2020-2021北京市人大附中高一数学上期末模拟试卷(带答案)

一、选择题

1．已知奇函数yf(x)的图像关于点(则当x(,0)对称，当x[0,)时，f(x)1cosx，225,3]时，f(x)的解析式为（ ） 2A．f(x)1sinx B．f(x)1sinx C．f(x)1cosx D．f(x)1cosx 2．在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“”如下：当ab时，aba；当

ab时，abb2，已知函数fx1xx22xx2,2，则满足fm1f3m的实数的取值范围是（ ）

1A．,

21

B．,2

2

12C．,

2321,D． 33ax4a,x1fx3．若是,的增函数,则a的取值范围是( ) 2x,x1A．,3

2

5

B．,3

25

C．,3

D．2, 54．若x0＝cosx0，则（ ） A．x0∈（

，） B．x0∈（，） C．x0∈（，） D．x0∈（0，） 3243646361

80

5．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为10.则下列各数中与（参考数据：lg3≈0.48） A．1033 C．1073

B．1053 D．1093

M最接近的是 N6．已知全集为R，函数yln6xx2的定义域为集合

A,Bx|a4xa4，且AA．2a10 C．a2或a10

RB，则a的取值范围是（ ）

B．2a10 D．a2或a10

7．设fx是R上的周期为2的函数，且对任意的实数x，恒有fxfx0，当

1x1,0时，fx1，若关于x的方程fxlogax10(a0且a1)

2恰有五个不相同的实数根，则实数a的取值范围是( ) A．3,5

xB．3,5 C．4,6 D．4,6

8．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是( )

A．y＝x B．y＝lg x C．y＝2x D．y＝1 xlog1x,x1,129．已知函数f(x)＝则f(f()))等于( )

x224,x1,A．4 C．2

B．－2 D．1

10．曲线y4x21(2x2)与直线ykx2k4有两个不同的交点时实数k的范围是（ ） A．(

53,] 124B．(5,) 12C．(,)1334D．(,53)(,) 124U11．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则(A．{1}

B．{3，5}

C．{1，2，4，6}

P)Q=

D．{1，2，3，4，5}

12．对任意实数x，规定fx取4x，x1，（ ）

A．无最大值，无最小值 C．有最大值1，无最小值

15x三个值中的最小值，则fx2B．有最大值2，最小值1 D．有最大值2，无最小值

二、填空题

13．若函数f(x)a(a0,且a1)在[1,2]上的最大值比最小值大____________.

14．已知幂函数y(m2)x在(0,)上是减函数，则m__________．

mxa，则a的值为2，则15．已知f(x)是定义域为R的单调函数，且对任意实数x都有ff(x)x213f(log25) =__________.

16．对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0，则称x0是f（x）的一个不动点，已知f（x）=x2+ax+4在[1，3]恒有两个不同的不动点，则实数a的取值范围______. 17．已知函数f(x)log2x，定义f(x)f(x1)f(x)，则函数

21F(x)f(x)f(x1)的值域为___________.

18．对于函数yf(x)，若存在定义域D内某个区间[a，b]，使得yf(x)在[a，b]上的值域也为[a，b]，则称函数yf(x)在定义域D上封闭，如果函数f(x)上封闭，则ba____．

19．若函数fx2xxaxa在区间3,0上不是单调函数，则实数a的取值

24x在R1x范围是______.

xx5,x220．已知函数fxa2a2,x2，其中a0且a1，若fx的值域为

3,，则实数a的取值范围是______．

三、解答题

21．已知函数f(x)＝2的定义域是[0,3]，设g(x)＝f(2x)－f(x＋2)， (1)求g(x)的解析式及定义域； (2)求函数g(x)的最大值和最小值．

22．近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步.华为在2019年不仅净利润创下记录，海外增长同祥强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投人固定成本250万，每生产x（千部）手机，需另投入成本R(x)万元，且

x10x2200x,0x40R(x)，由市场调研知，每部手机售价0.8万元，且全年内100009450,x40801xx生产的手机当年能全部销售完.

