浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷
一、选择题（共25小题，每小题2分，满分55分） 1．函数f（x）=A．[1，+∞）
的定义域是（ ） B．（1，+∞）
C．（0，1）
D．[0，1]
，0）
2．函数f（x）=sin2x，x∈R的一个对称中心是（ ） A．（
，0）
B．（
，0）
C．（
，0）
D．（
3．设向量=（m，2）（m≠0），=（n，﹣1），若∥，则=（ ） A．
B．﹣
C．2
D．﹣2
4．函数f（x）=lnx+x﹣2的零点位于区间（ ） A．（0，1）
B．（1，2）
C．（2，3）
D．（3，4）
），则k+α=（ ）
D．2
5．已知幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点（，A．
B．1
C．
6．在区间（﹣1，1）上单调递增且为奇函数的是（ ） A．y=ln（x+1） 7．若向量A．
B．y=xsinx
C．y=x﹣x3
D．y=3x+sinx
=﹣2，||=4，||=1，则向量，的夹角为（ ）
B．
C．
D．
8．设函数f（x）=x2+ax，a∈R，则（ ） A．存在实数a，使f（x）为偶函数 B．存在实数a，使f（x）为奇函数
C．对于任意实数a，f（x）在（0，+∞）上单调递增 D．对于任意实数a，f（x）在（0，+∞）上单调递减
9．若偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，且f（7）=0，则不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集是（ ）
C．1）+∞）∪（﹣7，（7，
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
B．（﹣∞，﹣7）∪（7，+∞）
D．（﹣7，1]∪（7，+∞）
，则实数a的值为（ ）
D．
10．函数f（x）=asin2x+cos2x，x∈R的最大值为A．2
B．﹣2
C．±2
11．函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象的交点的个数是（ ） A．1
B．3
C．5
D．7
12．设a=log2π，b=logA．a＞b＞c
π，c=π﹣2，则（ ） B．b＞a＞c
C．a＞c＞b
D．c＞b＞a
13．函数y=cos2x﹣sin2x的图象可以由函数y=cos2x+sin2x的图象经过下列哪种变换得到（ ）
A．向右平移
B．向右平移π
C．向左平移
D．向左平移π
14．函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
15．设函数f（x）=min{2，|x﹣2|}，其中min|a，b|=．若函数y=f（x）﹣m有三个不同的零 ）
）
，则λ+μ=（ ）
点x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是（ ） A．（2，6﹣2
）
B．（2，
+1）
C．（4，8﹣2
D．（0，4﹣2
16．N为AM上一点且AN=2NM，设M是△ABC边BC上任意一点，若 A． 17．计算：A．
B． B．
C．1
=（ ）
C．
D．
D．﹣
18．若函数f（x）=x2﹣2x+1在区间[a，a+2]上的最小值为4，则a的取值集合为（ ） A．[﹣3，3]
B．[﹣1，3]
C．{﹣3，3}
D．[﹣1，﹣3，3]
19．若不等式|ax+1|≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}，则实数a=（ ） A．1
20．如图，己知|
B．2 |=5，|
C．3
D．4
=x
+y
，
|=3，OM平分∠AOB，∠AOB为锐角，点N为线段AB的中点，
①x≥0，y≥0；②x﹣y≥0；③x﹣y≤0；若点P在阴影部分（含边界）内，则在下列给出的关于x、y的式子中，④5x﹣3y≥0；⑤3x﹣5y≥0．满足题设条件的为（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①③⑤ D．②⑤
21．设不等式4x﹣m（4x+2x+1）≥0对于任意的x∈[0，1]恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，] B．[] C．[] =|
D．[，+∞） |2，则
D．
=（ ）
22．设O为△ABC的外心（三角形外接圆的心），若A．1
23．设函数f（x）=B．
C．2
．若方程f（x）=1有3个不同的实数根，则实数a的取值范围
是（ ）
A．（1，+∞） B．{﹣1}∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）
D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 24．函数的值域为（ ）
A．[1，
]
B．[1，
]
C．[1，]
D．[1，2]
25．在△ABC中，BC=6，若G，O分别为△ABC的重心和外心，且=6，则△ABC的形状是（
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．上述三种情况都有可能
