翻折图形题四
一．解答题（共13小题）
1．如图，已知四边形纸片ABCD中，AD∥BC，将∠ABC、∠DAB分别对折，如果两条折痕恰好相交于DC上一点E，你能获得哪些结论？
2．如图，在直角梯形纸片ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，将纸片沿过点A的直线折叠，使点B与点D重合，折痕为AG．连接DG并展开纸片．
（1）判断四边形ABGD的形状并说明你的理由；
（2）连接BD，交AG于点E，作∠BAG的平分线，交BD于点F，求证：EF+AG=AB．
3．（2008•兰州）如图1，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=4．
（1）在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标；
（2）如图2，若AE上有一动点P（不与A，E重合）自A点沿AE方向E点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t秒（0＜t＜5），过P点作ED的平行线交AD于点M，过点M作AE平行线交DE于点N．求四边形PMNE的面积S与时间t之间的函数关系式；当t取何值时，s有最大值，最大值是多少？
（3）在（2）的条件下，当t为何值时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M的坐标？
4．如图，△ABC是一锐角三角形余料，边BC=16cm，高AD=24cm，要加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC上． 求：（1）AK为何值时，矩形EFGH是正方形？
（2）若设AK=x，SEFGH=y，试写出y与x的函数解析式． （3）x为何值时，SEFGH达到最大值．
5．在一张长方形ABCD纸片中，AD=25cm，AB=20cm，现将这张纸片按下列图示方法折叠，请分别求折痕的长． （1）如图1，折痕为AE，点B的对应点F在AD上；
（2）如图2，P，Q分别为AB，CD的中点，B的对应点G在PQ上，折痕为AE；
（3）如图3，在图2中，把长方形ABCD沿着PQ对开，变成两张长方形纸片，将两张纸片任意叠合后，发现重叠部分是一个菱形，显然，这个菱形的周长最短是40cm，求叠合后周长最大的菱形的周长和面积．
6．操作1：如图1，一三角形纸片ABC，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，沿DE将纸片剪开，并将其中的△ADE纸片绕点E旋转180°后可拼合（无重叠无缝隙）成平行四边形纸片BCFD．
操作2：如图2，一平行四边形纸片ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD边的中点，沿EF剪开并将其中的△BFE纸片绕点E旋转180°到△AF1E位置；沿HG剪开并将其中的△DGH纸片绕点H旋转180°到△AG1H位置；沿FG剪开并将△CFG纸片放置于△AF1G1的位置，此时四张纸片恰好拼合（无重叠无缝隙）成四边形FF1G1G．则四边形FF1G1G的形状是 _________ ．
操作、思考并探究：
（1）如图3，如果四边形ABCD是任意四边形（不是梯形或平行四边形）的纸片，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点．依次沿EF、FG、GH、HE剪开得到四边形纸片EFGH．请判断四边形纸片EFGH的形状，并说明理由．
（2）你能将上述四边形纸片ABCD经过恰当地剪切后拼合（无重叠无缝隙）成一个平行四边形纸片？请在图4上画出对应的示意图．
（3）如图5，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，若△AEH、△BEF、△CFG、△DGH的面积分别为S1、S2、S3、S4，且S1=2，S3=5，则四边形ABCD是面积是 _________ ．（不要求说明理由） 7．（2006•南京）已知矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合． （1）如果折痕FG分别与AD、AB交于点F、G（如图1），AF=，求DE的长；
（2）如果折痕FG分别与CD、AB交于点F、G（如图2），△AED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG的长．