（Ⅰ）求出2020年的利润Q(x)（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式（利润=销售

额-成本）；

（Ⅱ）2020年产量x为多少（千部）时，企业所获利润最大?最大利润是多少? （说明：当a0时，函数yxa在(0,a)单调递减，在(a,)单调递增） x23．随着我国经济的飞速发展，人们的生活水平也同步上升，许许多多的家庭对于资金的管理都有不同的方式.最新调查表明，人们对于投资理财的兴趣逐步提高.某投资理财公司做了大量的数据调查，调查显示两种产品投资收益如下： ①投资A产品的收益与投资额的算术平方根成正比； ②投资B产品的收益与投资额成正比.

公司提供了投资1万元时两种产品的收益，分别是0.2万元和0.4万元.

（1）分别求出A产品的收益f(x)、B产品的收益g(x)与投资额x的函数关系式； （2）假如现在你有10万元的资金全部用于投资理财，你该如何分配资金，才能让你的收益最大？最大收益是多少？

axb(a,bR)为在R上的奇函数,且f(1)1. 2x1(1)用定义证明f(x)在(1,)的单调性;

24．已知函数f(x)(2)解不等式f23f41.

xxfx225．已知 x1a2xaR.

（1）若fx是奇函数，求a的值，并判断fx的单调性（不用证明）；

（2）若函数yfx5在区间(0,1)上有两个不同的零点，求a的取值范围. 26．已知集合Axa1x2a1，Bx0x1. （1）若BA，求实数a的取值范围； （2）若AB，求实数a的取值范围.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】

5x,33x0,,结合奇偶性与对称性即可得到结果. 当时，22【详解】

yfx因为奇函数的图像关于点2,0对称，所以fxfx0，

且fxfx，所以f当xxfx，故fx是以为周期的函数.

5,3时，3x0,，故f3x1cos3x1cosx 22因为fx是周期为的奇函数，所以f3xfxfx 故fx1cosx，即fx1cosx，x故选C 【点睛】

本题考查求函数的表达式，考查函数的图象与性质，涉及对称性与周期性，属于中档题.

5,3 22．C

解析：C 【解析】

当2x1时，fx1x22x4； 当1x2时，fxxx22x4；

23所以fxx4,2x1， 3x4,1x2易知，fxx4在2,1单调递增，fxx4在1,2单调递增，

3且2x1时，fxmax3，1x2时，fxmin3，

2上单调递增， 则fx在2,2m1212所以fm1f3m得：23m2，解得m，故选C．

23m13mx4,2x1fx点睛：新定义的题关键是读懂题意，根据条件，得到3，通过单调

x4,1x22上单调递增，解不等式fm1f3m，要符合定义域性分析，得到fx在2,2m12和单调性的双重要求，则23m2，解得答案．

m13m3．A

解析：A 【解析】 【分析】

利用函数yfx是,上的增函数，保证每支都是增函数，还要使得两支函数在分界点x1处的函数值大小，即3a14a1，然后列不等式可解出实数a的取值

2范围． 【详解】

3ax4a,x1由于函数fx是,的增函数， 2x,x1则函数y3ax4a在,1上是增函数，所以，3a0，即a3； 且有3a14a1，即35a1，得a22， 5因此，实数a的取值范围是,3，故选A. 【点睛】

本题考查分段函数的单调性与参数，在求解分段函数的单调性时，要注意以下两点： （1）确保每支函数的单调性和原函数的单调性一致； （2）结合图象确保各支函数在分界点处函数值的大小关系．

254．C

解析：C 【解析】 【分析】

画出yx,ycosx的图像判断出两个函数图像只有一个交点，构造函数

fxxcosx，利用零点存在性定理，判断出fx零点x0所在的区间

【详解】

画出yx,ycosx的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像只有一个交点，构造函数fxxcosx，f30.5230.8660.3430，6622f0.7850.7070.0780，根据零点存在性定理可知，fx的唯一442零点x0在区间故选：C

,. 64

【点睛】

本小题主要考查方程的根，函数的零点问题的求解，考查零点存在性定理的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.

