2020-2021学年天津市河东区高一（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共32.0分）
1. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为100,200,300,400件，
为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丁种型号的产品中抽取( )件．
A. 24 B. 18 C. 12 D. 6
2. 下列事件中，随机事件的个数是( )
①2022年8月18日，北京市不下雨； ②在标准大气压下，水在4℃时结冰；
③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签； ④𝑥∈𝑅，则|𝑥|的值不小于0．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 已知m，n是两条不同直线𝛼，𝛽是两个不同平面，则下列命题正确的是( )
A. 若𝛼，𝛽垂直于同一平面，则𝛼与𝛽平行 B. 若m，n平行于同一平面，则m与n平行 C. 若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面 D. 若𝛼，𝛽不平行，则在𝛼内不存在与𝛽平行的直线
𝑃𝐴⊥平面ABC，∠𝐵𝐴𝐶=90°，则二面角𝐵−𝐴𝐶−𝑃的4. 如图，在三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶中，
平面角是( )
A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°
5. 在5盒酸奶中，有2盒已经过了保质期，从中任取2盒，取到的酸奶中有已过保质
期的概率为( )
A. 3
1
B. 3
2
C. 10
7
D. 5
1
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6. 如图是某公司2018年1月至12月空调销售任务及完成情况的统计图，如10月份
销售任务是400台，完成率为90%，下列叙述不正确的是( )
A. 2018年3月的销售任务是400台 B. 2018年月销售任务的平均值不超过600台 C. 2018年总销售量为4870台 D. 2018年月销售量最大的是6月份
7. 在空间四边形ABCD中，若𝐴𝐵=𝐵𝐶，𝐴𝐷=𝐶𝐷，E为对角
线AC的中点，下列判断正确的是( )
A. 平面𝐴𝐵𝐷⊥平面BDC B. 平面𝐴𝐵𝐶⊥平面ABD C. 平面𝐴𝐵𝐶⊥平面ADC D. 平面𝐴𝐵𝐶⊥平面BED
D为AB的中点，𝑆𝐴⊥底面ABC，𝑆𝐴=4，𝐴𝐵=3，∠𝐴𝐵𝐶=90°，8. 三棱锥𝑆−𝐴𝐵𝐶中，
则点D到面SBC的距离等于( )
A. 5
12
B. 5
9
C. 5
6
D. 5
3
二、单空题（本大题共6小题，共24.0分）
9. 某次能力测试中，10人的成绩统计如表，则这10人成绩的20%分位数为______．
分数 人数(单位：人) 3 1 2 1 3 5 4 3 2 1 10. 掷两颗骰子，出现点数之和等于8的概率等于______ ．
11. 如图，𝛼∩𝛽=𝐶𝐷，𝛼∩𝛾=𝐸𝐹，𝛽∩𝛾=𝐴𝐵，𝐴𝐵//𝛼，则CD与EF的位置关系
为______．
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12. A，B，C，D四名学生按任意次序站成一排，则A或B在边上的概率为______． 13. 为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了
“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图(如图所示)，记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为𝑠1，𝑠2，𝑠3，则它们的大小关系为______ .(用“>”连接)
14. 如图，正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的棱长为1，线段
𝐵1𝐷1上有两个动点E，F，且𝐸𝐹=√，现有下列结
2论： ①𝐴𝐶⊥𝐵𝐸；
②平面AEF与平面ABCD的交线平行于直线EF；③异面直线AE，BF所成的角为定值； ④三棱锥𝐴−𝐵𝐸𝐹的体积为定值． 其中错误结论的是______．
