学版工程力学习题答案 第十章

10−1 一工字型钢梁，在跨中作用集中力F，已知l=6m，F=20kN，工字钢的型号为20a，求梁中的最大正应力。 F

A B

l/2 l/2

解：梁内的最大弯矩发生在跨中 Mmax30kN.m 查表知20a工字钢 Wz237cm3

Mmax30103126.6106Pa126.6MPa 则 max6Wz2371010−2 一矩形截面简支梁，受均布荷载作用，梁的长度为l，截面高度为h，宽度为b，

材料的弹性模量为E，试求梁下边缘的总伸长。

q

A h B

b l

解：梁的弯矩方程为 Mx则曲率方程为

11qlxqx2 221Mx1112qlxqx xEIzEIz22h2hx2EIz121qlxqx

22 梁下边缘的线应变 xlh 下边缘伸长为 lxdx002EIzl12ql31 qlxqxdx2222Ebh10−3 已知梁在外力作用下发生平面弯曲，当截面为下列形状时，试分别画出正应力

沿横截面高度的分布规律。

解：各种截面梁横截面上的正应力都是沿高度线性分布的。中性轴侧产生拉应力，另一侧产生压应力。

10−4 一对称T形截面的外伸梁，梁上作用均布荷载，梁的尺寸如图所示，已知l=1.5m,q=8KN/m，求梁中横截面上的最大拉应力和最大压应力。

10cm q 4cm C A 8cm B l l/3 4cm 解：

1、设截面的形心到下边缘距离为y1 则有 y1484104107.33cm

48104 则形心到上边缘距离 y2127.334.67cm 于是截面对中性轴的惯性距为

4831043224 Iz483.331042.671212864.0cm

2、作梁的弯矩图

0.667m 1.0kN.m

1.778kN.m 设最大正弯矩所在截面为D，最大负弯矩所在截面为E，则在D截面

MD1.7781037.331026 t,maxy115.0810Pa15.08MPa 8Iz864.010MD1.7781034.67102 c,maxy29.61106Pa9.61MPa 8Iz864.010在E截面上

ME1.01034.671026 t,maxy25.4010Pa5.40MPa 8Iz864.010ME1.01037.33102 c,maxy18.48106Pa8.48MPa 8Iz864.010 所以梁内t,max15.08MPa，c,max9.61MPa

10−5 一矩形截面简支梁，跨中作用集中力F，已知l=4m，b=120mm，h=180mm，弯曲时材料的许用应力[σ]=10Mpa，求梁能承受的最大荷载Fmax。

F

A h B

l/2 l/2 b

解：梁内的最大弯矩发生在跨中 MmaxFl 4bh2矩形截面梁 Wz

6MmaxFlbh2 得  则由 max Wz462bh220.120.182610106480N 即 F3l3410−6 由两个28a号槽钢组成的简支梁，如图所示，已知该梁材料为Q235钢，其许

用弯曲正应力[σ]=170Mpa，求梁的许可荷载[F]。

F F F

B A

2m 2m 2m 2m

解：作弯矩图

3F 3F 4F 梁内的最大弯矩发生在跨中 Mmax4F

IzIz'矩形截面梁 Wz2Wz'680.656cm3

ymaxymax 则由 maxMmax 得 4FWz WzWz 即 F4170106680.65610628927N

4

10−7 圆形截面木梁，梁上荷载如图所示，已知l=3m，F=3kN，q=3kN/m，弯曲时木材的许用应力[σ]=10MPa，试选择圆木的直径d。

F q

B C A

d l/3 l

解：作弯矩图

则由 max3kN.m 1.167m 2.042kN.m MmaxM 得 Wzmax Wz3103 即 ，得d0.145m145mm 321010610−8 起重机连同配重等重P=50kN，行走于两根工字钢所组成的简支梁上，如图所示。起重机的起重量F=10kN，梁材料的许用弯曲应力[σ]=170Mpa，试选择工字钢的型号。设全部荷载平均分配在两根梁上。

