数学建模2016A题

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题目 系泊系统的设计问题分析

摘 要

本文主要研究在风力和海水的作用下，钢管与浮标的受力平衡问题。根据钢桶和钢管分段受力分析，对于锚链结合悬链线法进行求解，进一步可推知其他解。

对于问题一： 该题通过对整个系统的各部分进行受力分析并结合悬链线模型来进行解答，首先是假设锚链没有被拉起甚至当风速较小的时候有部分拖地，然后求解锚链与海床的夹角刚好开始从零增大的情况得到临界值为26.47m/s，证明假设成立即可建立悬链线锚角为零的特殊模型求解。

对于问题二：在第一问的基础上使用模型列出方程组进行求解得到第一小问结果，再通过改变重球的重量比较各倾角的变化来得到一个重球重量的范围。

对于问题三：由于从静态的海水转化为有水流速度的动态海水系统，所以在问题1和问题2所建立的模型中要附加一个近海水流力。通过对浮标、钢管、钢桶的受力分析及递推原理和锚链的悬链式方程，得到锚链型号Ⅰ-Ⅴ在临界条件为1.5928下重物球2887.107、2794.959、2661.586、2491.84、2282.809及形状。

关键词 受力分析、悬链线、线性规划、非线性方程组、近海水流力

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系泊系统的设计问题分析

一．问题重述

近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成。某型传输节点的浮标系统可简化为底面直径2m、高2m的圆柱体，浮标的质量为1000kg。系泊系统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚组成。锚的质量为600kg，锚链选用无档普通链环，钢管共4节，每节长度1m，直径为50mm，每节钢管的质量为10kg。要求锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超过16度，否则锚会被拖行，致使节点移位丢失。水声通讯系统安装在一个长1m、外径30cm的密封圆柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为100kg。钢桶上接第4节钢管，下接电焊锚链。钢桶竖直时，水声通讯设备的工作效果最佳。若钢桶倾斜，则影响设备的工作效果。钢桶的倾斜角度超过5度时，设备的工作效果较差。为了控制钢桶的倾斜角度，钢桶与电焊锚链链接处可悬挂重物球。

综上所述，我们需要解决以下问题：

1.某型传输节点选用II型电焊锚链22.05m，选用的重物球的质量为1200kg。现将该型传输节点布放在水深18m、海床平坦、海水密度为1.025×103kg/m3的海域。若海水静止，分别计算海面风速为12m/s和24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。

2.在问题1的假设下，计算海面风速为36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。请调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16度。

3.由于潮汐等因素的影响，布放海域的实测水深介于16m~20m之间。布放点的海水速度最大可达到1.5m/s、风速最大可达到36m/s。请给出考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。

二．问题背景与分析

2.1背景分析

系泊系统由浮标、钢管、钢桶、重物球、锚链、以及特制抗拖移的锚组成，其测量系统安放在钢桶里面。测量设备需要正常工作，钢桶的倾斜角度这一个条件首先要满足，然后要确保吃水深度和浮标的游动区域要尽可能的小。浮标的吃水深度与潜在海水中的重物球、钢管、钢桶、锚链、以及特制的锚对锚链向下的拉力直接相关。

1

图一

2.2问题一的分析

由题设可知，对浮标的作用力最终会使浮标到达稳态（静止状态），钢桶、钢管的倾斜角度与各个部分的相互作用力有关，因此，本问只研究二维平面上（水平、竖直）的受力。本问要求风速为12m/s和24m/s时整个系泊系统各参数的情况，这里对整个系统的各部分进行受力分析并结合悬链线模型[1]进行解答。首先假设锚链没有被拉起甚至当风速较小的时候有部分拖地，求解得到结果后进行验证，这里的验证方法可以通过求拖地锚链的长度来判断锚链是否全部被拉起，或者通过锚链全部被拉起时风速的大小来计算这个临界值从而证明假设成立。 2.3问题二的分析

本问在问题一的假设下，增大风速为36m/s求各倾斜角的的变化情况，由第一题求出锚角0的临界风速为27m/s，而36>27，因此悬链线方程必须选定为一般形式[2]，可列方程组来进行问题的求解；通过改变重球的重量来改变钢桶倾角和锚链与海床的夹角使其减小，可以在前面基础上改变重球的重量使其从1200kg以1为步长增加到5700kg，观察各倾斜角的变化，同时注意他们的限制，得到一个重球的重量范围。 2.4问题三的分析

