【精品】高中数学函数知识点总结(经典收藏)

1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

如：集合Ax|ylgx，By|ylgx，C(x,y)|ylgx，A、B、C中元素各表示什么？

A表示函数y=lgx的定义域，B表示的是值域，而C表示的却是函数上的点的轨迹

2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况,注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

如：集合Ax|x22x30，Bx|ax1若BA，则实数a的值构成的集合为（答：1，0，13）

显然，这里很容易解出A={-1,3}.而B最多只有一个元素。故B只能是-1或者3。根据条件，可以得到a=-1,a=1/3. 但是， 这里千万小心，还有一个B为空集的情况，也就是a=0,不要把它忘记了。

3. 注意下列性质：

（1）集合a1，a2，……，an的所有子集的个数是2n；

要知道它的来历：若B为A的子集，则对于元素a1来说，有2种选择（在或者不在）。同样，对于元素a2, a3,……an,都有2种选择，所以，总共有2n种选择， 即集合A有2n个子集。

当然，我们也要注意到，这2n种情况之中，包含了这n个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为2n1，

非空真子集个数为2n2

（2）若ABABA，ABB；

（3）德摩根定律：

CUABCUACUB，CUABCUACUB

4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于x的不等式ax5x2a0的解集为M，若3M且5M，求实数a的取值范围。

（∵3M，∴a·3532a0

aa·551，539，25）∵5M，∴52a0注意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过； 如告诉你函数f(x)=ax2+bx+c(a>0) 在(,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，就应该马上知道函数对称轴是x=1.或者，我说在上 ，也应该马上可以想到m，n实际上就是方程 的2个根

5、熟悉命题的几种形式

可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”()，“且”()和“非”(). 1

若pq为真，当且仅当p、q均为真,若pq为真，当且仅当p、q至少有一个为真 若p为真，当且仅当p为假

命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。）

6、熟悉充要条件的性质（高考经常考）

A{x|x满足条件p}，B{x|x满足条件q}，

若 ；则p是q的充分非必要条件A_____B； 若 ；则p是q的必要非充分条件A_____B； 若 ；则p是q的充要条件A_____B；

若 ；则

p是q的既非充分又非必要条件___________；

7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？

（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）

注意映射个数的求法。如集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从A到B的映射个数有nm个。 如：若

A{1,2,3,4}，B{a,b,c}；问：A到B的映射有 个，B到A的映射有 个；A到B的

函数有 个，若A{1,2,3}，则A到B的一一映射有 个。函数y(x)的图象与直线xa交点的个

数为 个。

8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）

相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？

例：函数yx4xlgx32的定义域是

（答：0，22，33，4）

函数定义域求法：

 分式中的分母不为零；

 偶次方根下的数（或式）大于或等于零；  指数式的底数大于零且不等于一；

 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。 

正切函数

ytanx xR,且xk2,k

 余切函数

ycotx xR,且xk,k



反三角函数的定义域

函数y＝arcsinx的定义域是 [－1, 1] ，值域是，函数y＝arccosx的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] ，

2

函数y＝arctgx的定义域是 R ，值域是.，函数y＝arcctgx的定义域是 R ，值域是 (0, π) .

当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。

10. 如何求复合函数的定义域？

如：函数f(x)的定义域是a，b，ba0，则函数F(x)f(x)f(x)的定

义域是_____________。

（答：a，a）

复合函数定义域的求法：已知yf(x)的定义域为m,n，求yfg(x)的定义域，可由mg(x)n解

出x的范围，即为

yfg(x)的定义域。

例 若函数

yf(x)的定义域为12,2，则f(log2x)的定义域为 。

分析：由函数

yf(x)的定义域为1112,2可知：2x2；所以yf(log2x)中有2log2x2。解：依题意知：

12log2x2 解之，得 2x4

∴

f(log2x)的定义域为x|2x4

11、函数值域的求法

1、直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例 求函数y=1x的值域 2、配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例、求函数y=x2-2x+5，x[-1，2]的值域。 3、判别式法