F C P D B A 1m 1m 4m

10m

解：设起重机左轮距A端为x，则有

22 MC506x，MD6x38x80

d3 从而确定出 MCmax104.2kN.m，MDmax140.2kN.m 即梁内出现的最大弯矩为140.2kN.m

Mmax140.2103Mmax438.2510m 得 Wz则由 max 617010WzIzIz' 又对于本题 Wz2Wz'

ymaxymaxWz8.251044.125104m3412.5cm3 所以W22'z 查表选 25b号工字钢。

10−9 两个矩形截面的简支木梁，其跨度、荷载及截面面积都相同，一个是整体，另一个是由两根方木叠置而成，试分别计算二梁中的最大正应力。

q

a A B 2a a l a a

解：

1、第一种情况

ql2 梁内的最大弯矩发生在跨中 Mmax

8bh22a3矩形截面梁 Wz 63Mmaxql233ql3 则 max 33Wz82a16a2、第二种情况

ql2 梁内的最大弯矩发生在跨中 Mmax

16bh2a3 矩形截面梁 Wz66Mmaxql263ql3 则 max Wz16a38a310−10 直径d=0.6mm的钢丝绕在直径D=600mm的圆筒上，已知钢丝的弹性模量

E=2×105MPa，试求钢丝中的最大正应力。

解： 由

1M 得 EIzMEIz210110.6410124.24115103N.m

640.30.3103MM4.24115103200106Pa200MPa max3390.610Wzd3232或

maxEymax210110.3103200106Pa200MPa 30.30.31010−11 一矩形截面简支梁由圆柱形木料锯成。已知F=5kN，a=1.5m，[σ]=10Mpa。试确定弯曲截面系数最大时矩形截面的高宽比h:b，以及梁所需木料的最小直径d。

F F B A h d D C

a a

3a b 解：

bh2bd2b2 Wz 66dWzd23b2d2Wz33d，又bd时 0 得 bb0 由 所以 233db6dbWz取极大值，所以弯曲截面系数最大时，b36d，hd，即 h:b2:1 33梁内的最大弯矩 MmaxFa7.5kN.m

bh233d 矩形截面梁 Wz627 则由 maxMmaxM 得 Wzmax Wz 即

33Mmax d2793Mmax d3937.51030.227m227mm

10106310−12 一铸铁梁如图所示。已知材料的拉伸强度极限σb=150Mpa，压缩强度极限σbc=630Mpa，试求梁的安全因数。

10 10 32kN 16kN

200

B A D C 40

160 0.5m 1m 1m

解：

1、设截面形心距离下边缘为y1

则有 y1160402010160120253.33mm

16040101602 则形心到上边缘距离 y220053.33146.67mm 于是截面对中性轴的惯性距为

160403101603224Iz1604033.331016066.67229013333.4mm12128kN.m 2、作梁的弯矩图

C截面

MC1210353.33103 t,maxy122.057106Pa22.057MPa 12Iz29013333.410MC12103146.671036 c,maxy260.66310Pa60.663MPa 12Iz29013333.410B截面上

MB8103146.671036 t,maxy240.44210Pa40.442MPa 12Iz29013333.410MB810353.33103 c,maxy114.705106Pa14.705MPa 12Iz29013333.410150630 所以有 nt nc取安全系数为3.709。 3.709，10.385nt ，

40.44260.66310−13 一简支工字型钢梁，工字钢的型号为28a，梁上荷载如图所示，已知l=6m，

F1=60kN，F2=40kN，q=8kN/m，钢材的许用应力[σ]=170Mpa，[τ]=100Mpa，试校核梁的强度。

F2 F1 q A B

l/6 l/6 2l/3

解：作内力图

72.7kN 80.7kN

12.7kN

19.3kN 59.3kN 2.588m 67.3kN

76.7kN.m 86.8kN.m 63.3kN.m Mmax86.8103170.8106Pa170.8MPa 则有 max6Wz508.1510 而

max170.81700.47%5% 170FS,maxSz,maxIzb80.710338.56106Pa38.56MPa[] 224.62100.0085 max10−14 一简支工字型钢梁，梁上荷载如图所示，已知l=6m，q=6kN/m，F=20kN，钢材的许用应力[σ]=170Mpa，[τ]=100Mpa，试选择工字钢的型号。

F q

A B

l/2 l/2

解：作内力图 28kN

10kN 10kN

28kN

MmaxMmax57103由 max3.353104m3335.3cm3  得 Wz617010Wz57kN.m

查表选25a（考虑5%误差可以选则22b） 。

对于所选型号，梁内出现的最大切应力为 maxFS,maxSz,maxIzb2810316.21106Pa16.21MPa[] 221.58100.008（如为22b，max15.8MPa）

所以工字钢型号为25a（或22b）。

10−15 由工字钢制成的简支梁受力如图所示。已知材料的许用弯曲应力[σ]=170Mpa，许用切应力[τ]=100Mpa。试选择工字钢型号。

80kN 60kN 20kN/m B A C D

2.5m 1m 0.5m

解：作内力图

113.125kN 33.125kN 16.875kN 76.875kN

1.85m 56.5625kN.m 76.875kN.m 83.05625kN.m MmaxMmax83.05625103由 max4.886104m3488.6cm3  得 Wz6Wz17010查表选28a 。