由于从静态的海水转化为有水流速度的动态海水系统，因此在问题1和问题2所建立的模型中要附加一个近海水流力，通过物理平衡法则递推。在水流与风速取极限的情况下，和h=1.5928的临界条件下，求不同型号的锚链锚角临界点所需对应的重物球的重量和锚链的形状。

三． 模型假设

1、假设组成钢管的物质均匀分布；

2、假设在固体内任何部分力学性能完全一样； 3、假设材料沿各个不同方向力学性能均相同； 4、假设海水密度均匀分布；

2

5、假设游标不会发生倾斜； 6、假设不考虑锚链的浮力影响； 7、假设重力加速度为9.8N/kg； 8、假设重球的密度为11.3103kg/m3；

9、假设锚链各部分材料质量一致，可以忽略其内力，将其看成一个整体； 10、风的方向与水流的方向一致，且风速恒定、风向水平； 11、不考虑对重物球和锚链的水流力；

12、在计算钢管、钢桶在水流方向的平面投影面积时，由于它们的倾斜角度较小，因此可以认为其投影高度不变；

四．符号说明

M1 M2

浮标质量 钢桶和设备的质量 锚链的质量 钢管质量 各钢管或钢桶的倾角 各钢管或钢桶的倾角

锚链的长度 钢桶与垂直方向夹角

锚链的锚角

M3 m

ai



L β θ

五． 模型的建立与求解

5.1模型一的建立与求解

在整个系泊系统中都处于平衡状态，且不考虑近海水流的影响，对浮标进行受力分析，如图二所示：

3

FF T

a1 M1g

图二

图中T 指浮标链接的第一节钢管对其的拉力，由此可得：

F浮M1gT1cos(a1) F风T1*sin(a1) 对各节钢管进行受力分析，如图三所示：

F(i)浮 a(i) T(i) T(i+1)

a(i+1m图三

mgTi*cos(ai1)Fi浮Ti*cos(ai) Ti1sin(ai1)Ti*sin(ai) 对钢桶和重球这个整体的受力分析，如图四所示：

4

1）

2）

（3）（4）（（

F(5)a(5) T(5) 浮 T(6) a(6) M2g+mg

图四

M2gmgT6*cos(a6)F5浮T5*cos(a5) T6*sin(a6)T5*sin(a5) 对锚链受力分析，如图五所示：

T(6) a(6) F M3g

图五

M3gT5*cos(a6)

F锚T6*sin(a6)

5

5）6）7）8） （

（

（

（

综合以上等式（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）进行求解： F锚Ti*sin(ai)Ti1*sin(ai1)F风 （9）

T1sin(a1)tan(a(1))T1cos(a1)T1*cos(a1)M2g4*mgM3g-Fi浮总 （10）

（11）

2F*g*r*hM1gT1cos(a1) 浮浮标（12）

求得浮标的吃水深度h和各钢管和钢桶的倾斜角度，再通过这些角度求其竖直方向的高度，从而得到钢桶与锚链相接处到海床的高度y，再通过悬链线方程[1]求得游动区域和锚链的形状。