5．D

解析：D 【解析】

M3361试题分析：设x80 ，两边取对数，

N10M3361最接近lgxlg80lg3361lg1080361lg38093.28，所以x1093.28，即N101093，故选D.

【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数

3361的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令x80，并想到两边同时取对数进

10行求解，对数运算公式包含logaMlogaNlogaMN，logaMlogaNlogaM，NlogaMnnlogaM.

6．C

解析：C 【解析】 【分析】

由6xx20可得Ax|2x6，CRBxa4或xa4，再通过A为

CRB的子集可得结果.

【详解】

由yln6xx2可知，

6xx202x6，所以Ax|2x6，

CRBxa4或xa4，

因为ACRB，所以6a4或2a4，即a10或a2，故选C. 【点睛】

本题考查不等式的解集和对数函数的定义域，以及集合之间的交集和补集的运算；若集合的元素已知，求解集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解.

7．D

解析：D 【解析】

x1由fxfx0，知fx是偶函数，当x1,0时，fx1，且2fx是R上的周期为2的函数，

作出函数yfx和ylogax1的函数图象，关于x的方程

fxlogax10(a0且a1)恰有五个不相同的实数根，即为函数yfx和

ylogax1的图象有5个交点，

a1所以loga311，解得4a6.

log511a故选D.

点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．

8．D

解析：D 【解析】

lgx试题分析:因函数y10的定义域和值域分别为

,故应选D．

考点：对数函数幂函数的定义域和值域等知识的综合运用．

9．B

解析：B 【解析】

1f242224，则21f1ff4log142，故选B. 2210．A

解析：A 【解析】

试题分析：y4x21(2x2)对应的图形为以0,1为圆心2为半径的圆的上半部分，直线ykx2k4过定点

2,4，直线与半圆相切时斜率k5，过点2,1时12533斜率k，结合图形可知实数k的范围是(,]

4124考点：1．直线与圆的位置关系；2．数形结合法

11．C

解析：C 【解析】

试题分析：根据补集的运算得

UP2,4,6,(UP)Q2,4,61,2,41,2,4,6．故选C.

【考点】补集的运算.

【易错点睛】解本题时要看清楚是求“”还是求“”，否则很容易出现错误；一定要注意

集合中元素的互异性，防止出现错误．

12．D

解析：D 【解析】 【分析】

由题意画出函数图像，利用图像性质求解 【详解】

yx1画出fx的图像，如图（实线部分），由得A1,2． 1y5x2故fx有最大值2，无最小值 故选：D

【点睛】

本题主要考查分段函数的图像及性质，考查对最值的理解，属中档题．

二、填空题

13．或【解析】【分析】【详解】若∴函数在区间上单调递减所以由题意得又故若∴函数在区间上单调递增所以由题意得又故答案：或

13或 22【解析】 【分析】 【详解】

解析：

若0a1，∴函数f(x)a在区间[1,2]上单调递减，所以

xf(x)maxa,f(x)mina2，由题意得aa2a1，又0a1，故a．若a1，∴222x函数f(x)a在区间[1,2]上单调递增，所以f(x)maxa,f(x)mina，由题意得

a2a答案：

a3，又a1，故a． 2213或 2214．-3【解析】【分析】根据函数是幂函数可求出m再根据函数是减函数知故

可求出m【详解】因为函数是幂函数所以解得或当时在上是增函数；当时在上是减函数所以【点睛】本题主要考查了幂函数的概念幂函数的增减性属于

解析：-3 【解析】 【分析】

根据函数是幂函数可求出m,再根据函数是减函数知m0，故可求出m. 【详解】 因为函数是幂函数

所以|m|21，解得m3或m3. 当m3时，yx在(0,)上是增函数； 当m3时，yx在(0,)上是减函数， 所以m3. 【点睛】

本题主要考查了幂函数的概念，幂函数的增减性，属于中档题.