对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面

下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂

3

a. ybk+x2型：直接用不等式性质b. ybxx2mxn型,先化简，再用均值不等式 例：yx111+x2

x+12xc.. yx2mxnx2mxn型 通常用判别式d. yx2mxnxn型 法一：用判别式 法二：用换元法，把分母替换掉 例：yx2x1（x+1）2（x+1）+1 x1x1（x+1）1x112114、反函数法

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例 求函数y=

3x45x6值域。

5、函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。

例 求函数y=ex12sin12sin1ex1，y1sin，y1cos的值域。

yex11yex1ex1y0y2sin11y1sin|sin||2y|1,y2sin1

1cos2sin1y(1cos)2sinycos1y4y2sin(x)1y,即sin(x)1y4y2又由sin(x)1知1y4y21解不等式，求出y，就是要求的答案6、函数单调性法

通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容,例求函数y=2x5log3x1（2≤x≤10）的值域

7、换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学

方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例 求函数y=x+x1的值域。

8 数形结合法

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 例：已知点P（x.y）在圆x2

+y2

=1上， 4

(1)yx2的取值范围 (2)y-2x的取值范围 解:(1)令yx2k,则yk(x2),是一条过(-2,0)的直线.

dR(d为圆心到直线的距离,R为半径) (2)令y-2xb,即y2xb0,也是直线d dR 例求函数y=

(x2)2+

(x8)2的值域。

解：原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8∣

上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B（-8）间的距离之和。 由上图可知：当点P在线段AB上时， y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10

当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时， y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10 故所求函数的值域为：[10，+∞） 例求函数y=

x26x13+

x24x5的值域

解：原函数可变形为：y=(x3)2(02)2+

(x2)2(01)2

上式可看成x轴上的点P（x，0）到两定点A（3，2），B（-2，-1）的距离之和， 由图可知当点P为线段与x轴的交点时，y2min=∣AB∣=(32)(21)2=

43，

故所求函数的值域为[

43，+∞）

。 注：求两距离之和时，要将函数 9 、不等式法

利用基本不等式a+b≥2

ab，a+b+c≥33abc（a，b，c∈

R），求函数的最值，其题型特征解析式是和式

时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

x2例：2 (x0) x 21x1x33x211 xx3

应用公式a+b+c33abc时，注意使3者的乘积变成常数）5

=x ( 倒数法

有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况

例 求函数y=

x2x3的值域

yx2x3x20时，

11yx21x2x2x220y12x20时，y=00y12多种方法综合运用

总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考

x2(3-2x)(012. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？

切记：做题，特别是做大题时， 一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯我当年的错

误，与到手的满分失之交臂

如：fx1exx，求f(x).

令tx1，则t0

∴xt21

∴f(t)et21t21

∴f(x)ex21x21x0

13. 反函数存在的条件是什么？ （一一对应函数）

求反函数的步骤掌握了吗？

（①反解x；②互换x、y；③注明定义域） 如：求函数f(x)

1xx02x0的反函数

x（答：f1(x)x1x1

x0）

x在更多时候，反函数的求法只是在选择题中出现，这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。请看这个例题： 6

(2004.全国理)函数

yx11(x1)的反函数是（ B ）

A．y=x2－2x+2(x<1) B．y=x2－2x+2(x≥1)

C．y=x2－2x (x<1)

D．y=x2－2x (x≥1)

当然，心情好的同学，可以自己慢慢的计算，我想， 一番心血之后，如果不出现计算问题的话，答案还是可以做出来的。可惜，这个不合我胃口，因为我一向懒散惯了，不习惯计算。下面请看一下我的思路：

原函数定义域为 x〉=1，那反函数值域也为y>=1. 排除选项C,D.现在看值域。原函数至于为y>=1,则反函数定义域为x>=1, 答案为B.