y的求解过程(l为钢管和钢桶的长度)：

y18hl*(cos(a1)cos(a2)cos(a3)cos(a4)cos(a5))（13）

悬链线方程[2]：

Fb(F为锚对链的拉力水平的分力，q为锚链单位长度的重量)q

（14）yb*cosh(x/bIn(tan()sec()))b*sec() （15）

当0时：

yb*cosh(x/b)b （16）

求悬链线长度方程，化简之后如下：

Lb*sinh(x/bIn(tan()sec()))b*tan() （17）

当0时：

Lb*sinh(x/b) （18）

因为风速相对较小，所以这里的锚角可能为0，甚至会出现锚链拖地的情况，所

以不妨设锚链拖地长度为l，观察求出来的l是否大于零即可证明是否有出现锚链拖地的情况。

即：

Ll

22.05 （19）

6

这里假设=0：

F风 b （20）

q根据式子(20)求得b，得到锚链形状的表达式。

根据式子(16)求得x，得到游动半径即可求出游动区域。

得到x即可求得锚链除拖地部分的长度L,进而判断22.05-L是否大于零即可证明假设是否正确。

当风速为12m/s时：

根据式子(12)求得浮标的吃水深度h=0.7496m；

根据式子 (20)、(16)求得悬链系数b=3.2809，得到锚链部分不拖地的形状的表达式为：

y3.2809*cosh(0.3048*x)3.2809 （21）

根据式子(18)、(19)改锚链的拖地长度为6.87m：

游动半径为：

R总xl*(sin(a1)sin(a2)sin(a3)sin(a4)sin(a5))1L （22）

游动区域为：

S*R2 （23）

得到游动半径为15.288m，游动区域面积为733.90m2

综合上述式子 ,求得各钢管和钢桶的倾斜角度如表一所示： 表一：各钢管和钢桶的倾斜角度 风速 钢管1倾角 钢管2倾角 钢管3倾角 钢管4倾角 钢桶倾角 12m/s 0.9306 0.9359 0.9413 0.9467 0.9521 同理可以求得当风速为24m/s时的结果如表二所示： 表二：计算结果 游动浮标游动锚链钢管1钢管2钢管3钢管4钢桶区域吃水区域拖地风速 倾角倾角倾角倾角倾角面积深度半径长度(°) (°) (°) (°) (°) (m) (m) (m2) (m) 0.9300.9350.9410.9460.9526 9 3 7 1 3.7173.7383.7603.7813.80324m/s 6 7 0 5 3 各风速时的锚链形状图及两者对比图如下： 12m/s 0.7496 0.7496 15.288 18.422 733.96.87 0 1065.0.320 7

7

图六

图七

8

图八

随着风速的增大，锚链对锚的拉力也会增大，锚链会从全部拉起到锚角从零开始增大，可以求出求解锚角开始从零增大风速的临界值，通过锚链长度为L=22.05，对整个系泊系统列出方程组进行求解即可，这里使用lingo求的临界风速为26.47m/s。

图九

综上所述，两种情况下拖地长度l>0，根据临界风速为26.47m/s且在第二题中假设锚角0的情况下，利用悬链线方程的一般情况计算得到当风速为24m/s时，其角度为-0.3799，则证明风速24m/s时其锚角仍为0，所以假设成立，当风速为12m/s和24m/s时锚角为0°且锚链有部分拖地。

5.2模型二的建立与求解

（1）在第一题的假设下，风速变为36m/s时，可以列出四条方程组进行求解：

9

F风tan()G总F浮总bF风qx)))b*sec()18h吃水深度-h1（24） b*cosh(In(tan()sec(bxb*sinh(In(tan()sec()))b*tan()22.05b

根据该方程组求解得到结果如表三所示： 表三：方程组求解结果 钢管1风速 倾角(°) 钢管2倾角(°) 钢管3倾角(°) 钢管4倾角(°) 浮标吃水深度(m) 游动区域半径(m) 19.800 游动区域面积(m) 1231.1 2锚链与海床的夹角（°） 18.288 钢桶倾角(°) 36m/s 8.6500 8.6999 8.7503 8.8013 8.8529 0.7368 得到的锚链方程为： y29.83*cosh(0.0335*xIn(tan(18.28)sec(18.28)))29.83*sec(18.28)（25）

锚链形状如图：

图十

（2）对于第二小题，根据式子(24)，对M2进行步长为1的逐渐增大的改变，进而观察钢桶的倾角、吃水深度和锚链和海床的夹角的变化，由他们的限制范围进而得到一个重

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球重量的范围：

下图分别为钢桶倾角、锚链与海床的夹角和吃水深度随重球重量的增加的变化图：

图十一

图十二

11

图十三

可以观察到钢管的倾角和锚链与海床的夹角都是与重球的重量成反比，并且都是到达一个值后角度变为0，因此存在一个重球重量的最大值，又因为其有一个对两个角度范围的限制，那么则有一个重球重量的最小值，则可以得到一个重球重量的范围。 由图像数据得到：

当h=2时，重球质量为5335kg

当锚链与海床夹角为0°时，重球质量为3281kg 当锚链与海床夹角为16°时，重球质量为1619kg 当钢桶的倾角为0°时，重球质量为kg 当钢桶的倾角为5°时，重球质量为2956kg 当浮标的吃水深度为2时，重球质量为5366kg 综上所述，重球质量的范围为2956kg--3281kg为宜。