8．有一张长方形纸片ABCD，其中AB=3，BC=4，将它折叠后，可使点C与点A重合（图1），也可使点C与AB上的点E重合（图2），也可使点C与AD上的点E重合（图3），折痕为线段FG． （1）如图1，当点C与点A重合时，则折痕FG的长为 _________ ．
（2）如图2，点E在AB上，且AE=1，当点C与点E重合时，则折痕FG的长为 _________ ．
（3）如图3，当C与AD上的点E重合，折痕FG与边BC、CD分别相交于点F、G，AE=x，BF=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域．
（4）如果折叠后，使点C与这张纸的边上点E重合，且DG=1，那么点E可以在边 _________ 上（写出所有可能的情况）．
9．（2010•密云县）（1）观察与发现：
小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；在第一次的折叠基础上第二次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由． （2）实践与运用：
将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D′处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中∠α的大小．
10．图①是一张长与宽不相等的矩形纸片，同学们都知道按图②所示的折叠方法可以裁剪出一个正方形纸片和一个矩形纸片（如图③），
（1）实验：
将这两张纸片分别按图④、⑤所示的折叠方法进行：
请你分别在图④、⑤的最右边的图形中用虚线画出折痕，并顺次连接每条折痕的端点，所围成的四边形分别是什么四边形？
（2）当原矩形纸片的AB=4，BC=6时，分别求出（1）中连接折痕各端点所得四边形的面积，并求出它们的面积比；
（3）当纸片ABCD的长和宽满足怎样的数量关系时先后得到的两个四边形的面积比等于（2）所得到的两个四边形的面积比？
（4）用（2）中所得到的两张纸片，分别裁剪出那两个四边形，用剩下的8张纸片拼出两个周长不相等的等腰梯形，用图表示并标明主要数据，分别求出两梯形的面积．
11．阅读下面的材料，并回答所提出的问题：如图所示，在锐角三角形ABC中，求证：
这个三角形不是一个直角三角形，不能直接使用锐角三角函数的知识去处理，所以必须构造直角三角形，过点A作AD⊥BC，垂足为D，则在Rt△ABD和Rt△ACD中由正弦定义可完成证明． 解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D， 在Rt△ABD中，sinB=Rt△ACD中，sinC=
，则AD=csinB ，则AD=bsinC
所以c sinB=b sinC，即
（1）在上述分析证明过程中，主要用到了下列三种数学思想方法的哪一种（ ） A、数形结合的思想；B、转化的思想；C、分类的思想 （2）用上述思想方法解答下面问题．
在△ABC中，∠C=60°，AC=6，BC=8，求AB和△ABC的面积． （3）用上述结论解答下面的问题（不必添加辅助线） 在锐角三角形ABC中，AC=10，AB=，∠C=60°，求∠B的度数．
12．如图（1），小强将一张直角三角形纸片ABC沿斜边上的中线CD剪开成△AC1D1和△BC2D2．
（1）将图（1）中的△AC1D1（△ACD）纸片沿CD翻折，点A落在点A1处，CA1恰好与AB垂直（如图（2）），求tanA的值；
（2）将图（1）中的△AC1D1纸片沿直线D2B（AB）方向平移（点A、D2、D1、B在同一直线上），C1D1与BC2交于点E，AC1与C2D2交于点F（如图（3）），求证：D1E=D2F．
13．（1）动手操作：
如图①，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点c'处，折痕为EF，若∠ABE=20°，那么∠EFC'的度数为 _________ ． （2）观察发现：
小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图②）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图③）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．
（3）实践与运用：
将矩形纸片ABCD 按如下步骤操作：将纸片对折得折痕EF，折痕与AD边交于点E，与BC边交于点F；将矩形ABFE与矩形EFCD分别沿折痕MN和PQ折叠，使点A、点D都与点F重合，展开纸片，此时恰好有MP=MN=PQ（如图④），求∠MNF的大小．
二．填空题（共7小题）