三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
15. 如图，在三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，𝐶𝐶1⊥底面ABC，𝐴𝐶=9，𝐵𝐶=12，𝐴𝐵=15，
点D是AB的中点． (1)求证：𝐴𝐶⊥𝐵1𝐶； (2)求证：𝐴𝐶1//平面𝐶𝐷𝐵1．
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2
16. 据平安保险公司统计，某地车主购买车损险的概率为0.5，购买第三者人身安全险
的概率为0.6.购买两种保险相互独立，各车主间相互独立． ①求一位车主同时购买车损险与第三者人身安全险保险的概率． ②求一位车主购买第三者人身安全险但不购买车损险的概率．
17. 某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部
分学生的分数(得分取正整数，满分为100)作为样本(样本容量为𝑛)进行统计，按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图，已知得分在[50,60)，[90,100]的频数分别为8，2．
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(1)求样本容量n和频率分布直方图中的x，y的值； (2)估计本次竞赛学生成绩的众数、中位数、平均数．
18. 某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格．某校随机
[80,85)，[85,90)，[90,95)，抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段[75,80)，[95,100](单位：小时)进行统计，其频率分布直方图如图所示． (Ⅰ)求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数； (Ⅱ)从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率．
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𝐴𝐷⊥平面PDC，𝐴𝐷//𝐵𝐶，𝑃𝐷⊥𝑃𝐵，𝐴𝐷=1，𝐵𝐶=3，19. 如图，在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，
𝐶𝐷=4，𝑃𝐷=2．
(Ⅰ)求异面直线AP与BC所成角的余弦值； (Ⅱ)求证：𝑃𝐷⊥平面PBC；
(Ⅲ)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
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答案和解析
1.【答案】A
【解析】 【分析】
本题考查应从丁种型号的产品中抽取的件数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 利用分层抽样的性质直接求解． 【解答】
解：某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为100，200，300，400件，
为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验， 则应从丁种型号的产品中抽取： 60×100+200+300+400=24(件)， 故选：A．
400
2.【答案】B
【解析】解：根据题意，依次分析4个事件； ①2022年8月18日，北京市不下雨，是随机事件； ②在标准大气压下，水在4℃时结冰，是不可能事件；
③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签，是随机事件； ④𝑥∈𝑅，则|𝑥|的值不小于0，是必然事件； 则其中是随机事件的有2个； 故选：B．
根据题意，依次分析4个事件是不是随机事件，综合可得答案． 本题考查随机事件的定义，注意随机事件的定义，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：对于A，若𝛼，𝛽垂直于同一平面，则𝛼与𝛽平行或相交，不正确； 对于B，若m，n平行于同一平面，则m与n平行、相交或异面，不正确；