5.3模型三的建立与求解

由于从静态的海水转化为有水流速度的动态海水系统，所以在问题1和问题2所建立的模型中要附加一个近海水流力。因此下面在此基础上对模型1和模型2进行修正 设：v1为此时的风速，v2为此时的水流速，h为浮标的吃水深度。T1为第一节钢管对浮标的拉力，1为第一节钢管与垂直方向的夹角。 一、对浮标进行受力分析可得：

F风0.625Sv12=1.25(2h)v12 （26） F水374Sv2=748hv22 （27）

12

F标浮水ghs=31541.3h （28） 在浮标受力平衡状态下有：

F风F水T1sin1 (29)

F标浮-G标T1cos1 (30) 因此联合（1）、（2）式整理可得：

1.25(2h)v12748hv22 1arctan （31）

31541.3h9800二、对钢管的受力分析，设Ti表示第i节钢管向上的拉力，则Ti1表示第i节钢管向下

i表示第i节钢管与垂直方向的夹角。F管水表的拉力，也即第i+1节钢管向上的拉力。示管受到的水流力。

F管浮水gv管=19.7133(N) （32） F管水18.7v22 （33）

则对第i节钢管的受力平衡状态有：

F管浮Ticosi-G管Ti1cosi1 （34） TisiniF管水Ti1sini1 （35）于是将（32）、（33）、（34）、（35）联合，并结合递推原理可得： iarctanF风F水(i1)F管水F标浮-G标(i1)(F管浮-G管) , i=(1,2,3,4) （36）

代入数据可得各节钢管与垂直方向的夹角：

1.25(2h)v12[748h18.7(i1)]v22 iarctan i=(1,2,3,4) （37）

31541.3h980078.2867i 所以（37）式就是问题三加入水流力后的修正的各节钢管与垂直方向的夹角模型。 三、对钢桶的受力分析，设钢桶与垂直方向的夹角为β，T5表示第四节钢管对钢桶向上的拉力，5表示第四节钢管对钢桶的拉力的夹角；T6表示锚链对钢桶向下的拉力，

F桶水表示钢桶受到的水流力。

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F桶浮水gv桶=709.67925(N) （38） F桶水374S桶v2112.2v22 （39） 则钢桶的受力平衡状态有：

T6sinT5sin5F桶水 （40） T6cosT5cos5F桶浮-G桶-G球 （41） 将（7）式结合前面（1）（4）式进行迭代可得：

T6sinF风F水4F管水F桶水 （42） 将（8）式结合前面的（2）（3）式进行迭代可得：

4F管浮-G管）F桶浮-G桶-G球 T6cosF标浮-G标（（43）

由（9）、（10）式联解可得： arctanF风F水4F管水F桶水F标浮-G标（4F管浮-G管）F桶浮-G桶-G球 （44）

代入数据于（11）式中可得：

1.25(2h)v12(748h187)v22 arctan （45）

31541.3h10383.467559.8M球所以（45）式为附加水流力后的钢桶与垂直方向的夹角的数学模型。

由于钢桶的倾斜角度不能超过5度，所以对吃水深度h的边界值，由6）式中的各个钢管的

切斜角度模型中可以求得在水流力和风力都取极限状态下时5为钢桶的倾斜角，所以

1.25(2h)*362[748h18.7*4]*1.52由5arctan=5 计算可得吃水深度的临界值为

31541.3h980078.2867*4h=1.5928;因此将此值作为h的边界条件。

四、对锚链的受力分析，由于对整个系泊系统，除了锚以外进行受力平衡分析可知，锚对锚链的拉力的水平分力就是浮标受到的风力，和整个系统受到的水流力。锚对锚链的拉力的竖直上的分力就是整个系统受到的浮力减去其整个系统除锚以外受到的重力，设

M锚链的锚角为θ，锚对其拉力为T,F球浮水g球0.8889M球

球G链链Lg216.09链

于是锚链平衡状态有:

TsinF风F水4F管水F桶水 （46）

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TcosF标浮4F管浮F桶浮F球浮-G标-4G管-G桶-G球-G链 （47）