对于所选型号，梁内出现的最大切应力为 maxFS,maxSz,maxIzb113.12510354.06106Pa54.06MPa[] 224.62100.0085所以工字钢型号为28a。

10−16 外伸梁AC承受荷载如图所示，Me=40KN.m，q=20KN/m。材料的许用应力[σ]=170Mpa，[τ]=100Mpa。试选择工字钢的型号。

q Me

B A C 2m 1m 1m 解：作内力图

40kN

40kN.m

3MM40102.353104m3235.3cm3 由 maxmax 得 Wzmax617010Wz查表选20a 。

对于所选型号，梁内出现的最大切应力为 maxFS,maxSz,maxIzb40103633.2210Pa33.22MPa[] 17.21020.007所以工字钢型号为20a。

10−17 图示简支梁是由三块截面为40mm×90mm的木板胶合而成，已知l=3m，胶缝的许用切应力[τ]=0.5Mpa，试按胶缝的切应力强度确定梁所能承受的最大荷载F。

F

40mm

40mm A B

40mm

90mm 0.5l 0.5l 解： 梁内的最大剪力值为0.5F 则胶缝处的最大切应力为

max*FS,maxSzIzb0.5F90404010961.73F 90120310129010312 由max[] 得 F ≤8100N。

10−18 图示结构中，AB梁与CD梁所用材料相同，二梁的高度与宽度分别为h、b和h1和b，已知l=3.6m，a=1.3m，h=150mm，h1=100mm，b=100mm，材料的许用应力[σ]=10Mpa，[τ]=2.2Mpa，试求该结构所能承受的最大荷载Fmax。

b F

h1 C D

A B h b a a 0.5l 0.5l 解：

1、对于上梁 作内力图

由 max1F 21F 21Fl 4FlMmaxWz  得 MmaxWz，即 4Wz0.10.12410104Wz61.852103N1.852kN 所以有 Fl3.63FF2A2A 又由 τmaxS,max 得 FS,max，即 

2332A4A42.21060.10.1 所以有 F29.33103N29.33kN

336 2、对于下梁

作内力图

由 max1F 21F 2FaMmaxWz1  得 MmaxWz1，即 2Wz161Fa 20.10.152210102Wz165.77103N5.77kN 所以有 Fa1.33F2A1F2A1 又由 τmaxS,max 得 FS,max，即 

3232A14A142.21060.10.15 所以有 F44.0103N44.0kN

33 综上，取 F1.852kN

10−19 图示木梁受一可移动的荷载F=40KN作用。已知[σ]=10Mpa，[τ]=3Mpa。木梁的横截面为矩形，其高宽比

解：

h3，试选择梁的截面尺寸。 b2F A 1m B b h

Fl401031 当F位于跨中时，梁内出现最大弯矩 Mmax10103N10kN

44MM 由 maxmax 得 Wzmax 即

Wzbh29b3Mmax101031.0103m3 从而有 b0.1387m138.7mm 61010624 又当F位于靠近左右支座时，梁内出现最大剪力 FS,max由 τmax3FS,max2A 得 A3FS,max2F20kN 2，即

323FS,max320103 bhb10103m2 从而有 b0.0816m81.6mm 6222310 综上取b138.7mm，h208.0mm

10−20 图示起重吊车AB行走于CD梁之间，CD梁是由两个同型号的工字钢组成，已知吊车的自重为5KN，最大起重量为10KN，钢材的许用应力 [σ]=170Mpa，[τ]=100Mpa。CD梁长l=12m，试选择工字钢的型号。

1m 1m B C A D

l

解：

1、设吊车A点距C端为x，则有

MA13.75x1.25x2，MB1.25x211.25x12.5

从而确定出 MAmax37.8125kN.mx5.5m， MBmax37.8125kN.mx4.5m 即梁内出现的最大弯矩为37.8125kN.m

MmaxMmax37.8125103 得 Wz则由 max2.224104m3 617010WzIzIz' 又对于本题 Wz2Wz'

ymaxymaxWz2.2241041.112104m3111.2cm3 22 查表选 16号工字钢。

2、设吊A点距C端为x，则支反力

FC13.751.25x ，FD1.25x1.25

所以Wz' 从而确定出 FCmax13.75kN.mx0m， FDmax13.75kN.mx10m 即梁内出现的最大剪力为 13.75kN 则对于16号工字钢，有 maxFS,maxSz,maxIzb13.7510316.61106Pa16.61MPa[] 213.8100.006所以选16号工字钢。