315．【解析】【分析】由已知可得＝a恒成立且f（a）＝求出a＝1后将x＝log25代入可得答案【详解】∵函数f（x）是R上的单调函数且对任意实数x都有f＝∴＝a恒成立且f（a）＝即f（x）＝﹣+af（a）

2 3【解析】 【分析】

解析：

由已知可得fx答案． 【详解】

∵函数f（x）是R上的单调函数，且对任意实数x，都有f[fx∴fx12afa＝恒成立，且（）＝，求出a＝1后，将x＝log25代入可得

2x1312]＝， 2x1312afa＝恒成立，且（）＝，

2x13122+afa+a，（）＝﹣＝， 2x12x132+1， 2x1即f（x）＝﹣

解得：a＝1，∴f（x）＝﹣∴f（log25）＝故答案为：【点睛】

2， 32． 3本题考查的知识点是函数解析式的求法和函数求值的问题，正确理解对任意实数x，都有

21ffxx成立是解答的关键，属于中档题．

21316．【解析】【分析】不动点实际上就是方程f（x0）=x0的实数根二次函数f（x）=x2+ax+4有不动点是指方程x=x2+ax+4有实根即方程x=x2+ax+4有两个不同实根然后根据根列出不等式解答即可

10解析：,3

3【解析】 【分析】

不动点实际上就是方程f（x0）=x0的实数根，二次函数f（x）=x2+ax+4有不动点，是指方程x=x2+ax+4有实根，即方程x=x2+ax+4有两个不同实根，然后根据根列出不等式解答即可． 【详解】

解：根据题意，f（x）=x2+ax+4在[1，3]恒有两个不同的不动点，得x=x2+ax+4在[1，3]有两个实数根，

即x2+（a﹣1）x+4=0在[1，3]有两个不同实数根，令g（x）=x2+（a﹣1）x+4在[1，3]有两个不同交点，

g(1)0a40g(3)03a100∴1a，即1a， 13132222(a1)160(a1)160解得：a∈10,3； 310,3． 3故答案为：【点睛】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、函数与方程的综合运用，属于中档题．

17．【解析】【分析】根据题意以及对数的运算性质得出进而可由基本不等式可得出从而可得出函数的值域【详解】由题意即由题意知由基本不等式得（当

且仅当时取等号）所以（当且仅当时取等号）即所以的值域为故答案为：【 解析：2,

【解析】 【分析】

根据题意以及对数的运算性质得出Fxlog2x12，进而可由基本不等式可得出x1x24，从而可得出函数Fx的值域. x【详解】

由题意，Fx2fx1fx2log2x1log2x，

x22x11log2x2， 即Fxlog2xx由题意知，x0，由基本不等式得x所以x112x2（当且仅当x1时取等号）， xx1124（当且仅当x1时取等号），即log2x2log242，

xx所以Fx的值域为2,. 故答案为：2,. 【点睛】

本题考查了函数值域的定义及求法，对数的运算性质，基本不等式的运用，考查了计算能力，属于基础题.

18．6【解析】【分析】利用定义证明函数的奇偶性以及单调性结合题设条件列出方程组求解即可【详解】则函数在R上为奇函数设即结合奇函数的性质得函数在R上为减函数并且由题意可知：由于函数在R上封闭故有解得：所以

解析：6 【解析】 【分析】

利用定义证明函数yf(x)的奇偶性以及单调性，结合题设条件，列出方程组，求解即可. 【详解】

f(x)4x4xf(x)，则函数f(x)在R上为奇函数

1x1x设0x1x2，f(x)4x 1xf(x1)f(x2)4x2x14x14x20，即f(x1)f(x2) 1x11x21x11x2结合奇函数的性质得函数f(x)在R上为减函数，并且f(0)0

由题意可知：a0,b0

4abf(a)b1a由于函数f(x)在R上封闭，故有 ，解得：a3,b3

f(b)a4ba1b所以ba6 故答案为：6 【点睛】

本题主要考查了利用定义证明函数的奇偶性以及单调性，属于中档题.