由（46）、（47）代入已知数据整理可得：

1.25(2h)v12(748h187)v22 arctan （48）

31541.3h-8.9111M球10383.46755-216.09链所以式（48） 为锚链的锚角此时的数学模型。 五、由锚链的悬链式方程可得：

x))]atan() （49） Lash[In(tan()sec(

ax)]asec() yach[ln(tan()sec(（50）

a 其中aF风F标水4F桶水F管水链g，θ为锚角。

六、模型求解： 选取一种情况：

在水流与风速取极限的情况下，和h=1.5928的临界条件下，求不同型号的锚链使得钢桶的与垂直方向夹角β为5度，锚链的锚角θ为16度的临界点所需对应的重物球的重量和锚链的形状、游动区域x.(这里游动区域只用锚链的x表示）、水深H。 （各个钢管的倾斜角度用模型（37）式可以算出，下表就不一一列出） 由模型（46）式代入不同型号的锚链得： 锚链型h的临界锚链形状 重物球M（kg） 游动区域x 水深H 号 条件 Ⅰ 1.5928 图1 2887.107 20.61 14.3789 Ⅱ 1.5828 图2 2794.959 19.77 16.1345 Ⅲ 1.5828 图3 2661.586 18.46 18.1612 Ⅳ 1.5828 图4 2491.84 16.91 20.0961 Ⅴ 1.5828 图5 2282.809 15.23 21.7231 结论：不同的锚链要对应不同的重物，且要在水深符合的状态下才能满足本系泊系统的而要求，从上表可得只有锚链型号为Ⅱ、Ⅲ的才符合。

15

201816141210864200510152025303540

图十四

3025201510500510152025303540

图十五

504540353025201510500510152025303540

图十六

16

90807060504030201000510152025303540

图十七

1601401201008060402000510152025303540

图十八

六．模型分析：

6.1模型的优点

该题主要是运用了物理上的整体法与隔离法对物体进行受力分析，其中采用悬链线方程对锚链的形状进行求解，该模型从客观上满足了题目的需要，可以解决问题。 6.2模型的缺点

模型从理论上可以解出准确答案，但是计算量较大，计算结果只能是一个大概值，所以该模型在计算方面产生的误差较大。 6.3模型的改进

该模型的计算可以采用遗传算法来提高计算结果的精准度。

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七．参考文献

[1] 悬链线方程，百度百科

[2] 王丹, 刘家新. 一般状态下悬链线方程的应用[J]. 船海工程, 2007, 36(3):26-28.

1.1（计算12m/s的情况） g=9.8; v1=12; M1=1000; M2=1300; M3=7*22.05; m=10; p=1025;

l1=1;%钢管和钢桶的长度

八．附录

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f=p*g*(4*0.025^2+0.15^2)*pi; f1=p*g*0.025^2*pi*l1;%钢管的浮力 f2=p*g*0.15^2*pi;%钢桶的浮力

h=(M1*g+4*m*g+M2*g+M3*g-f)/(p*g*pi);%计算出吃水深度h %注释中的*表示1-6的数字

T12=4*m*g+M2*g+M3*g-f1*4-f2;%T*2为t*.cos（a*） T11=0.625*2*(2-h)*v1^2;%T*1为t*.sin（a*） a13=T11/T12;%a*3为tan（a*）的意思

a1=atand(a13);%a*表示第*个管的竖直方向的角度 t1=T11/sind(a1);%t*表示第几个力 T22=T12+f1-m*g; T21=T11; a23=T21/T22; a2=atand(a23); t2=T21/sind(a2); T32=T22+f1-m*g; T31=T21; a33=T31/T32; a3=atand(a33); t3=T31/sind(a3); T42=T32+f1-m*g; T41=T31; a43=T41/T42; a4=atand(a43); t4=T41/sind(a4); T52=T42+f1-m*g; T51=T41; a53=T51/T52; a5=atand(a53); t5=T51/sind(a5); T61=T51; T62=M3*g; a63=T61/T62; a6=atand(a63);

h1=l1*(cosd(a1)+cosd(a2)+cosd(a3)+cosd(a4)+cosd(a5)); y1=18-h1-h;

a=T11/(7*g);%求悬链系数

x=solve('3.28*cosh(x/3.28)-3.28-12.2511'); L=22.05-3.28*sinh(x(2)/3.28)%锚链拖地长度 X1=L:1/100:x(2)+L; if X119