14．如图，Rt△ABC纸片中，∠C=90°，BC=1，AB=2，沿AD对折，使点C落在AB边上，则tanα= _________ ．
15．如图，把一个矩形纸片ABCD沿AD和BC的中点连线EF对折，要使矩形AEFB与原矩形相似，则原矩形长与宽的比为 _________ ．
16．用剪刀将形状如图①所示的矩形纸片ABCD沿着直线CM剪成两部分，其中M为AD的中点．用这两部分纸片可以拼成一些新图形，例如图②中的Rt△BCE就是拼成的一个图形．若利用这两部分纸片拼成的Rt△BCE是等腰直角三角形，设原矩形纸片中的边AB和BC的长分别为a厘米、b厘米，且a、b满足关系式a+b=m﹣1，ab=m+1，
2
则原矩形纸片的面积是 _________ cm．
17．如图，将一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为C′，再将所折得的图形沿EF折叠，使得点D和点A重合．若AB=3，BC=4，则折痕EF的长为 _________ ．
18．（2010•随州）如图矩形纸片ABCD，AB=5cm，BC=10cm，CD上有一点E，ED=2cm，AD上有一点P，PD=3cm，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是 _________ cm．
19．一张矩形纸片经过折叠得到一个三角形（如图），则矩形的长与宽的比为 _________ ．
20．将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一边上，已知∠1=60°，则∠2= _________ 度．
三．选择题（共7小题） 21．（2005•锦州）一张正方形纸片经过两次对折，并在如图位置上剪去一个小正方形，打开后是（ ）
A． B． C． D．
22．将一张四边形纸片沿两组对边的中点连线剪开，得到四张小纸片，如图所示．用这四张小纸片一定可以拼成（ ）
A．梯形 C．菱形 D．平行四边形
23．图案（1）是一张等腰直角三角形纸片，在纸片的三个角上分别画出“●”，“▲”，“■”，将纸片绕斜边中点旋转180°所得的图形和原图形拼成的图案是（ ）
B．矩形
A． B． C． D．
24．如图，AD、BE是锐角三角形的两条高，S△ABC=18，S△DEC=2，则cosC等于（ ）
A．3
B．
C．
D．
25．（2010•内江）跟我学剪五角星：如图，先将一张长方形纸片按图①的虚线对折，得到图②，然后将图②沿虚线折叠得到图③，再将图③沿虚线BC剪下△ABC，展开即可得到一个五角星．若想得到一个正五角星（如图④，正五角星的5个角都是36°），则在图③中应沿什么角度剪即∠ABC的度数为（ ）
A．126°
B．108°
C．90°
D．72°
26．如图，矩形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，若要在该纸片中剪下两个外切的圆⊙O1和⊙O2，要求⊙O1和⊙O2的圆心均在对角线BD上，且⊙O1和⊙O2分别与BC、AD相切，则O1O2的长为（ ）
A．cm
B．cm
C．
cm
D．2cm
27．将一张长为70 cm的长方形纸片ABCD，沿对称轴EF折叠成如图的形状，若折叠后，AB与CD间的距离为60cm，则原纸片的宽AB是（ ）
A．5cm B．10cm
C．15cm
D．20cm
答案与评分标准
一．解答题（共13小题）
1．如图，已知四边形纸片ABCD中，AD∥BC，将∠ABC、∠DAB分别对折，如果两条折痕恰好相交于DC上一点E，你能获得哪些结论？
考点：梯形；翻折变换（折叠问题）。 专题：开放型。 分析：折痕前后重合的部分是全等的，从线段关系、角的关系、面积关系等不同方面进行探索，以获得更多的结论．需要注意的是，通常面临以下情况时，我们才考虑构造全等三角形：（1）给出的图形中没有全等三角形，而证明结论需要全等三角形；（2）从题设条件无法证明图形中的三角形全等，证明需要另行构造全等三角形． 解答：解：可以得到下列结论：
（1）△DAE≌△FAE，△CBE≌△FBE，AD=AF，BC=BF，AD+BC=AB， ∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠CBA=180°，
∵将∠ABC、∠DAB分别对折，
易证△ADE≌△FAE，△BCE≌△BFE， ∴∠AEB=90°，AF=AD，BC=BF， ∴AB=BC+AD； （2）∠AEB=90°；
（3）梯形ABCD的面积=2S△AED=AE•EB．
点评：本题融操作、观察、猜想、推理于一体，需要一定的综合能力．推理论证既是说明道理，也是探索、发现的逄径．善于在复杂的图形中发现、分解、构造基本的全等三角形是解题的关键．
