[学生用书P286(单独成册)]
一、选择题
1、观察下列各式:a＋b＝1,a2＋b2＝3,a3＋b3＝4,a4＋b4＝7,a5＋b5＝11,„,则a10＋b10＝( )
A、121 C、231
B、123 D、211
解析:选B、法一:令an＝an＋bn,则a1＝1,a2＝3,a3＝4,a4＝7,„,得an＋2＝an＋an＋1,从而a6＝18,a7＝29,a8＝47,a9＝76,a10＝123、
法二:由a＋b＝1,a2＋b2＝3,得ab＝－1,代入后三个等式中符合,则a10＋b10＝(a5＋b5)2
－2a5b5＝123、
2、某种树的分枝生长规律如图所示,第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5,则预计第10年树的分枝数为( )
A、21 C、52
B、34 D、55
解析:选D、因为2＝1＋1,3＝2＋1,5＝3＋2,即从第三项起每一项都等于前两项的和,所以第10年树的分枝数为21＋34＝55、
3
、
已
知
“
整
数
对
”
按
如
下
规
律
排
成
一
列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),„,则第60个“整数对”是( )
A、(7,5) C、(2,10)
B、(5,7) D、(10,2)
解析:选B、依题意,把“整数对”的和相同的分为一组,不难得知第n组中每个“整数n（n＋1）对”的和均为n＋1,且第n组共有n个“整数对”,这样的前n组一共有个“整数
210×（10＋1）11×（11＋1）
对”,注意到<60<,因此第60个“整数对”处于第11组(每个
22“整数对”的和为12的组)的第5个位置,结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为:(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),„,因此第60个“整数对”是(5,7)、
4、如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB＝a,CD＝b(a>b)、若EF∥AB,EF到CD与AB的ma＋nb
距离之比为m∶n,则可推算出:EF＝,用类比的方法,推想出下面问题的结果、在上面的
m＋n
梯形ABCD中,分别延长梯形的两腰AD和BC交于O点,设△OAB,△ODC的面积分别为S1,S2,则△OEF的面积S0与S1,S2的关系是( )
mS1＋nS2
A、S0＝ m＋nnS1＋mS2
B、S0＝ m＋nmS1＋nS2
C、S0＝
m＋nnS1＋mS2
D、S0＝ m＋n
解析:选C、在平面几何中类比几何性质时,一般是由平面几何点的性质类比推理线的性ma＋nb
质；由平面几何中线段的性质类比推理面积的性质、故由EF＝类比到关于△OEF的
m＋n面积S0与S1,S2的关系是
S0＝
mS1＋nS2
,故选C、
m＋n
5、学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”、若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”、如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有( )
A、2人 C、4人
B、3人 D、5人
解析:选B、假设满足条件的学生有4位及4位以上,设其中4位同学分别为甲、乙、丙、丁,则4位同学中必有两个人语文成绩一样,且这两个人数学成绩不一样,那么这两个人中一个人的成绩比另一个人好,故满足条件的学生不能超过3人、当有3位学生时,用A,B,C表示“优秀”“合格”“不合格”,则满足题意的有AC,CA,BB,所以最多有3人、
1213214321
6、已知数列{an}:,,,,,,,,,,„,依它的前10项的规律,则a99＋a100的值为( )
112123123437A、
2411C、
15
7B、 67D、 15
1
解析:选A、通过将数列的前10项分组得到第一组有一个数:,分子、分母之和为2；第
121321
二组有两个数:,,分子、分母之和为3；第三组有三个数:,,,分子、分母之和为4；第
12123四组有四个数,以此类推,a99,a100分别是第十四组的第8个数和第9个数,分子、分母之和为7637
15,所以 a99＝,a100＝、故a99＋a100＝、
8924
二、填空题
7、甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市； 乙说:我没去过C城市； 丙说:我们三人去过同一城市、 由此可判断乙去过的城市为________、
解析:由题意可推断:甲没去过B城市,但比乙去的城市多,而丙说“三人去过同一城市”,说明甲去过A,C城市,而乙“没去过C城市”,说明乙去过城市A,由此可知,乙去过的城市为A、
答案:A
8、(2018·沧州联考)在一次连环交通事故中,只有一个人需要负主要责任,但在警察询问时,甲说:“主要责任在乙”；乙说:“丙应负主要责任”；丙说:“甲说的对”；丁说:“反正我没有责任”、四个人中只有一个人说的是真话,则该事故中需要负主要责任的人是________、