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对于C，根据垂直与同一平面的两条直线平行，可知C正确；
对于D，若𝛼，𝛽不平行，则在𝛼内存在与𝛽平行的直线，与交线平行即可，不正确， 故选：C．
对4个选项分别进行判断，即可得出结论．
本题考查空间的线面位置关系，考查空间想象能力和逻辑推理能力．
4.【答案】A
【解析】解：∵𝑃𝐴⊥平面ABC，𝐴𝐵⊂平面ABC， ∴𝑃𝐴⊥𝐴𝐵，
∵∠𝐵𝐴𝐶=90°，∴𝐴𝐵⊥𝐴𝐶， ∵𝑃𝐴∩𝐴𝐶=𝐴， ∴𝐴𝐵⊥平面PAC， ∵𝐴𝐵⊂平面ABC， ∴平面𝐴𝐵𝐶⊥平面PAC，
即二面角𝐵−𝐴𝐶−𝑃为直二面角， 则二面角𝐵−𝐴𝐶−𝑃的大小为90°， 故选：A．
根据面面垂直的判定定理证明二面角𝐵−𝐴𝐶−𝑃是直二面角即可．
本题主要考查二面角的求解，根据面面垂直的定义，判断二面角是直二面角是解决本题的关键，是基础题．
5.【答案】C
【解析】解：设5盒酸奶分别为𝐴1，𝐴2，𝐴3，𝐵1，𝐵2， 其中保质期内的为𝐴1，𝐴2，𝐴3，过了保质期为𝐵1，𝐵2，
(𝐴1,𝐴3)，(𝐴2,𝐴3)，(𝐴1,𝐵1)，(𝐴1,𝐵2)，(𝐴2,𝐵1)，从5盒酸奶中，随机抽取2盒，有(𝐴1,𝐴2)，(𝐴2,𝐵2)，(𝐴3,𝐵1)，(𝐴3,𝐵2)，(𝐵1,𝐵2)共10种，其中取到的酸奶中有已过保质期，有(𝐴1,𝐵1)，(𝐴1,𝐵2)，(𝐴2,𝐵1)，(𝐴2,𝐵2)，(𝐴3,𝐵1)，(𝐴3,𝐵2)，(𝐵1,𝐵2)共7种， 故所求的概率𝑃=10． 故选：C．
根据已知条件，结合列举法和古典概型的概率公式，即可求解．
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7
本题主要考查古典概型的概率公式，以及列举法，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：对于𝐴.由图中的数据，2018年3月的销售任务是400台，A正确． 对于𝐵.2018年月销售任务的平均值为12(100+200+3×300+3×300+500+700+800+1000)<600，B正确．
对于𝐶.2018年总销售量=300×50%+200×100%+400×120%+500×110%+800×100%+1000×70%+700×80%+400×90%+300×150%+400×90%+100×80%+300×60%=4870台，C正确，
对于𝐷.2018年月销售量5月份是800台，6月份是1000×70%=700台， 因此2018年月销售量最大的是5月份，D错误； 故选：D．
根据题意，结合统计图，依次判断各选项即可．
本题考查了统计图的识别，注意从折线图分析数据，属于基础题．
1
7.【答案】D
【解析】解：∵𝐴𝐵=𝐵𝐶，𝐴𝐷=𝐶𝐷，E为对角线AC的中点， ∴𝐵𝐸⊥𝐴𝐶，𝐷𝐸⊥𝐴𝐶， ∵𝐵𝐸∩𝐷𝐸=𝐸， ∴𝐴𝐶⊥平面BED， ∵𝐴𝐶⊂平面ABC， ∴平面𝐴𝐵𝐶⊥平面BED， 故选：D．
根据面面垂直的判定定理进行证明即可．
本题主要考查空间面面垂直的判断，利用面面垂直的判定定理是解决本题的关键，是基础题．
8.【答案】C
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【解析】解：∵𝑆𝐴⊥底面ABC，𝑆𝐴=4，𝐴𝐵=3，D为AB的中点，∠𝐴𝐵𝐶=90°， ∴𝐵𝐶⊥面SAB，
∴面𝑆𝐵𝐶⊥面SAB，在面SAB中，作𝐷𝐸⊥𝑆𝐵， 则𝐷𝐸⊥面SBC，DE为所求． 由△𝐵𝐷𝐸∽△𝐵𝑆𝐴， 得𝑆𝐴=
𝐷𝐸
𝐵𝐷
，即𝐷𝐸=2，解得𝐷𝐸=5， 𝐵𝑆45
3
6
故选：C．
先由面面垂直的性质找出点D到面SBC的距离DE，再利用三角形相似，对应边成比例求出DE的值．
本题考查线面垂直、面面垂直性质的应用，属于中档题．
9.【答案】1
【解析】解：根据题意，因为10×20%=2，由表格中的数据可得， 这10人成绩的20%分位数为故答案为：1．
根据题意，由分位数的定义直接求解即可．
本题考查分位数的定义，解题的关键是掌握分位数的求解方法，属于基础题．
1+12
=1．
10.【答案】36
【解析】 【分析】
本题考查等可能事件的概率，本题解题的关键是列举出满足条件的事件数，列举时要做到不重不漏，本题是一个基础题，
根据试验发生包含的事件是掷两颗骰子有6×6=36个结果，满足条件的事件是向上点数之和等于8，有(2,6)(3,5)(4,4)(5,3)(6,2)共5种结果，得到概率． 【解答】
解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是掷两颗骰子有6×6=36个结果，