19．【解析】【分析】将函数转化为分段函数对参数分类讨论【详解】转化为分段函数：为更好说明问题不妨设：其对称轴为；其对称轴为①当时因为的对称轴显然不在则只需的对称轴位于该区间即解得：满足题意②当时此时函数 解析：9,00,3

【解析】 【分析】

将函数转化为分段函数，对参数a分类讨论. 【详解】

fx2x2xaxa，转化为分段函数： 3x22axa2,xafx2. 2x2axa,xa为更好说明问题，不妨设：

hx3x22axa2，其对称轴为xa； 3gxx22axa2，其对称轴为xa.

①当a0时， 因为hx的对称轴xa显然不在3,0，则 3只需gx的对称轴位于该区间，即a3,0， 解得：a0,3，满足题意. ②当a0时，

3x2,x0fx2，此时

x,x0函数在区间3,0是单调函数，不满足题意. ③当a0时，

因为gx的对称轴xa显然不在3,0

只需hx的对称轴位于该区间即可，即解得：a9,0，满足题意. 综上所述：a9,00,3. 故答案为：9,00,3. 【点睛】

a3,0 3本题考查分段函数的单调性，难点在于对参数a进行分类讨论.

20．【解析】【分析】运用一次函数和指数函数的图象和性质可得值域讨论两种情况即可得到所求a的范围【详解】函数函数当时时时递减可得的值域为可得解得；当时时时递增可得则的值域为成立恒成立综上可得故答案为：【点

1解析：,11,

2【解析】 【分析】

运用一次函数和指数函数的图象和性质，可得值域，讨论a1，0a1两种情况，即可得到所求a的范围． 【详解】

xx5,x2函数函数fxa2a2,x2，

当0a1时，x2时，fx5x3，

xx2时，fxa2a2递减，

可得2a2fxa2a2，

2fx的值域为3,，可得2a23，

解得

1a1； 2当a1时，x2时，fx5x3，

xx2时，fxa2a2递增，

可得fxa2a25，

2则fx的值域为3,成立，a1恒成立． 综上可得a,11,． 故答案为：,11,． 【点睛】

1212本题考查函数方程的转化思想和函数的值域的问题解法，注意运用数形结合和分类讨论的思想方法，考查推理和运算能力，属于中档题．

三、解答题

21．（1）g(x)＝2－2【解析】 【分析】 【详解】

（1）f(x)＝2x的定义域是[0,3]，设g(x)＝f(2x)－f(x＋2)， 因为f(x)的定义域是[0,3]，所以

于是 g(x)的定义域为{x|0≤x≤1}． （2）设

当2x=1即x=0时，g(x)取得最大值-3．

．

∵x∈[0,1],即2x∈[1,2]，∴当2x=2即x=1时，g(x)取得最小值-4；

，解之得0≤x≤1．

2xx＋2

，{x|0≤x≤1}．（2）最小值－4；最大值－3.

10x2600x250,0x40,22．（Ⅰ）Qx（Ⅱ）2020年年产量为100（千100009200,x40.xx部）时，企业获得的利润最大，最大利润为9000万元. 【解析】 【分析】

（Ⅰ）根据题意知利润等于销售收入减去可变成本及固定成本，分类讨论即可写出解析式（Ⅱ）利用二次函数求0x40时函数的最大值，根据对勾函数求x≥40时函数的最大值，比较即可得函数在定义域上的最大值. 【详解】

（Ⅰ）当0x40 时,

Qx800x10x2200x25010x2600x250 ；

当x≥40时,Qx800x801x10000100009450250x9200. xx10x2600x250,0x40,Qx 100009200,x40.xx（Ⅱ）当0x40时，Qx10x308750，

2QxmaxQ308750万元；

10000Qxx当x≥40时，9200 ，当且仅当x100时， xQxmaxQ1009000万元.