我题目已经做完了， 好像没有动笔（除非你拿来写*书）。思路能不能明白呢？ 14. 反函数的性质有哪些？ 反函数性质： 1、 反函数的定义域是原函数的值域 （可扩展为反函数中的x对应原函数中的y） 2、 反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y对应原函数中的x）

3、

反函数的图像和原函数关于直线=x对称（难怪点（x,y）和点（y，x）关于直线y=x对称

①互为反函数的图象关于直线y＝x对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

③设yf(x)的定义域为A，值域为C，aA，bC，则f(a)=bf1(b)a

f1f(a)f1(b)a，ff1(b)f(a)b

由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目，如 （04. 上海春季高考）已知函数

f(x)log13(4x2)，则方程f(x)4的解x__________.

15 . 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负） 判断函数单调性的方法有三种： (1)定义法：

根据定义，设任意得x1,x2，找出f(x1),f(x2)之间的大小关系 可以变形为求

f(x1)f(x2)f(x1)xx的正负号或者与1的关系

12f(x2)(2)参照图象：

①若函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间具有相同的单调性； （特例：奇函数）

②若函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，则函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间里具有相反的单调性。（特例：偶函数）

(3)利用单调函数的性质：

①函数f(x)与f(x)＋c(c是常数)是同向变化的

②函数f(x)与cf(x)(c是常数)，当c＞0时，它们是同向变化的；当c＜0时，它们是反向变化的。 ③如果函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)＋f2(x)和它们同向变化；（函数相加）

④如果正值函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负值函数f1(2)与f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化；（函数相乘） ⑤函数f(x)与

1f(x)在f(x)的同号区间里反向变化。 ⑥若函数u＝φ(x)，x[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]同向变化，则在[α，7

β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递增的；若函数u＝φ(x),x[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β)，φ(α)]反向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递减的。（同增异减）

⑦若函数y＝f(x)是严格单调的，则其反函数x＝f－1

(y)也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。 f(g) g(x) f[g(x)] f(x)+g(x) f(x)*g(x) 都是正数 增 增 增 增 增 增 减 减 / / 减 增 减 / / 减 减 增 减 减

如：求ylog1x22x的单调区间

2 （设ux22x，由u0则0x2

且log21u，ux11，如图：

2 u O 1 2 x

当x(0，1]时，u，又log1u，∴y

2

当x[1，2)时，u，又log1u，∴y

2 ∴……）

16. 如何利用导数判断函数的单调性？

在区间a，b内，若总有f'(x)0则f(x)为增函数。（在个别点上导数等于

零，不影响函数的单调性），反之也对，若f'(x)0呢？

如：已知a0，函数f(x)x3ax在1，上是单调增函数，则a的最大

值是__________。

（令f'(x)3x2a3aax3x30

则xaa3或x3

由已知f(x)在[1，)上为增函数，则a31，即a3 ∴a的最大值为3）

17. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ 8

（f(x)定义域关于原点对称） 若f(x)f(x)总成立f(x)为奇函数函数图象关于原点对称

若f(x)f(x)总成立f(x)为偶函数函数图象关于y轴对称

注意如下结论：

（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)0。

如：若f(x)a·2xa22x1为奇函数，则实数a

（∵f(x)为奇函数，xR，又0R，∴f(0)0

即a·20a22010，∴a1）

又如：f(x)为定义在(1，1)上的奇函数，当x(0，1)时，f(x)2x4x1，

求f(x)在1，1上的解析式。

（令x1，0，则x0，1，f(x)2x4x1

f(x)为奇函数，∴f(x)2x2x又4x114x

2xx(1，0) 又f(0)0，∴f(x)4x1x0）

2x4x1x0，1判断函数奇偶性的方法 一、

定义域法

一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数. 二、

奇偶函数定义法

在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算

f(x)，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.