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
26．若函数f（x）=2sin（ωx）（ω＞0）的最小正周期为，则ω= ．
27．设tanx=2，则cos2x﹣2sinxcosx= ． 28．计算：log89log32﹣lg4﹣lg25= ．
29．已知A、B、C是单位圆上三个互不相同的点，若||=|
|，则
的最小值是 ．
30．若函数f（x）=﹣
﹣a存在零点，则实数a的取值范围是 ．
三、解答题（共3小题，满分30分） 31．已知向量，如图所示． （Ⅰ）作出向量2﹣
（请保留作图痕迹）；
（Ⅱ）若||=1，||=2，且与的夹角为45°，求与
的夹角的余弦值．
）
32．设α是三角形的一个内角，且sin（（Ⅰ）求tan2α的值；
）=cos（）．
（Ⅱ）求函数f（x）=4sinxcosxcos2α+cos2xsin2α﹣1的最大值． 33．设函数f（x）=（x﹣2）||x|﹣a|，a＞0． （Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调递增区间； （Ⅱ）求f（x）在[﹣3，3]上的最小值．
2014-2015学年浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共25小题，每小题2分，满分55分） 1．函数f（x）=A．[1，+∞）
的定义域是（ ） B．（1，+∞）
C．（0，1）
D．[0，1]
【考点】函数的定义域及其求法． 【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域． 【解答】解：要使函数有意义，则x﹣1≥0， 即x≥1，
故函数的定义域为[1，+∞）， 故选：A
【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．
，0）
2．函数f（x）=sin2x，x∈R的一个对称中心是（ ） A．（
，0）
B．（
，0）
C．（
，0）
D．（
【考点】正弦函数的图象． 【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】由条件利用余弦函数的图象的对称性求得函数的对称中心，从而得出结论． 【解答】解：对于函数f（x）=sin2x，x∈R，令2x=kπ，k∈z， 求得x=故选：D．
，故函数的对称中心为（
，0），k∈z，
【点评】本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题．
3．设向量=（m，2）（m≠0），=（n，﹣1），若∥，则=（ ） A．
B．﹣
C．2
D．﹣2
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示． 【专题】计算题；平面向量及应用．
【分析】根据两向量平行的坐标表示，列出方程，求出m的值． 【解答】解：∵向量=（m，2）（m≠0），=（n，﹣1）， 且∥， ∴﹣1m﹣2n=0 ∴
=﹣．
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题目．
4．函数f（x）=lnx+x﹣2的零点位于区间（ ） A．（0，1）
B．（1，2）
C．（2，3）
D．（3，4）
【考点】函数零点的判定定理． 【专题】函数的性质及应用．
【分析】求导函数，确定函数f（x）=lnx+x﹣2单调增，再利用零点存在定理，即可求得结论． 【解答】解：求导函数，可得f′（x）=+1， ∵x＞0，∴f′（x）＞0， ∴函数f（x）=lnx+x﹣2单调增
∵f（1）=ln1+1﹣2=﹣1＜0，f（2）=ln2＞0 ∴函数在（1，2）上有唯一的零点 故选：B．
【点评】本题考查函数的零点，解题的关键是确定函数的单调性，利用零点存在定理进行判断．
），则k+α=（ ）
D．2
5．已知幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点（，A．
B．1
C．
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域． 【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据幂函数f（x）的定义与性质，求出k与α的值即可． 【解答】解：∵幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点（，
），
∴k=1， =
，∴α=﹣；
∴k+α=1﹣=． 故选：A．
【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．
6．在区间（﹣1，1）上单调递增且为奇函数的是（ ） A．y=ln（x+1）
B．y=xsinx
C．y=x﹣x3
D．y=3x+sinx
【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断． 【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用奇偶函数的定义判断奇偶性，再确定函数的单调性，即可得到结论