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5
满足条件的事件是向上点数之和等于8，有(2,6)(3,5)(4,4)(5,3)(6,2)共5种结果， ∴要求的概率是𝑃=36， 故答案为：36．
5
5
11.【答案】𝐶𝐷//𝐸𝐹
【解析】解：∵𝐴𝐵//平面𝛼，𝐴𝐵⊂𝛽，𝛼∩𝛽=𝐶𝐷， ∴𝐴𝐵//𝐶𝐷，
∵𝐴𝐵//平面𝛼，𝐴𝐵⊂𝛾，𝛼∩𝛾=𝐸𝐹， ∴𝐴𝐵//𝐸𝐹， ∴𝐶𝐷//𝐸𝐹．
故答案为：𝐶𝐷//𝐸𝐹．
由𝐴𝐵//平面𝛼，推导出𝐴𝐵//𝐶𝐷，由𝐴𝐵//平面𝛼，推导出𝐴𝐵//𝐸𝐹，由此得到𝐶𝐷//𝐸𝐹． 本题考查线线关系的判断与证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．
12.【答案】6
【解析】解：A，B，C，D四名学生按任意次序站成一排， 基本事件总数𝑛=𝐴44=24，
31322A或B在边上包含的基本事件个数𝑚=𝐴12𝐴3+𝐴2𝐴3−𝐴2𝐴2=20，
5
∴𝐴或B在边上的概率为𝑝=故答案为：6．
5
𝑚𝑛
=
20
=．
246
5
1313
基本事件总数𝑛=𝐴44=24，A或B在边上包含的基本事件个数𝑚=𝐴2𝐴3+𝐴2𝐴3−2𝐴22𝐴2=20，由此能求出A或B在边上的概率．
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
13.【答案】𝑠1>𝑠2>𝑠3
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【解析】解：根据三个频率分步直方图知，
第一组数据的两端数字较多，绝大部分数字都处在两端数据偏离平均数远，最分散，其方差最大；
第二组数据是单峰的每一个小长方形的差别比较小，数字分布均匀，数据不如第一组偏离平均数大，方差比第一组中数据中的方差小，
而第三组数据绝大部分数字都在平均数左右，数据最集中，故其方差最小， 总上可知𝑠1>𝑠2>𝑠3， 故答案为：𝑠1>𝑠2>𝑠3，
第二组数据是单峰的每一个小长方形的差别比较小，数字数据较分散，各个段内分布均匀，第一组数据的两端数字较多，绝大部分数字都处在两端最分散，而第三组数据绝大部分数字都在平均数左右，是集中，由此得到结果．
本题考查频率分步直方图，考查三组数据的标准差，考查标准差的意义，是比较几组数据的波动大小的量，考查读图，本题是一个基础题．
14.【答案】③
【解析】解：对于①，∵𝐴𝐶⊥平面𝐵𝐷𝐷1𝐵1，𝐵𝐸⊂平面𝐵𝐷𝐷1𝐵1，∴𝐴𝐶⊥𝐵𝐸，故①正确；
对于②，平面𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1//平面ABCD，设平面𝐴𝐸𝐹∩平面𝐴𝐵𝐶𝐷=𝑙，平面𝐴𝐸𝐹∩平面𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1=𝐸𝐹，故𝑙//𝐸𝐹，故②正确； 对于③，∵当点E在𝐷1处，F为𝐷1𝐵1的中点时， 由𝐵𝐶1//𝐴𝐷1可知异面直线AE，BF所成的角是∠𝐹𝐵𝐶1； 当E在上底面的中心时，F在𝐵1的位置，
异面直线AE，BF所成的角是∠𝐸𝐴𝐴1，两个角不相等， 从而异面直线AE，BF所成的角不一定为定值，故③错误； 对于④，∵𝐴到平面𝐵𝐷𝐷1𝐵1的距离𝑑=𝐴𝐶=√是定值，
22𝑆△𝐵𝐸𝐹=2×
1
√22
1
2×1=
√2是定值， 4
∴三棱锥𝐴−𝐵𝐸𝐹的体积为定值，故④正确． 故答案为：③．
对于①，由𝐴𝐶⊥平面𝐵𝐷𝐷1𝐵1，得𝐴𝐶⊥𝐵𝐸；对于②，由面面平行的性质定理可证得平面AEF与平面ABCD的交线平行于直线EF；对于③，可由两个特殊位置说明两异面直
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线所成的角不是定值；对于④，A到平面𝐵𝐷𝐷1𝐵1的距离是定值，𝑆△𝐵𝐸𝐹是定值，从而可得三棱锥𝐴−𝐵𝐸𝐹的体积为定值．
本题考查命题真假的判定，棱柱的结构特征，解答本题关键是正确理解正方体的几何性质，且能根据这些几何特征，对其中的点线面的位置关系作出正确判断，属于中档题．
15.【答案】解：(1)证明：因为𝐴𝐵2=𝐴𝐶2+𝐵𝐶2，
所以∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐴𝐶⊥𝐵𝐶， 又𝐶𝐶1⊥底面ABC，所以𝐶𝐶1⊥𝐴𝐶， 𝐶𝐶1∩𝐵𝐶=𝐶，所以𝐴𝐶⊥平面𝐵𝐵1𝐶1C. 因为𝐵1𝐶⊂平面𝐵𝐵1𝐶1𝐶， 所以𝐴𝐶⊥𝐵1C.