9

这种方法可以做如下变形f(x)+f(-x) =0 奇函数

f(x)-f(-x)=0 偶函数f(x)f(-x)1 偶函数 f(x)f(-x)1 奇函数三、

复合函数奇偶性

f(g) g(x) f[g(x)] f(x)+g(x) f(x)*g(x) 奇 奇 奇 奇 偶 奇 偶 偶 非奇非偶 奇 偶 奇 偶 非奇非偶 奇 偶 偶 偶 偶 偶

18. 你熟悉周期函数的定义吗？

（若存在实数T（T0），在定义域内总有fxTf(x)，则f(x)为周期

函数，T是一个周期。）

如：若fxaf(x)，则

（答：f(x)是周期函数，T2a为f(x)的一个周期）

我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来，这时说这个函数周期2t. 推

f(x)f(xt)0导：f(xt)f(x2t)0f(x)f(x2t)，

同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思：函数f(x)关于直线对称，对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。

又如：若f(x)图象有两条对称轴xa，xb即f(ax)f(ax)，f(bx)f(bx)f(x)f(2ax)f(x)f(2bx)f(2ax)f(2bx)

令t2ax,则2bxt2b2a,f(t)f(t2b2a)即f(x)f(x2b2a)所以,函数f(x)以2|ba|为周期(因不知道a,b的大小关系,为保守起见,我加了一个绝对值

19. 你掌握常用的图象变换了吗？ f(x)与f(x)的图象关于y轴对称 联想点（x,y）,(-x,y) f(x)与f(x)的图象关于x轴对称 联想点（x,y）,(x,-y)

10

f(x)与f(x)的图象关于原点对称 联想点（x,y）,(-x,-y) f(x)与f1(x)的图象关于直线yx对称 联想点（x,y）,(y,x)

(k<0) y (k>0) y=b O’(a,b) O x f(x)与f(2ax)的图象关于直线xa对称 联想点

（x,y）,(2a-x,y) f(x)与f(2ax)的图象关于点(a，0)对称

联想点

（x,y）,(2a-x,0) x=a

将yf(x)图象左移a(a0)个单位yf(xa)右移a(a0)个单位yf(xa)

上移b(b0)个单位y下移f(xa)bb(b0)个单位yf(xa)b （这是书上的方法，虽然我从来不用， 但可能大家接触最多，我还是写出来吧。对于这种题目，其实根本不用这么麻烦。你要判断函数y-b=f(x+a)怎么由y=f(x)得到，可以直接令y-b=0,x+a=0,画出点的坐标。 看点和原点的关系，就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。） 注意如下“翻折”变换：

f(x)|f(x)|把x轴下方的图像翻到上面

f(x)f(|x|)把y轴右方的图像翻到上面

如：f(x)log2x1

作出ylog2x1及ylog2x1的图象

19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

（1）一次函数：ykxbk0(k为斜率，b为直线与y轴的交点)

（2）反比例函数：ykxk0推广为ybkxak0是中心O'(a，b)的双曲线。

y y=log2x O 1 x 11

b4acb22（3）二次函数yax2bxca0ax2a4a图象为抛物线

b4acb2顶点坐标为b2a，4a，对称轴x2a

开口方向：a0，向上，函数y4acb2min4a

a0，向下，ymax4acb24a

根的关系：xb2a

x1x2ba,xc1x2a,|x1x2||a|二次函数的几种表达形式：f(x)ax2bxc(一般式)f(x)a(xm)2n(顶点式，（m，n）为顶点

f(x)a(xx1)(xx2)(x1,x2是方程的2个根）f(x)a(xx1)(xx2)h(函数经过点（x1,h)(x2,h)应用：

①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程

ax2bxc0，0时，两根x1、x2为二次函数yax2bxc的图象与x轴 的两个交点，也是二次不等式ax2bxc0(0)解集的端点值。

②求闭区间［m，n］上的最值。

区间在对称轴左边（nb2a） fmaxf(m),fminf(n)区间在对称轴右边（mb2a） fmaxf(n),fminf(m)区间在对称轴2边 （nb2am） fmin4acb2 4a,fmaxmax(f(m),f(n))也可以比较m,n和对称轴的关系， 距离越远，值越大 y (只讨论a0的情况）