【解答】解：对于A，函数不是奇函数，在区间（﹣1，1）上是增函数，故不正确； 对于B，函数是偶函数，故不正确；
对于C，函数是奇函数，因为y′=1﹣3x2，所以函数在区间（﹣1，1）不恒有y′＞0，函数在区间（﹣1，1）上不是单调递增，故不正确；
对于D，以y=3x+sinx是奇函数，且y′=3+cosx＞0，函数在区间（﹣1，1）上是单调递增，故D正确
故选：D．
【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，正确运用定义是关键 7．若向量A．
=﹣2，||=4，||=1，则向量，的夹角为（ ）
B．
C．
D．
【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】平面向量及应用．
【分析】根据平面向量的数量积公式求向量的夹角． 【解答】解：由已知向量
，
=﹣2，||=4，||=1，则向量，的夹角的余弦值为：
由向量的夹角范围是[0，π]， 所以向量，的夹角为故选：A．
；
【点评】本题考查了利用平面向量的数量积公式求向量的夹角；熟记公式是关键．
8．设函数f（x）=x2+ax，a∈R，则（ ） A．存在实数a，使f（x）为偶函数 B．存在实数a，使f（x）为奇函数
C．对于任意实数a，f（x）在（0，+∞）上单调递增 D．对于任意实数a，f（x）在（0，+∞）上单调递减 【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质． 【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据偶函数、奇函数的定义，二次函数的单调性即可判断每个选项的正误． 【解答】解：A．a=0时，f（x）=x2为偶函数，∴该选项正确； B．若f（x）为奇函数，f（﹣x）=x2﹣ax=﹣x2﹣ax； ∴x2=0，x≠0时显然不成立； ∴该选项错误；
；
C．f（x）的对称轴为x=
当a＜0时，f（x）在（0，+∞）没有单调性，∴该选项错误；
D．根据上面a＜0时，f（x）在（0，+∞）上没有单调性，∴该选项错误． 故选A．
【点评】考查偶函数、奇函数的定义，以及二次函数单调性的判断方法．
9．若偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，且f（7）=0，则不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集是（ ）
C．1）+∞）∪（﹣7，（7，
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
B．（﹣∞，﹣7）∪（7，+∞）
D．（﹣7，1]∪（7，+∞）
【考点】奇偶性与单调性的综合． 【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可．
【解答】解：∵偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，且f（7）=0， ∴f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，且f（﹣7）=f（7）=0， 即f（x）对应的图象如图：
则不等式（x﹣1）f（x）＞0等价为：
或
，
即或，
即x＞7或﹣7＜x＜1， 故选：C
【点评】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．
，则实数a的值为（ ）
D．
10．函数f（x）=asin2x+cos2x，x∈R的最大值为A．2
B．﹣2
C．±2
【考点】两角和与差的正弦函数． 【专题】计算题；三角函数的图像与性质．
【分析】通过辅助角公式，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过函数的最大值求出a．
sin（2x+φ），其中tanφ=，…（2分） ，
【解答】解：函数f（x）=asin2x+cos2x=因为函数f（x）=asin2x+cos2x的最大值为∴
=
，解得a=±2．
故选：C． …（4分）
【点评】本题主要考查了正弦函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．
11．函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象的交点的个数是（ ） A．1
B．3
C．5
D．7
【考点】正弦函数的图象． 【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】在同一个坐标系中分别画出函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象，数形结合可得它们的图象的交点个数．
【解答】解：在同一个坐标系中分别画出函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象， 如图所示，
结合图象可得它们的图象的交点个数为 1， 故选：A．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象特征，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．