2．如图，在直角梯形纸片ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，将纸片沿过点A的直线折叠，使点B与点D重合，折痕为AG．连接DG并展开纸片．
（1）判断四边形ABGD的形状并说明你的理由；
（2）连接BD，交AG于点E，作∠BAG的平分线，交BD于点F，求证：EF+AG=AB．
考点：直角梯形；全等三角形的判定与性质；正方形的判定。 专题：证明题；探究型。
分析：由已知可得四边形ABGD是矩形，又因为AB=AD，所以四边形ABGD是正方形；过点F作FM⊥AB于点M，在正方形ABGD中，AG⊥BD于点E，则AE=AG，利用HL判定Rt△AMF≌Rt△AEF从而得到AM=AE，又知∠MFB=∠ABF=45°．所以MF=MB=EF，所以EF+AG=MB+AE=MB+AM=AB． 解答：解：（1）四边形ABGD是正方形．
∵∠ABC=90°，AD∥BC，∴∠BAD=90°．
由沿AG折叠后△ABG与△ADG重合，知AB=AD，∠ADG=90°． ∴四边形ABGD是矩形，且邻边AB，AD相等． ∴四边形ABGD是正方形；（4分）
（2）证明：过点F作FM⊥AB于点M，在正方形ABGD中，AG⊥BD于点E， ∴AE=AG，∠ABD=∠GBD=45°．（6分）
∵AF平分∠BAG，∴EF=MF．（1分）
又∵AF=AF，∴Rt△AMF≌Rt△AEF，∴AE=AM（8分）（1分） ∠MFB=∠ABF=45°．∴MF=MB，∴MB=EF． ∴EF+AG=MB+AE=MB+AM=AB．（10分）
点评：此题主要考查学生对全等三角形的判定及正方形的判定的理解及运用． 3．（2008•兰州）如图1，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=4．
（1）在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标；
（2）如图2，若AE上有一动点P（不与A，E重合）自A点沿AE方向E点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t秒（0＜t＜5），过P点作ED的平行线交AD于点M，过点M作AE平行线交DE于点N．求四边形PMNE的面积S与时间t之间的函数关系式；当t取何值时，s有最大值，最大值是多少？
（3）在（2）的条件下，当t为何值时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M的坐标？
考点：二次函数综合题。 专题：压轴题；动点型。 分析：（1）根据折叠的性质可知：AE=OA，OD=DE，那么可在直角三角形ABE中，用勾股定理求出BE的长，进而可求出CE的长，也就得出了E点的坐标．
在直角三角形CDE中，CE长已经求出，CD=OC﹣OD=4﹣OD，DE=OD，用勾股定理即可求出OD的长，也就求出了D点的坐标．
（2）很显然四边形PMNE是个矩形，可用时间t表示出AP，PE的长，然后根据相似三角形APM和AED求出PM的长，进而可根据矩形的面积公式得出S，t的函数关系式，根据函数的性质即可得出S的最大值及对应的t的值． （3）本题要分两种情况进行讨论：
①ME=MA时，此时MP为三角形ADE的中位线，那么AP=，据此可求出t的值，过M作MF⊥OA于F，那么
MF也是三角形AOD的中位线，M点的横坐标为A点横坐标的一半，纵坐标为D点纵坐标的一半．由此可求出M的坐标．
②当MA=AE时，先在直角三角形OAD中求出斜边AD的长，然后根据相似三角形AMP和ADE来求出AP，MP的长，也就能求出t的值．根据折叠的性质，此时AF=AP，MF=MP，也就求出了M的坐标． 解答：解：（1）依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴， ∴在Rt△ABE中，AE=AO=5，AB=4． BE=
∴CE=2．
∴E点坐标为（2，4）．
在Rt△DCE中，DC+CE=DE， 又∵DE=OD．
222
∴（4﹣OD）+2=OD． 解得：OD=． ∴D点坐标为（0，）．
（2）如图①∵PM∥ED， ∴△APM∽△AED． ∴
，
2
2
2
=3．
又知AP=t，ED=，AE=5， PM=×=，
又∵PE=5﹣t．
而显然四边形PMNE为矩形．
S矩形PMNE=PM•PE=×（5﹣t）=﹣t+t； ∴S四边形PMNE=﹣（t﹣）+又∵0＜＜5．
∴当t=时，S矩形PMNE有最大值
．
2
2
，
（3）（i）若以AE为等腰三角形的底，则ME=MA（如图①） 在Rt△AED中，ME=MA， ∵PM⊥AE，
∴P为AE的中点， ∴t=AP=AE=．
又∵PM∥ED，