解析:若负主要责任的人是甲,则甲、乙、丙说的都是假话,只有丁说的是真话,符合题意；若负主要责任的人是乙,则甲、丙、丁说的都是真话,不符合题意；若负主要责任的人是丙,则乙、丁说的都是真话,不合题意；若负主要责任的人是丁,则甲、乙、丙、丁说的都是假话,不合题意、故该事故中需要负主要责任的人是甲、
答案:甲
9、设A和B是抛物线上的两个动点,且在A和B处的抛物线的切线相互垂直,已知由A、B及抛物线的顶点所组成的三角形重心的轨迹也是一抛物线,记为L1,对L1重复以上过程,又得一抛物线L2,依此类推、设如此得到抛物线的序列为L1,L2,L3,L4,„,Ln,若抛物线的方程为y221242112
＝6x,经专家计算得,L1:y2＝2(x－1),L2:y2＝(x－1－)＝(x－),L3:y2＝(x－1－－)＝(x－
333393991321112402Tn),L4:y2＝(x－1－－－)＝(x－),„,Ln:y2＝(x－),则2Tn－3Sn＝________、 92739272727SnSn
解析:由题意知T1＝1,T2＝4,T3＝13,T4＝40,„,分析得1,4,13,40,„组成一个数列,数列的前后两项之差是一个等比数列,
即Tn－Tn－1＝3n1,
－
„
T3－T2＝32, T2－T1＝3,
把上述式子相加得到Tn－1＝3＋32＋„＋3n1,
－
3n－1
所以Tn＝,
2
由题意知S1＝1,S2＝3,S3＝9,S4＝27,„,分析得1,3,9,27,„组成的数列{Sn}的通项是Sn＝3n1,
－
3n－1－
所以2Tn－3Sn＝2×－3×3n1＝－1、
2答案:－1
10、如图所示,将正整数从小到大沿三角形的边成螺旋状排列起来,2在第一个拐弯处,4在第二个拐弯处,7在第三个拐弯处,„„,则在第二十个拐弯处的正整数是________、
解析:观察题图可知, 第一个拐弯处2＝1＋1, 第二个拐弯处4＝1＋1＋2, 第三个拐弯处7＝1＋1＋2＋3, 第四个拐弯处11＝1＋1＋2＋3＋4, 第五个拐弯处16＝1＋1＋2＋3＋4＋5,
发现规律:拐弯处的数是从1开始的一串连续正整数相加之和再加1,在第几个拐弯处,就加到第几个正整数,所以第二十个拐弯处的正整数就是1＋1＋2＋3＋„＋20＝211、
答案:211 三、解答题
a
11、已知函数f(x)＝－x(a＞0,且a≠1)、
a＋a11
，－对称； (1)证明:函数y＝f(x)的图象关于点22(2)求f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值、
11
，－对称的点的解:(1)证明:函数f(x)的定义域为全体实数,任取一点(x,y),它关于点22
坐标为
(1－x,－1－y)、 a
由已知y＝－x, a＋a
aax
则－1－y＝－1＋x＝－x,
a＋aa＋a
aaa·axax
f(1－x)＝－1－x＝－＝－＝－x, aa＋aa＋a·axa＋a＋aax11
，－对称、 所以－1－y＝f(1－x),即函数y＝f(x)的图象关于点22(2)由(1)知－1－f(x)＝f(1－x), 即f(x)＋f(1－x)＝－1、
所以f(－2)＋f(3)＝－1,f(－1)＋f(2)＝－1, f(0)＋f(1)＝－1、
故f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－3、
12、某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数: ①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°； ②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°； ③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°； ④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°、 (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论、 解:(1)选择②式,计算如下:
1
sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°
213＝1－＝、
44(2)三角恒等式为
3
sin2α＋cos2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝、
4证明如下:
sin2α＋cos2(30°－α)－sin α·cos(30°－α) ＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α· (cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
33131
＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α
4242233
＝sin2α＋cos2α 443＝、 4
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