12．设a=log2π，b=logA．a＞b＞c
π，c=π﹣2，则（ ） B．b＞a＞c
C．a＞c＞b
D．c＞b＞a
【考点】对数值大小的比较． 【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据对数函数和幂函数的性质求出，a，b，c的取值范围，即可得到结论． 【解答】解：log2π＞1，log即a＞1，b＜0，0＜c＜1， ∴a＞c＞b， 故选：C
π＜0，0＜π﹣2＜1，
【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用对数函数和幂函数的性质是解决本题的关键，比较基础．
13．函数y=cos2x﹣sin2x的图象可以由函数y=cos2x+sin2x的图象经过下列哪种变换得到（ ）
A．向右平移
B．向右平移π
C．向左平移
D．向左平移π
y=cos2x﹣sin2x=），
sin（2x+
），y=cos2x﹣sin2x=
）=﹣
sin（π+
sin（ sin（﹣2x）=
）， sin（
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【专题】三角函数的图像与性质． 【分析】根据函数y=cos2x+sin2x=的图象变化规律，可得结论． 【解答】解：∵y=cos2x+sin2x=又∵y=
sin[2（x﹣
）+
]=
sin（2x+
），利用y=Asin（ωx+φ）
sin（2x﹣），
∴函数y=cos2x+sin2x的图象向右平移故选：A．
可得函数y=cos2x﹣sin2x的图象．
【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式，y=Asin（ωx+φ）的图象变化规律，属于基础题．
14．函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【考点】函数的图象． 【专题】函数的性质及应用．
【分析】∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，
在令x取特殊值，选出答案．
【解答】解：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0， ∴函数的图象应在x轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴图象过原点， 综上只有A符合． 故选：A
【点评】对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题．
，|x﹣2|}，其中min|a，b|=
15．设函数f（x）=min{2．若函数y=f（x）﹣m有三个不同的零 ）
）
点x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是（ ） A．（2，6﹣2
）
B．（2，
+1）
C．（4，8﹣2
D．（0，4﹣2
【考点】函数零点的判定定理． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】先比较2
与|x﹣2|的大小以确定f（x）的解析式，然后结合函数的图象即可判断符合条件的m的
，
，
范围，求出x1，x2，x3，的值从而求出x1+x2+x3的取值范围． 【解答】解：令y=f（x）﹣m=0，得：f（x）=m， 由2
≥|x﹣2|可得x2﹣8x+4≤0，解可得4﹣2≤x≤4+2
时，2
≤x≤4+2
当4﹣2当x＞4+2
≥|x﹣2|，此时f（x）=|x﹣2| 时，2
＜|x﹣2|，此时f（x）=2
或0≤x＜4﹣3
其图象如图所示，
，
∵f（4﹣2）=2﹣2，
由图象可得，当直线y=m与f（x）图象有三个交点时m的范围为：0＜m＜2﹣2，
不妨设0＜x1＜x2＜2＜x3， 则由2
=m得x1=
，
由|x2﹣2|=2﹣x2=m，得x2=2﹣m， 由|x3﹣2|=x3﹣2=m，得x3=m+2， ∴x1+x2+x3=+2﹣m+m+2=+4， 当m=0时，
+4=4，m=2
﹣2时，
+4=8﹣2
，
∴4＜x1+x2+x3＜8﹣2．
故选：C．
【点评】本题以新定义为载体，主要考查了函数的交点个数的判断，解题的关键是结合函数的图象．
16．设M是△ABC边BC上任意一点，N为AM上一点且AN=2NM，若，则λ+μ=（ A．
B．
C．1 D． 【考点】平面向量的基本定理及其意义． 【专题】平面向量及应用．
【分析】利用平面向量基本定理，用、
表示出、
，从而得出结论．
【解答】解：如图所示，
∵M是△ABC边BC上任意一点， 设
=m
+n
，∴则m+n=1，
）
又∴AN=2NM， ∴∴
==
， =m
+n
=λ
+μ
，
∴λ+μ=（m+n）=． 故选：B．
【点评】本题考查了平面向量基本定理的应用问题，解题的关键是用 17．计算：A．
B．
=（ ）
C．
、表示出向量，属于基础题．
D．﹣
【考点】三角函数中的恒等变换应用． 【专题】计算题；三角函数的求值．
【分析】利用诱导公式，倍角公式，同角三角函数关系式将所求式子转化为10°角的正弦函数值，即可得解．
【解答】解：
故选：A．
=
=
=
．
【点评】本题主要考查了诱导公式，倍角公式，同角三角函数关系式的应用，属于基础题．
