圆周运动的模型

（一）汽车过桥

FN原型：汽车过凸桥 如图所示，汽车受到重力G和支持力FN，合力提供汽车过桥所需的向心力。

假设汽车过桥的速度为v，质量为m，桥的半径为r，Gmv2GFN。

r2mv0分析：当支持力为零时，只有重力提供汽车所需的向心力，即G，v0gr r1. 当汽车的速度vv0，汽车所受的重力G小于过桥所需的向心力，汽车过桥时就会离开桥面飞起来。

2. 当汽车的速度vv0，汽车所受的重力G恰好等于过桥需要的向心力，汽车恰好通过

2mv0,v0gr) 桥面的最高点。(Gr3. 当汽车的速度vv0，汽车所受的重力G大于所需的向心力，此时需要的向心力要由mv2) 重力和支持力的合力共同来提供。(GFNr因此，汽车过凸桥的最大速度为gr。

模型一：绳拉小球在竖直平面内过最高点的运动。 绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力

如图2所示，小球所受的重力和绳的拉力的合力提供小球所需的向vGFTv2心力，即mgFTm。

r2mv0分析：当绳的拉力为零时，只有重力提供小球所需的向心力，即G，v0gr r2

（2）临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：mg=mv/R→v临界=Rg（可理解为恰好转过或恰好转不过的速度）

1. 当小球的速度vv0，物体所受的重力G已不足以提供物体所需的向心力。不足的部

1

分将由小球所受的绳的拉力来提供，只要不超过绳的承受力，已知物体的速度，就可求出对

v2应的拉力。(mgFTm)

r2. 当小球的速度vv0，物体所受的重力G刚好提供物体所需的向心力。

2mv0(G,v0gr)

r3. 当小球的速度vv0，物体所受的重力G大于所需的向心力，此时小球将上不到最高点。

因此，绳拉小球在竖直平面内过最高点时的最小速度为v0FTvgr。 模型二：一轻杆固定一小球在竖直平面内过最高点的运动。 杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力． 如图4所示，物体所受的重力和杆对球的弹力的合力提供物体所需的Gv2向心力，即mgFTm

r分析：当杆对球的弹力为零时，只有重力提供小球所需的向心力，即 2mv0G，v0gr

r1. 当小球的速度vv0，物体所受的重力G已不足以提供物体所需的向心力。不足的部分将由小球所受的杆的拉力来提供。（此时杆对小球的弹力为向下的拉力，参考图3）。已

v2知物体的速度，就可求出对应的拉力。(mgFTm)

r2. 当小球的速度vv0，物体所受的重力G刚好提供物体所需的向心力。

2mv0(G,v0gr)

r3. 当小球的速度vv0，物体所受的重力G大于所需的向心力，多余的部分将由杆对小

v2球的支持力来抵消。（此时杆对小球的弹力为向上的支持力）。(mgFTm)

r4. 当小球的速度v0，物体所受的重力G等于杆对小球的支持力。(mgFT) 因此，一轻杆固定一小球在竖直平面内过最高点的最小速度为0。

注：如果小球带电，且空间存在电场或磁场时，临界条件应是小球所受重力、电场力和洛仑

2

兹力的合力等于向心力，此时临界速度V0相同的。

gR 。要具体问题具体分析，但分析方法是

（二）火车转弯

原型：火车转弯

如图5所示，火车在平直的轨道上转弯，将挤压外轨，由外轨给火车的弹力提供火车转弯所需的向心力，这样久而久之，将损坏外轨。

故火车转弯处使外轨略高于内轨，火车驶过转弯处时，铁轨对火车的支持力FN的方向不再是竖直的，而是斜向弯道的内侧，它与重力的合力指向圆心，提供火车转弯所需的向心力（如图所示）。这就减轻了轮缘与外轨的挤压。 分析：当火车的速度为v0时，火车所需的向心力全部由重力和支持力的合力来提供，2v0即mgtanm，v0grtan。 r θ1. 若火车的速度vv0，将挤压外轨； 2. 若火车的速度vv0，将挤压内轨。 FTF模型一：圆锥摆 G小球所需的向心力由重力和绳的拉力的合力来提供（如图7所示）

FN模型二：小球在漏斗中的转动 小球所需的向心力由重力和漏斗的支持力的合力来提供（如图8所示）

四. 匀速圆周运动的多解问题 F匀速圆周运动的多解问题常涉及两个物体的两种不同的运动，其中θ一个做匀速圆周运动，另一个做其他形式的运动。由于这两种运动是同G时进行的，因此，依据等时性建立等式来解待求量是解答此类问题的基本思路。特别需要提醒同学们注意的是，因匀速圆周运动具有周期性，使得前一个周期中发生的事件在后一个周期中同样可能发生，这就要求我们在表达做匀速圆周运动物体的运动时间时，必须把各种可能都考虑进去。 [例1] 如图1所示，直径为d的圆筒绕中心轴做匀速圆周运动，枪口发射的子弹速度为v，并沿直径匀速穿过圆筒。若子弹穿出后在圆筒上只留下一个弹ω孔，则圆筒运动的角速度为多少？ 解析：子弹穿过圆筒后做匀速直线运动，当它再次到达圆筒壁时，若原来的弹孔也恰好运动到此处。则圆筒上只留下一v个弹孔，在子弹运动位移为d的时间内，圆筒转过的角度为2n，其中n0,1,2,3，即解得角速度的值

d2n。 v2nv，n0,1,2,3 d3 [例2] 质点P以O为圆心做半径为R的匀速圆周运动，如图2所示，周期为T。当P经过图中D点时，有一质量为m的另一质点Q受到力F的作用从静止开始做匀加速直线运动。为使P、Q两质点在某时刻的速度相同，则F的大小应满足什么条件？

CωBODQFA解析：速度相同包括大小相等和方向相同，由质点P的旋转情况可知，只有当P运动到圆周上的C点时P、Q速度方向才相同，即质点P转过(n历的时间t(n)T(n0,1,2,3) ① 质点P的速率v3)周(n0,1,2,3)经4342R ② T在同样的时间内，质点Q做匀加速直线运动，速度应达到v，由牛顿第二定律及速度公式得vFt ③ mω8mR(n0,1,2,3) 联立以上三式，解得F2(4n3)T[例3] 如图3所示，在同一竖直平面内，A物体从a点开始做匀速圆A周运动，同时B物体从圆心O处自由落下，要使两物体在b点相遇，求A的角速度。

解析：A、B两物体在b点相遇，则要求A从a匀速转到b和B从O自由下落到b用的时间相等。 A从a匀速转到b的时间t1(naOBb332)T(n)(n0,1,2,3) 44B从O自由下落到b点的时间t22R g由t1t2，解得2(n

3g)(n0,1,2,3) 42R

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