所以，2020年年产量为100（千部）时，企业获得的利润最大，最大利润为9000万元. 【点睛】

本题主要考查了分段函数，函数的最值，函数在实际问题中的应用，属于中档题. 23．(1) fx21159x(2) ABgxx x0，；当投资产品万元，产品 x0516165161. 40万元时，收益最大为【解析】 【分析】

（1）设出函数解析式，待定系数即可求得；

（2）构造全部收益关于x的函数，求函数的最大值即可. 【详解】

（1）由题可设：fxk1x，又其过点1,0.2， 解得：k10.2

同理可设：gxk2x，又其过点1,0.4， 解得：k20.4

2xx0 x0，gx5x 5（2）设10万元中投资A产品x，投资B产品10x，故：

故fx总收益yfxg10x =x2+10x 7a 55 令xt，则t0,10，则： 21yt2t4

5521161 =t

5440故当且仅当t211161. ，即x时，取得最大值为

416401159161. 万元，B产品万元时，收益最大为

161640综上所述，当投资A产品【点睛】

本题考查待定系数法求函数解析式、以及实际问题与函数的结合，属函数基础题. 24．(1)证明见解析;(2){x|x1}. 【解析】 【分析】

（1）根据函数为定义在R上的奇函数得f(0)0，结合f(1)1求得f(x)的解析式，再利用单调性的定义进行证明；

（2）因为2x31,4x11,由(1)可得2x34x1，解指数不等式即可得答案. 【详解】 (1)因为函数f(x)axb(a,bR)为在R上的奇函数,所以f(0)0 x210b001则有

ab111解得a22x,即f(x)2 b0x1x1,x2(1,),且x1x2

22x1x212x2x1212x12x2fx1fx222

x11x21x121x2212x1x21x2x1x2121x21

因为x1,x2(1,),且x1x2,

22所以x11x210,x1x210,x2x10

所以fx1fx20即fx1fx2 , 所以f(x)在(1,)上单调递减 .

(2)因为2x31,4x11,由(1)可得2x34x1 不等式可化为2x2x2x20,即(21220 解得2x2,即x1 所以不等式的解集为{x|x1} 【点睛】

本题考查奇函数的应用、单调性的定义证明、利用单调性解不等式，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意不等式的解集要写成集合的形式. 25．(1)答案见解析；(2)3,【解析】 试题分析：

(1)函数为奇函数，则fxfx0，据此可得a2，且函数fx在R上单调递增；

(2)原问题等价于a222x52x在区间(0,1)上有两个不同的根，换元令t2x，结合二

xx25. 8次函数的性质可得a的取值范围是3,试题解析： （1）因为

是奇函数，

x125. 8所以fxfx2所以(2) 等价于方程即方程所以方程画出函数

；

在

a2x2x1a2xa22x2x0，

上是单调递增函数;

在区间(0,1)上有两个不同的根，

在区间(0,1)上有两个不同的零点，

在区间(0,1)上有两个不同的根， 在区间

上有两个不同的根，

在(1,2)上的图象,如下图,

由图知,当直线y=a与函数所以的取值范围为

.

的图象有2个交点时,

点睛：函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用． 26．（1）0,1；（2）,212,.

【解析】 【分析】

a10,（1）由题得2a11,解不等式即得解；（2）对集合A分两种情况讨论即得实数aa12a1,的取值范围. 【详解】

a10,（1）若BA，则2a11,解得0a1.

a12a1,故实数a的取值范围是0,1.

（2）①当A时，有a12a1，解得a2，满足A②当A时，有a12a1，解得a2.

B.

1AB，则有2a10或a11，解得a或a2，

212a或a2.

2又

综上可知，实数a的取值范围是,212,.

【点睛】

本题主要考查根据集合的关系和运算求参数的范围，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.