18．若函数f（x）=x2﹣2x+1在区间[a，a+2]上的最小值为4，则a的取值集合为（ ） A．[﹣3，3]
B．[﹣1，3]
C．{﹣3，3}
D．[﹣1，﹣3，3]
【考点】二次函数在闭区间上的最值． 【专题】函数的性质及应用．
【分析】配方法得到函数的对称轴为x=1，将对称轴移动，讨论对称轴与区间[a，a+2]的位置关系，合理地进行分类，从而求得函数的最小值
【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，对称轴x=1，
∵区间[a，a+2]上的最小值为4，
∴当1≤a时，ymin=f（a）=（a﹣1）2=4，a=﹣1（舍去）或a=3，
当a+2≤1时，即a≤﹣1，ymin=f（a+2）=（a+1）2=4，a=1（舍去）或a=﹣3， 当a＜a＜a+2时，ymin=f（1）=0≠4， 故a的取值集合为{﹣3，3}． 故选：C．
【点评】配方求得函数的对称轴是解题的关键．由于对称轴所含参数不确定，而给定的区间是确定的，这就需要分类讨论．利用函数的图象将对称轴移动，合理地进行分类，从而求得函数的最值，当然应注意若求函数的最大值，则需按中间偏左、中间偏右分类讨论
19．若不等式|ax+1|≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}，则实数a=（ ） A．1
B．2
C．3
D．4
【考点】绝对值不等式的解法． 【专题】不等式的解法及应用．
【分析】由题意可得﹣3≤ax≤2，即﹣2≤x≤1，由此可得a的值．
【解答】解：由题意可得，不等式|ax+1|≤3，即﹣3≤ax+1≤3，即﹣4≤ax≤2，即﹣2≤x≤1， ∴a=2， 故选：B．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题．
20．如图，己知|
|=5，|
|=3，OM平分∠AOB，∠AOB为锐角，点N为线段AB的中点， =x+y，
①x≥0，y≥0；②x﹣y≥0；③x﹣y≤0；若点P在阴影部分（含边界）内，则在下列给出的关于x、y的式子中，④5x﹣3y≥0；⑤3x﹣5y≥0．满足题设条件的为（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①③⑤
D．②⑤
的系数对应等于x，
【考点】向量的线性运算性质及几何意义． 【专题】平面向量及应用．
【分析】利用向量共线定理，及三角形法则，将向量y．由此即可解题
表示出来，
【解答】解：设线段OP与AB的交点为C， 则由向量共线定理知：存在实数λ，∴=
，其中λ＞0，
=∵
， 共线，
，
∴存在实数μ，使得∵N为AB的中点， ∴μ又∵|
' |=5，|
|=3，OM平分∠AOB，
∴由正弦定理知，AM=BM ∴AC≤AM=AB， 故∴==
∴x=λ（1﹣μ），y=λμ， ∴x≥0，y≥0；
，
∴x﹣y=λ（1﹣2μ）≤0； ∴5x﹣3y=λ（5﹣8μ）≥0． 故选：B．
【点评】本题主要考察了平面向量的共线定理以及向量的三角形法则，并涉及到了正弦定理，难度较大，属于难题．
21．设不等式4x﹣m（4x+2x+1）≥0对于任意的x∈[0，1]恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，]
B．[
]
C．[
]
D．[，+∞）
的范围得答
【考点】指数函数综合题．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】把已知不等式变形，分离参数m，然后结合指数式的值域，利用配方法求得案．
【解答】解：由4x﹣m（4x+2x+1）≥0，得m（4x+2x+1）≤4x， 即m≤
=
，
∵x∈[0，1]，∴则
∈[，1]，
∈[
]，
∴∈[]，
则m．
故选：A．
【点评】本题考查恒成立问题，考查了分离变量法，训练了利用配方法求函数的最值，是中档题．
=|
|2，则
D．
，
=|
|2，得到AB，AC的关系
，
，
，即2
；
，
两式平方相减化简，
=（ ）
22．设O为△ABC的外心（三角形外接圆的心），若A．1
B．
C．2
【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】平面向量及应用． 【分析】利用三角形的外心，得到得到2
，又
【解答】解：因为O是三角形的外心，所以
，
又
=|
|2，所以2
，所以，两式平方相减得2
故选：B．
【点评】本题考查了三角形外心性质以及向量数量积等运算；考查学生的运算能力；属于中档题．
23．设函数f（x）=是（ ） A．（1，+∞）
．若方程f（x）=1有3个不同的实数根，则实数a的取值范围
D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
B．{﹣1}∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用．
【分析】当x＜0时，由f（x）=x2=1得x=﹣1；从而可得，当0≤x≤π时，方程sin2x=有2个不同的解；作函数y=sin2x，（0≤x≤π）的图象，结合图象求解即可． 【解答】解：当x＜0时，f（x）=x2=1，解得，x=﹣1； ∵方程f（x）=1有3个不同的实数根，
∴当0≤x≤π时，方程f（x）=1可化为asin2x=1； 显然可知a=0时方程无解；