Y1=a*cosh((X1-L)/a)-a; end

R=x(2)+l1*(sind(a1)+sind(a2)+sind(a3)+sind(a4)+sind(a5))+1+L S=3.14*R^2 plot(X1,Y1,'b');

title('风速为12m/s的锚链形状图');

1.2（计算24m/s的情况） g=9.8; v2=24; M1=1000; M2=1300; M3=7*22.05; m=10; p=1025;

l1=1;%钢管和钢桶的长度

f=p*g*(4*0.025^2+0.15^2)*pi;

f1=p*g*0.025^2*pi*l1;%钢管的浮力 f2=p*g*0.15^2*pi;%钢桶的浮力

h=(M1*g+4*m*g+M2*g+M3*g-f)/(p*g*pi);%计算出吃水深度h %注释中的*表示1-6的数字

T12=4*m*g+M2*g+M3*g-f1*4-f2;%T*2为t*.cos（a*） T11=0.625*2*(2-h)*v2^2;%T*1为t*.sin（a*） a13=T11/T12;%a*3为tan（a*）的意思

a1=atand(a13);%a*表示第*个管的竖直方向的角度 t1=T11/sind(a1);%t*表示第几个力 T22=T12+f1-m*g; T21=T11; a23=T21/T22; a2=atand(a23); t2=T21/sind(a2); T32=T22+f1-m*g; T31=T21; a33=T31/T32; a3=atand(a33); t3=T31/sind(a3); T42=T32+f1-m*g; T41=T31; a43=T41/T42; a4=atand(a43); t4=T41/sind(a4); T52=T42+f1-m*g; T51=T41;

20

a53=T51/T52; a5=atand(a53); t5=T51/sind(a5); T61=T51; T62=M3*g; a63=T61/T62; a6=atand(a63);

h1=l1*(cosd(a1)+cosd(a2)+cosd(a3)+cosd(a4)+cosd(a5)); y2=18-h1-h;

a=T11/(7*g);%求悬链系数

x=solve('13.1236*cosh(x/13.1236)-13.1236-12.2612');

%A=solve('13.1236*cosh(x/13.1236+log(tand(A)+secd(A)))-13.1236*secd(A)-12.2612','900.2801*tand(A)=')

L=22.05-13.1236*sinh(x(2)/13.1236)%锚链拖地长度 X2=0:1/100:x(2)+L; if X2Y2=a*cosh((X2-L)/a)-a; end

R=x(2)+l1*(sind(a1)+sind(a2)+sind(a3)+sind(a4)+sind(a5))+1+L S=3.14*R^2 plot(X2,Y2,'b');

title('风速为24m/s的锚链形状图');

1.3（lingo计算临界值） g=9.8; v1=12; M1=1000; M2=1300; M3=7*22.05; m=10; l=1; p=1025; f=788.9; f1=19.7; f2=710.0; h=0.7496;

1.56*v^2/(4*m*g+M2*g+M3*g-f2-4*f1)-@tan(a1)=0; 1.56*v^2/(3*m*g+M2*g+M3*g-f2-3*f1)-@tan(a2)=0; 1.56*v^2/(2*m*g+M2*g+M3*g-f2-2*f1)-@tan(a3)=0; 1.56*v^2/(m*g+M2*g+M3*g-f2-f1)-@tan(a4)=0; 1.56*v^2/(M2*g+M3*g-f2)-@tan(a5)=0;

21

l*(@cos(a1)+@cos(a2)+@cos(a3)+@cos(a3)+@cos(a4)+@cos(a5))-h1=0; 18-h1-h-y=0;

1.56*v^2/68.6-a=0; a*@sinh(x/a)-22.05=0; a*@cosh(x/a)-a-y=0; @free(v); @free(a1); @free(a2); @free(a3); @free(a4); @free(a5); @free(h1); @free(y); @free(x); @free(a);

2.1（计算36m/s的情况） function F=fun11(x) p=1025; M1=1140; m=7*22.05; g=9.8; v=36; M2=1200;

f1=p*25/4*10^(-4)*pi*4*g+p*0.09*0.25*pi*g+p*g*0.1077;

F=[0.625*2*(2-x(4))*v^2*tan(x(2)*pi/180)+(M1+M2+m)*g-f1-p*pi*x(4)*g

x(1)*cosh(x(3)/x(1)+log(tan(x(2)*pi/180)+sec(x(2)*pi/180)))-x(1)*sec(x(2)*pi/180)+x(4)+5-18