(a>0) ③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。 O k x1 x2 x 12

0b2如：二次方程axbxc0的两根都大于kk

2af(k)0

（4）指数函数：yaxa0，a1 （5）对数函数ylogaxa0，a1

由

）

一根大于k，一根小于kf(k)0图象记性质！ （注意底数的限定！

0bmn在区间（m，n）内有2根2af(m)0f(n)0在区间（m，n）内有1根f(m)f(n)0 y y y=ax(a>1) 利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什(01) 么？

1 （均值不等式一定要注意等号成立的条件） k

x O k x O 1 20. 你在基本运算上常出现错误吗？

(01(a0) ap对数运算：loga(MN)logaMlogaNM0，N0

mnmnaanm(a0)，a1nam(a0)loga

M1logaMlogaN，loganMlogaM Nn13

对数恒等式：alogaxx

logbn对数换底公式：logcabloglogambnlogab

camlog1

axlogxa

21. 如何解抽象函数问题？ （赋值法、结构变换法） 如：（1）xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f(x)为奇函数。 （先令xy0f(0)0再令yx，……）

（2）xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f(x)是偶函数。

（先令xytf(t)(t)f(t·t)

∴f(t)f(t)f(t)f(t)

∴f(t)f(t)……）

（3）证明单调性：f(x2)fx2x1x2……

（对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了 1、 代y=x，

2、 令x=0或1来求出f(0)或f(1)

3、 求奇偶性，令y=—x；求单调性：令x+y=x1

几类常见的抽象函数 1. 正比例函数型的抽象函数 f（x）＝kx（k≠0）---------------f（x±y）＝f（x）±f（y）

2.

幂函数型的抽象函数

f（x）＝xa----------------f（xy）＝ f（x）f（y）；f（x(x)y）＝

ff(y) 3.

指数函数型的抽象函数

f（x）＝ax------------------- f（x＋y）＝f（x）f（y）；f（x－y）＝f(x)f(y) 4.

对数函数型的抽象函数

f（x）＝logax（a>0且a≠1）-----f（x·y）＝f（x）＋f（y）；f（xy）＝ f（x）－f（y）

5. 三角函数型的抽象函数

14

f(x)f(y)f（x）＝tgx-------------------------- f（x＋y）＝

1f(x)f(y)

f（x）＝cotx------------------------ f（x＋y）＝

f(x)f(y)1f(x)f(y)

例1已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>0，f(－1)＝ －2求f(x)在区间[－2,1]上的值域.

分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（注意到f（x2）＝f[（x2－x1）＋x1]＝f（x2－x1）＋f（x1））；再根据区间求其值域.

例2已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>2，f(3)＝ 5，求不等式 f（a2－2a－2）<3的解.

分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（仿例1）；再求出f（1）＝3；最后脱去函数符号.

例3已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当0≤x＜1时，f（x）∈[0，1]. （1） 判断f（x）的奇偶性；

（2） 判断f（x）在[0，＋∞]上的单调性，并给出证明； （3）

若a≥0且f（a＋1）≤

39，求a的取值范围.

分析：（1）令y＝－1； （2）利用f（xx1）＝f（1x·x2）＝f（

x1）f（x2）；

2x2 （3）0≤a≤2.

例4设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在x1≠x2，使得f（x1）≠f（x2）；对任何x和y，

f（x＋y）＝f（x）f（y）成立.求： （1） f（0）；

（2）

对任意值x，判断f（x）值的符号.

分析：（1）令x= y＝0；（2）令y＝x≠0.

f(x)

f(y)例5是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）>0,x∈N；②f（a＋b）＝ f（a）f（b），a、b

∈N；③f（2）＝4.同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，说明理由.