故方程可化为sin2x=，且有2个不同的解； 作函数y=sin2x，（0≤x≤π）的图象如下，
结合图象可得，
0＜＜1或﹣1＜＜0；
解得，a∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）； 故选D．
【点评】本题考查了分段函数的应用及方程的根与函数的图象的交点的应用，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题． 24．函数A．[1，
]
B．[1，
]
的值域为（ ）
C．[1，]
D．[1，2]
则
【考点】函数的值域．
【专题】综合题；压轴题；转化思想；综合法．
【分析】先求出函数的定义域，观察发现，根号下两个数的和为1，故可令问题可以转化为三角函数的值域问题求解，易解 【解答】解：对于f（x），有3≤x≤4，则0≤x﹣3≤1， 令
，
则 ∵∴函数故选D
，
=
．
的值域为[1，2]
【点评】本题考查求函数的值域，求解的关键是观察到问题可以转化为三角函数求解，注意本题转化的依据，两数的和为1，此是一个重要的可以转化为三角函数的标志，切记．
=6，则△ABC的形状是（ ）
25．在△ABC中，BC=6，若G，O分别为△ABC的重心和外心，且
A．锐角三角形 C．直角三角形
B．钝角三角形
D．上述三种情况都有可能
【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】平面向量及应用．
【分析】在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，运用重心和外心的性质，运用向量的三角形法则和中点的向量形式，以及向量的平方即为模的平方，可得﹣
=﹣36，又BC=6，则有|
|=|
|2+|
|2，运用勾股定理逆定理即可判断三角形的形状．
=6，
，
2
【解答】解：在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心， 取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，如图： 则OD⊥BC，GD=AD， ∵由则（即﹣（又BC=6， 则有|
|=|
|2+|=6，
）
=）（
|2，
，
=﹣（）=6，则
），
即有C为直角．
则三角形ABC为直角三角形． 故选：C．
【点评】本题考查向量的数量积的性质和运用，主要考查向量的三角形法则和向量的平方即为模的平方，运用勾股定理逆定理判断三角形的形状．
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分） 26．若函数f（x）=2sin（ωx）（ω＞0）的最小正周期为【考点】三角函数的周期性及其求法． 【专题】计算题；三角函数的图像与性质．
=
，则ω= 4 ．
【分析】由三角函数的周期性及其求法可得T=，即可解得ω的值． =
，
【解答】解：由三角函数的周期性及其求法可得：T=解得：ω=4． 故答案为：4．
【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查．
27．设tanx=2，则cos2x﹣2sinxcosx= ﹣ ． 【考点】同角三角函数基本关系的运用． 【专题】三角函数的求值．
【分析】原式分母看做“1”，利用同角三角函数间的基本关系化简，把tanx的值代入计算即可求出值．
=
=
=﹣，
【解答】解：∵tanx=2， ∴原式=故答案为：﹣
【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
．
28．计算：log89log32﹣lg4﹣lg25= 【考点】对数的运算性质． 【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据对数的运算性质计算即可．
【解答】解：log89log32﹣lg4﹣lg25=log23log32﹣lg100=﹣2=﹣， 故答案为：
|=|
|，则
【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．
29．已知A、B、C是单位圆上三个互不相同的点，若|
的最小值是 ．
【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】平面向量及应用． 【分析】如图所示，取
，可
=（1，0），不妨设B（cosθ，sinθ），（θ∈（0，π））．由于
得C（cosθ，﹣sinθ）．再利用数量积运算、二次函数的单调性、余弦函数的单调性即可得出． 【解答】解：如图所示，取∵∴
=（1，0），不妨设B（cosθ，sinθ），（θ∈（0，π））．
．
，∴C（cosθ，﹣sinθ）．
=（cosθ﹣1，sinθ）（cosθ﹣1，﹣sinθ）
， ，即
时，上式取得最小值
=（cosθ﹣1）2﹣sin2θ =当且仅当即
的最小值是﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了数量积运算、二次函数的单调性、余弦函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
30．若函数f（x）=
﹣