0.625*2*(2-x(4))*v^2/(7*g)-x(1)

x(1)*sinh(x(3)/x(1)+log(tan(x(2)*pi/180)+sec(x(2)*pi/180)))-x(1)*tan(x(2)*pi/180)-22.05;] end

保存好上面函数文件，再运行下列代码即可 clear

x0=[0.1;0.1;0.1;0.1];

options=optimset('Display','iter'); [x,fval] = fsolve(@fun11,x0,options)

2.2（改变重球质量得到结果） function F=fun11(x) p=1025; M1=1140;

22

m=7*22.05; g=9.8; v=36;

i=evalin('base','i'); M2=1200+i;

f1=p*25/4*10^(-4)*pi*4*g+p*0.09*0.25*pi*g+p*g*0.1077;

F=[0.625*2*(2-x(4))*v^2*tan(x(2)*pi/180)+(M1+M2+m)*g-f1-p*pi*x(4)*g

x(1)*cosh(x(3)/x(1)+log(tan(x(2)*pi/180)+sec(x(2)*pi/180)))-x(1)*sec(x(2)*pi/180)+x(4)+5-18

0.625*2*(2-x(4))*v^2/(7*g)-x(1)

x(1)*sinh(x(3)/x(1)+log(tan(x(2)*pi/180)+sec(x(2)*pi/180)))-x(1)*tan(x(2)*pi/180)-22.05;] end

保存好上面函数文件，再运行下列代码即可 for i=1:4500

x0=[0.1;0.1;0.1;0.1];

options=optimset('Display','iter'); [x,fval] = fsolve(@fun11,x0,options) a(i)=x(1); A(i)=x(2); X(i)=x(3); h(i)=x(4);

F=a(i)*7*9.8/cosd(A(i));

T52=1300*9.8+7*22.05*9.8+F*sind(A(i))-1025*9.8*0.15^2*3.14; T51=F*cosd(A(i)); a53=T51/T52; A53(i)=atand(a53); end

2.3（在上述运行结果的基础上计算倾角） g=9.8; v=36; M1=1000; M2=1300; M3=7*22.05; m=10; p=1025; F=2155.1; A=18.28; a=29.83; x=18.04;

l1=1;%钢管和钢桶的长度

23

f=p*g*(4*0.025^2+0.15^2)*pi+p*g*0.1077;%除浮标外的总浮力 f1=p*g*0.025^2*pi*l1;%钢管的浮力 f2=p*g*0.15^2*pi;%钢桶的浮力 f3=p*g*0.1077;%重球的浮力 h=0.7368; T12=p*g*pi*h-M1*g; T11=F*cosd(A); a13=T11/T12; a1=atand(a13); t1=T11/sind(a1); T22=T12+f1-m*g; T21=T11; a23=T21/T22; a2=atand(a23); t2=T21/sind(a2); T32=T22+f1-m*g; T31=T21; a33=T31/T32; a3=atand(a33); t3=T31/sind(a3); T42=T32+f1-m*g; T41=T31; a43=T41/T42; a4=atand(a43); t4=T41/sind(a4); T52=T42+f1-m*g; T51=T41; a53=T51/T52; a5=atand(a53); t5=T51/sind(a5); T61=T51;

T62=M3*g+F*sind(A); a63=T61/T62; a6=atand(a63);

R=x+l1*(sind(a1)+sind(a2)+sind(a3)+sind(a4)+sind(a5))+1; S=3.14*R^2; X=0:1/100:x;

Y=a*cosh(X/a+log(tand(A)+secd(A)))-a*secd(A); plot(X,Y,'b');

title('风速为36m/s的锚链形状图');

3

求吃水深度的临界值

24

h=solve('(1.25*(2-h)*36^2+(748*h+18.7*4)*1.5^2)/(31541.3*h-9800-78.2867*4)-tan(5*3.14/180)'); vpa(h,4)

求各个类型的锚链所需的重物质量

M1=solve('((1.25*(2-1.5828)*36^2+(748*1.5828+187)*1.5^2)/(31541.3*1.5828-10383.46755-216.09*3.2-8.9111*m))-tan(16*3.14/180)')； vpa(M1,7);

