年都会在校文化节期间举行“数学素养能力测试”和“语文素养能力测试”两项测试，以给学生课外兴趣学习及辅导提供参考依据。成绩分为A，B，C，D，E五个等级(等级A，B，C，D，E分别对 - 3 - / 11- 3 - 43，求点，平面EFCD与平面ABCD所成角的正切值为33 优质资料\\word可编辑 应5分，4分，3分，2分，1分)。某班学生两科的考试成绩的数据统计如下图所示，其中语文素养能力测试”科目的成绩为A的考生有3人。 (1)求该班“数学素养能力测试”的科目平均分以及“数学素养能力测试”科目成绩为A的人数； (2)若该班共有9人得分大于7分，其中有2人10分，3人9分，4人8分。从这9人中随机抽取三人，设三人的成绩之和为X，求P(X≥Ex)。 (3)从该班得分大于7分的9人中选3人即甲，乙，丙组队参加学校内的“数学限时解题挑战赛”。规则为：每队首先派一名队员参加挑战赛，在限定的时间，若该生解决问题，即团队挑战成功，结束挑战；若解决问题失败，则派另外一名队员上去挑战，直至派完队员为止。通过训练，已知甲，乙，丙通过挑战赛的概率分别是 132，，，问以怎样的先后顺序派出队255员，可使得派出队员数目的均值达到最小?(只需写出结论) 20.(本小题满分12分)已知抛物线y＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线的准线交x轴于C，A，B，D为抛物线上三点(其中D在第一象限)，|DF|＝4，|CD|＝42。 (1)求p的值； (2)已知O为坐标原点，李同学从条件①kOA＋kOB＝－2出发，而刘同学从条件②kADkBD＝a出发，若要使得两位同学探索得到相同的结果“直线AB过同一个定点”，试问如何设计实数a的值。 21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝xln(x＋1)＋ax。 (1)若a<0，证明：函数f(x)的极值为一个非正数； (2)若函数f(x)与g(x)＝sinx在x＝0处的切线相同，当m≥4，x≥0时，证明：f(x)≥3g(x)－ 2 mx。 x2(二)选做题(共10分) 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。 - 4 - / 11- 4 - 优质资料\\word可编辑 22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x12cost(t为参数)，以坐标原点为极 y32sint点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为θ＝θ1，(ρ∈R)，且曲线C关于直线l1对称。 (1)求tanθ1； (2)若直线l1与曲线C交于O，A，直线l2：y＝kx(k>0)与曲线C交于O，B，且△OAB的面积不超过22，求直线l2的倾斜角的取值范围。 23.已知函数f(x)＝|x－1|＋ax。 (1)若函数f(x)存在最小值，求实数a的取值范围； (2)若对x∈R，f(x)≥x恒成立，证明：f(x)＋f(－2－x)≥0。 - 5 - / 11- 5 - 优质资料\\word可编辑 - 6 - / 11- 6 - 优质资料\\word可编辑 - 7 - / 11- 7 - 优质资料\\word可编辑 - 8 - / 11- 8 - 优质资料\\word可编辑 - 9 - / 11- 9 - 优质资料\\word可编辑 - 10 - / 11- 10 - 优质资料\\word可编辑 - 11 - / 11- 11 - 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容