分析：先猜出f（x）＝2x；再用数学归纳法证明.

例6设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足f（x·y）＝f（x）＋f（y），f（3）＝1，求： （1） f（1）；

（2）

若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围. 分析：（1）利用3＝1×3；

（2）利用函数的单调性和已知关系式.

例7设函数y＝ f（x）的反函数是y＝g（x）.如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正确，试说明理由. 15

分析：设f（a）＝m，f（b）＝n，则g（m）＝a，g（n）＝b， 进而m＋n＝f（a）＋f（b）＝ f（ab）＝f [g（m）g（n）]….

例8已知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件： ①

x(x)f(x11、x2是定义域中的数时，有f（x1－x2）＝

f12)f(x(x；

2)f1)② f（a）＝ －1（a＞0，a是定义域中的一个数）； ③ 当0＜x＜2a时，f（x）＜0.

试问： （1） f（x）的奇偶性如何？说明理由；

（2） 在（0，4a）上，f（x）的单调性如何？说明理由.

分析：（1）利用f [－（x1－x2）]＝ －f [（x1－x2）]，判定f（x）是奇函数；

（3）

先证明f（x）在（0，2a）上是增函数，再证明其在（2a，4a）上也是增函数.

对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题.

例9已知函数f（x）（x≠0）满足f（xy）＝f（x）＋f（y）， （1） 求证：f（1）＝f（－1）＝0； （2） 求证：f（x）为偶函数；

（3）

若f（x）在（0，＋∞）上是增函数，解不等式f（x）＋f（x－

12）≤0. 分析：函数模型为：f（x）＝loga|x|（a＞0） （1） 先令x＝y＝1，再令x＝y＝ －1； （2） 令y＝ －1；

（3） 由f（x）为偶函数，则f（x）＝f（|x|）.

例10已知函数f（x）对一切实数x、y满足f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）·f（y），且当x＜0时，f（x）＞1，求证： （1） 当x＞0时，0＜f（x）＜1； （2）

f（x）在x∈R上是减函数.

分析：（1）先令x＝y＝0得f（0）＝1，再令y＝－x；

（2）受指数函数单调性的启发：由f（x＋y）＝f（x）f（y）可得f（x－y）＝ 进而由xx1＜x2，有

f(1)f(x＝f（x1－x2）＞1.

2)练习题：

1.已知：f（x＋y）＝f（x）＋f（y）对任意实数x、y都成立，则（ ） （A）f（0）＝0 （B）f（0）＝1 （C）f（0）＝0或1 （D）以上都不对

2. 若对任意实数x、y总有f（xy）＝f（x）＋f（y），则下列各式中错误的是（ ） （A）f（1）＝0 （B）f（

1x）＝ f（x） （C）f（

xy）＝ f（x）－f（y） （D）f（xn）＝nf（x）（n∈N）

16

3.已知函数f（x）对一切实数x、y满足：f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）f（y），且当x＜0时，f（x）＞1，则当x＞0时，f（x）的取值范围是（ ）

（A）（1，＋∞） （B）（－∞，1） （C）（0，1） （D）（－1，＋∞） 4.函数f（x）定义域关于原点对称，且对定义域内不同的x1、x2都有 f（x1－x2）＝

f(x1)f(x2)，则f（x）为（ ）

1f(x1)f(x2)（A）奇函数非偶函数 （B）偶函数非奇函数 （C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数

5.已知不恒为零的函数f（x）对任意实数x、y满足f（x＋y）＋f（x－y）＝2[f（x）＋f（y）]，则函数f（x）是（ ） （A）奇函数非偶函数 （B）偶函数非奇函数 （C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数 参考答案：

1．A 2．B 3 ．C 4．A 5．B

22

2223. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？

（l·R，S扇11l·R·R2） 22(和三角形的面积公式很相似， 可以比较记忆.要知

道圆锥展开图面积的求法)

R 1弧度 O R 17