M2=solve('((1.25*(2-1.5828)*36^2+(748*1.5828+187)*1.5^2)/(31541.3*1.5828-10383.46755-216.09*7-8.9111*m))-tan(16*3.14/180)'); vpa(M2,7);

M3=solve('((1.25*(2-1.5828)*36^2+(748*1.5828+187)*1.5^2)/(31541.3*1.5828-10383.46755-216.09*12.5-8.9111*m))-tan(16*3.14/180)'); vpa(M3,7)

M4=solve('((1.25*(2-1.5828)*36^2+(748*1.5828+187)*1.5^2)/(31541.3*1.5828-10383.46755-216.09*19.5-8.9111*m))-tan(16*3.14/180)'); vpa(M4,7)

锚链不同型号对应的锚链的形状：

a1=(1.25*(2-1.5828)*36^2+(748*1.5828+187)*1.5^2)/(3.2*9.8); x1=1:0.1:40;

y1=a1*cosh(x1/a1+log(tan(16*pi/180)+sec(16*pi/180)))-a1*sec(16*pi/180); plot(x1,y1);

a2=(1.25*(2-1.5828)*36^2+(748*1.5828+187)*1.5^2)/(7*9.8); x2=1:0.1:40;

y2=a2*cosh(x2/a2+log(tan(16*pi/180)+sec(16*pi/180)))-a2*sec(16*pi/180); plot(x2,y2)

a3=(1.25*(2-1.5828)*36^2+(748*1.5828+187)*1.5^2)/(12.5*9.8); x3=1:0.1:40;

y3=a3*cosh(x3/a3+log(tan(16*pi/180)+sec(16*pi/180)))-a3*sec(16*pi/180); plot(x3,y3)

a4=(1.25*(2-1.5828)*36^2+(748*1.5828+187)*1.5^2)/(19.5*9.8); x4=1:0.1:40;

y4=a4*cosh(x4/a4+log(tan(16*pi/180)+sec(16*pi/180)))-a4*sec(16*pi/180); plot(x4,y4)

a5=(1.25*(2-1.5828)*36^2+(748*1.5828+187)*1.5^2)/(28.12*9.8); x5=1:0.1:40;

y5=a5*cosh(x5/a5+log(tan(16*pi/180)+sec(16*pi/180)))-a5*sec(16*pi/180); plot(x5,y5)

求游动区域x；

X1=solve('119.9128*sinh(x/119.9128+log(tan(16*3.14/180)+sec(16*3.14/180)))-119.9128*tan(16*3.14/180)-22.05')； vpa(X,4)

X2=solve('54.8173*sinh(x/54.8173+log(tan(16*3.14/180)+sec(16*3.14/180)))-54

25

.8173*tan(16*3.14/180)-22.05'); vpa(X1,4)

X3=solve('30.6977*sinh(x/30.6977+log(tan(16*3.14/180)+sec(16*3.14/180)))-30.6077*tan(16*3.14/180)-22.05'); vpa(X3,4)

X4=solve('19.6780*sinh(x/19.6780+log(tan(16*3.14/180)+sec(16*3.14/180)))-19.6780*tan(16*3.14/180)-22.05'); vpa(X4,4)

X5=solve('13.6458*sinh(x/13.6458+log(tan(16*3.14/180)+sec(16*3.14/180)))-13.6458*tan(16*3.14/180)-22.05'); vpa(X5,4)

求不同型号的锚链对应的水深H：

y=a1*cosh(20.61/a1+log(tan(16*pi/180)+sec(16*pi/180)))-a1*sec(16*pi/180) y1=y+1.5928+5

y=a2*cosh(19.77/a2+log(tan(16*pi/180)+sec(16*pi/180)))-a2*sec(16*pi/180); y2=y+5+1.5928

y=a3*cosh(18.46/a3+log(tan(16*pi/180)+sec(16*pi/180)))-a3*sec(16*pi/180); y3=y+5+1.5928

y=a4*cosh(16.91/a4+log(tan(16*pi/180)+sec(16*pi/180)))-a4*sec(16*pi/180); y4=y+5+1.5928

y=a5*cosh(15.23/a5+log(tan(16*pi/180)+sec(16*pi/180)))-a5*sec(16*pi/180); y5=y+5+1.5928

26