(2)证明：连接𝐵𝐶1交𝐵1𝐶于点O，连接OD． 因为四边形𝐵𝐵1𝐶1𝐶为矩形，所以点O为𝐵𝐶1的中点． 又因为点D为AB的中点，所以𝑂𝐷//𝐴𝐶1． 因为𝑂𝐷⊂平面𝐶𝐷𝐵1，𝐴𝐶1⊄平面𝐶𝐷𝐵1， 所以𝐴𝐶1//平面𝐶𝐷𝐵1．
【解析】(1)只需证明𝐴𝐶⊥平面𝐵𝐵1𝐶1C.即可证明𝐴𝐶⊥𝐵1C.
(2)连接𝐵𝐶1交𝐵1𝐶于点O，连接𝑂𝐷.即可得𝑂𝐷//𝐴𝐶1.从而证明𝐴𝐶1//平面𝐶𝐷𝐵1． 本题考查了空间线线垂直、线面平行的判定，考查了逻辑推理能力，属于中档题．
B表示事件“购买第三者人身安全险”， 【答案】解：记A表示事件“购买车损险”，16.
A与𝐵，𝑃(𝐵)=0.6． 则由题意，得A与B，且𝑃(𝐴)=0.5，𝐵与𝐴都是相互独立事件，𝐴与B，(1)记C表示事件“同时购买两种保险”，则𝐶=𝐴𝐵，
所以一位车主同时购买车损险与第三者人身安全险保险的概率为： 𝑃(𝐶)=𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)=0.5×0.6=0.3．
(2)记D表示事件“购买第三者人身安全险但不购买车损险”，则𝐷=𝐴𝐵， 所以一位车主购买第三者人身安全险但不购买车损险的概率： 𝑃(𝐷)=𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)=(1−0.5)×0.6=0.3．
−
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−−
−
−
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【解析】记A表示事件“购买车损险”，B表示事件“购买第三者人身安全险”，则由题意，得A与B，A与𝐵，𝐴与B，𝐵与𝐴都是相互独立事件，且𝑃(𝐴)=0.5，𝑃(𝐵)=0.6． (1)记C表示事件“同时购买两种保险”，则𝐶=𝐴𝐵，利用相互独立事件概率乘法公式能求出一位车主同时购买车损险与第三者人身安全险保险的概率．
(2)记D表示事件“购买第三者人身安全险但不购买车损险”，则𝐷=𝐴𝐵，利用相互独立事件概率乘法公式能求出一位车主购买第三者人身安全险但不购买车损险的概率． 本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
−
−
−
−
−
17.【答案】解：(1)由频率分布直方图得[50,60)的频率为0.016×10=0.16，
∵得分在[50,60)，[90,100]的频数分别为8，2． ∴𝑛=0.016×10=50，𝑦=𝑛×10=500=0.004，
∴𝑥=[1−(0.016+0.04+0.01+0.004)×10]÷10=0.03． (2)估计本次竞赛学生成绩的众数为：
70+802
8
2
2
=75，
∵[50,70)的频率为：(0.016+0.03)×10=0.46， [70,80)的频率为：0.04×10=0.4， ∴中位数为：70+
0.5−0.460.4
×10=71，
平均数为：55×0.16+65×0.3+75×0.4+85×0.1+95×0.04=70.6．
(1)由频率分布直方图求出[50,60)的频率为0.16，[90,100]【解析】根据得分在[50,60)，的频数分别为8，2.能求出n，y，从而能求出x．
(2)由频率分布直方图能估计本次竞赛学生成绩的众数、中位数、平均数．
本题考查样本容量、频率、众数、中位数、平均数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：(Ⅰ)由题意可知，
参加社区服务在时间段[90,95)的学生人数为20×0.04×5=4(人)， 参加社区服务在时间段[95,100]的学生人数为20×0.02×5=2(人)． 所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为 4+2=6(人)． (Ⅱ)设所选学生的服务时间在同一时间段内为事件A．