﹣a存在零点，则实数a的取值范围是 （﹣1，1） ．
【考点】函数零点的判定定理．
【专题】计算题；数形结合；函数的性质及应用． 【分析】化简a=的思想求解．
﹣
﹣
表示了点A（﹣，表示了点B（，
如下图，
；
，从而利用其几何意义及数形结合
【解答】解：由题意得， a==
﹣
）与点C（3x，0）的距离， ）与点C（3x，0）的距离，
结合图象可得， ﹣|AB|＜即﹣1＜
﹣﹣
＜|AB|， ＜1，
故实数a的取值范围是（﹣1，1）． 故答案为：（﹣1，1）．
【点评】本题考查了数形结合的思想应用．
与
三、解答题（共3小题，满分30分） 31．已知向量，如图所示． （Ⅰ）作出向量2﹣
（请保留作图痕迹）；
（Ⅱ）若||=1，||=2，且与的夹角为45°，求的夹角的余弦值．
【考点】向量的线性运算性质及几何意义． 【专题】平面向量及应用．
，
=
【分析】（I）运用向量的加减运算的几何性质求解绘画， （II）根据向量的运算得出
利用夹角得出cosθ=
【解答】解：（I）先做出2，再作出
=
，求解即可．
=
，如图表示红色的向量，
，最后运用向量的减法得出2
（II）设， 的夹角θ，
）
=
=
=
．
∵||=1，||=2，且与的夹角为45° ∴∴
=1×2×cos45°=
==
cosθ=
=，
=
， ，（
=1﹣4=﹣3，
【点评】本题考察了平面向量的加减运算，数量积，向量的模的计算，属于向量的典型的题目，难度不大，计算准确即可．
）=cos（
）．
32．设α是三角形的一个内角，且sin（（Ⅰ）求tan2α的值；
（Ⅱ）求函数f（x）=4sinxcosxcos2α+cos2xsin2α﹣1的最大值．
【考点】三角函数的最值；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．
【专题】三角函数的求值．
【分析】（Ⅰ）花间条件可得tanα=﹣
，
，求得α的值，可得tan2α 的值．
（Ⅱ）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的值域求得它的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）∵sin（
化简可得sinα+
cosα=0，即tanα=﹣
．
）=cos（
=tan
=
），∴2sinαcos
﹣1
+2cosαsin
=cosαcos
+sinαsin
又α是三角形的一个内角，可得α=，故tan2α=tan．
（Ⅱ）求函数f（x）=4sinxcosxcos2α+cos2xsin2α﹣1=2sin2xcos=﹣sin2x﹣
cos2x﹣1=﹣
+cos2xsin
sin（2x+θ）﹣1，故当sin（2x+θ）=﹣1时，f（x）取得最大值为
﹣1．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，根据三角函数的值求角，正弦函数的值域，属于中档题．
33．设函数f（x）=（x﹣2）||x|﹣a|，a＞0． （Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调递增区间； （Ⅱ）求f（x）在[﹣3，3]上的最小值． 【考点】分段函数的应用．
【专题】分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
【分析】（Ⅰ）当a=3时，f（x）=（x﹣2）||x|﹣3|，对x讨论，去掉绝对值，再由二次函数的对称轴和单调性，即可得到所求增区间；
（Ⅱ）对x讨论，去绝对值，再对a讨论，分0＜a≤2，2＜a＜3时，3≤a＜8，a≥8，结合对称轴和区间[﹣3，3]的关系，即可得到最小值．
【解答】解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=（x﹣2）||x|﹣3|，
当x≥3时，f（x）=（x﹣2）（x﹣3）=x2﹣5x+6在[3，+∞）递增；
当0＜x＜3时，f（x）=（x﹣2）（3﹣x）=﹣x2+5x﹣6在（0，]递增； 当﹣3＜x≤0时，f（x）=（x﹣2）（x+3）=x2+x﹣6在[﹣，0]递增；
当x≤﹣3时，f（x）=（x﹣2）（﹣x﹣3）=﹣x2﹣x﹣6在（﹣∞，﹣3]递增． 综上可得，f（x）的增区间为（﹣∞，﹣3]，[﹣，]，[3，+∞）．
（Ⅱ）f（x）=，
（1）若0＜a≤2，则f（x）min=min{f（﹣3），f（0）}=min{﹣5|3﹣a|，﹣2a}， 当﹣5|3﹣a|=﹣2a，解得a=
或a=5，
即当0＜a≤2时，f（x）min=﹣5（3﹣a）；
（2）若2＜a＜3时，f（x）min=min{f（﹣3），f（）}=min{﹣5|3﹣a|，﹣ }，
当﹣5|3﹣a|=﹣，解得a=10﹣12∈（2，3），
即f（x）min=，
（3）若﹣a≤﹣3＜（4）若
，即3≤a＜8时，f（x）min=f（﹣）=﹣
，
≤﹣3，则a≥8，f（x）min=f（﹣3）=15﹣5a．
综上可得，f（x）min=．
【点评】本题考查分段函数的单调性和最值求法，注意讨论对称轴和区间的关系，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．
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