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由(Ⅰ)可知，
参加社区服务在时间段[90,95)的学生有4人，记为a，b，c，d； 参加社区服务在时间段[95,100]的学生有2人，记为A，B．
从这6人中任意选取2人有ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB 共15种情况．
事件A包括ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况． 所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率𝑃(𝐴)=15
7
【解析】(𝐼)利用频率分布直方图，求出频率，进而根据频数=频率×样本容量，得到答案；
(𝐼𝐼)先计算从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人的情况总数，再计算所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．
本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键．
19.【答案】(Ⅰ)解：如图，
由已知𝐴𝐷//𝐵𝐶，
故∠𝐷𝐴𝑃或其补角即为异面直线AP与BC所成的角， 因为𝐴𝐷⊥平面PDC，𝑃𝐷⊂平面PDC， 所以𝐴𝐷⊥𝑃𝐷，
在𝑅𝑡△𝑃𝐷𝐴中，由已知，得𝐴𝑃=√𝐴𝐷2+𝑃𝐷2=√5，
√故cos∠𝐷𝐴𝑃=， =
𝐴𝑃5
𝐴𝐷
5所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为√；
5
5(Ⅱ)证明：因为𝐴𝐷⊥平面PDC，𝑃𝐷⊂平面PDC，
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所以𝐴𝐷⊥𝑃𝐷，
又因为𝐵𝐶//𝐴𝐷，所以𝑃𝐷⊥𝐵𝐶，
又𝑃𝐷⊥𝑃𝐵，𝑃𝐵∩𝐵𝐶=𝐵，PB，𝐵𝐶⊂平面PBC， 所以𝑃𝐷⊥平面PBC；
(Ⅲ)解：过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF， 则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角， 因为𝑃𝐷⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影， 所以∠𝐷𝐹𝑃为直线DF和平面PBC所成的角， 由于𝐴𝐷//𝐵𝐶，𝐷𝐹//𝐴𝐵， 所以四边形ABFD为平行四边形， 故BF=𝐴𝐷=1，
由已知，得𝐶𝐹=𝐵𝐶−𝐵𝐹=2， 因为𝐴𝐷⊥平面PDC，𝐷𝐶⊂平面PDC， ∴𝐴𝐷⊥𝐷𝐶，又𝐴𝐷//𝐵𝐶， 故BC⊥𝐷𝐶，
∴𝐷𝐹=√𝐷𝐶2+𝐶𝐹2=2√5，
𝑃𝐷√5在𝑅𝑡△𝐷𝑃𝐹中，可得sin∠𝐷𝐹𝑃==．
𝐷𝐹
5
所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为√．
5
5
【解析】本题主要考查两条异面直线所成的角、直线与平面垂直的判定、直线与平面所成的角，是拔高题．
(Ⅰ)由已知𝐴𝐷//𝐵𝐶，从而∠𝐷𝐴𝑃或其补角即为异面直线AP与BC所成的角，由此能求出异面直线AP与BC所成角的余弦值；
(Ⅱ)由𝐴𝐷⊥平面PDC，得𝐴𝐷⊥𝑃𝐷，由𝐵𝐶//𝐴𝐷，得𝑃𝐷⊥𝐵𝐶，再由𝑃𝐷⊥𝑃𝐵，得到𝑃𝐷⊥平面PBC；
(Ⅲ)过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角，由𝑃𝐷⊥平面PBC，得到∠𝐷𝐹𝑃为直线DF和平面PBC所成的角，由此能求出直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
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