∴M为AD的中点．
过点M作MF⊥OA，垂足为F，则MF是△OAD的中位线，
∴MF=OD=，OF=OA=，
∴当t=时，（0＜＜5），△AME为等腰三角形． 此时M点坐标为（，）．
（ii）若以AE为等腰三角形的腰，则AM=AE=5（如图②） 在Rt△AOD中，AD=
过点M作MF⊥OA，垂足为F． ∵PM∥ED，
∴△APM∽△AED． ∴∴t=AP=
．
=
=2
，
=
=
．
∴PM=t=．
∴MF=MP=，OF=OA﹣AF=OA﹣AP=5﹣2， ∴当t=2时，（0＜2＜5），此时M点坐标为（5﹣2综合（i）（ii）可知，t=或t=2
，）．
时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，
，
）．
相应M点的坐标为（，）或（5﹣2
点评：本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、图形的翻折变换、相似三角形的判定和性质以及二次函数的综合应用等知识点，综合性较强．
4．如图，△ABC是一锐角三角形余料，边BC=16cm，高AD=24cm，要加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC上． 求：（1）AK为何值时，矩形EFGH是正方形？
（2）若设AK=x，SEFGH=y，试写出y与x的函数解析式． （3）x为何值时，SEFGH达到最大值．
考点：相似三角形的应用；二次函数的最值。 专题：综合题。 分析：（1）设出边长为xcm，由正方形的性质得出，EH∥AD，EF∥BC，根据平行线的性质，可以得出比例关系式，=
、
=
，代入数据求解即可，
=
得出EF的表达式，根据矩形面积公式即可得出y与x的函数解析式，
（2）设AK=x，则EH=16﹣x，再根据
（3）对二次函数表达式进行配方即可求最值． 解答：解：（1）设边长为xcm， ∵矩形为正方形，
∴EH∥AD，EF∥BC， 根据平行线的性质可以得出：
=
、
=
， =
，
=
，
由题意知EH=x，AD=24，BC=16，EF=x，即 ∵BE+AE=AB， ∴
+
=， ，
时，矩形EFGH为正方形； +
=1，
解得x=∴AK=∴当
（2）设AK=x，EH=24﹣x， ∵EHGF为矩形， ∴
=
，即EF=x，
2
∴SEFGH=y=x•（24﹣x）=﹣x+16x（0＜x＜24）；
（3）y=﹣x+16x 配方得：y=
（x﹣12）+96，
2
2
∴当x=12时，SEFGH有最大值96．
点评：本题主要考查了平行的性质、矩形的性质、二次函数的最值，综合性强，难度较大．
5．在一张长方形ABCD纸片中，AD=25cm，AB=20cm，现将这张纸片按下列图示方法折叠，请分别求折痕的长． （1）如图1，折痕为AE，点B的对应点F在AD上；
（2）如图2，P，Q分别为AB，CD的中点，B的对应点G在PQ上，折痕为AE；
（3）如图3，在图2中，把长方形ABCD沿着PQ对开，变成两张长方形纸片，将两张纸片任意叠合后，发现重叠部分是一个菱形，显然，这个菱形的周长最短是40cm，求叠合后周长最大的菱形的周长和面积．
考点：翻折变换（折叠问题）；一元二次方程的应用；菱形的性质；正方形的性质。 分析：（1）根据有一组邻边相等的矩形，得四边形ABEF是正方形，根据勾股定理求得AE的长； （2）根据折叠的性质，得AP=
，则∠GAP=60°，根据折叠的性质，则∠EAB=30°，从而根据解直角三角
形的知识求得AE的长；
（3）最大的菱形显然是菱形的较长对角线和矩形的对角线重合的情况．根据勾股定理求得菱形的边长，进而求得菱形的周长和面积． 解答：解：（1）∵四边形ABEF是正方形， ∴AE=；
（2）∵AP=∴∠GAP=60°． ∵∠GAE=∠BAE， ∴∠EAB=30°． ∴AE=
； ，
（3）最大的菱形如图所示：
设QE=x，则PE=25﹣x． x=（25﹣x）+10， 解得
．
2
2
2
则菱形的周长为58cm． 此时菱形的面积S=
．
点评：此题综合运用了正方形的判定和性质、勾股定理、折叠的性质．
6．操作1：如图1，一三角形纸片ABC，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，沿DE将纸片剪开，并将其中的△ADE纸片绕点E旋转180°后可拼合（无重叠无缝隙）成平行四边形纸片BCFD．
操作2：如图2，一平行四边形纸片ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD边的中点，沿EF剪开并将其中的△BFE纸片绕点E旋转180°到△AF1E位置；沿HG剪开并将其中的△DGH纸片绕点H旋转180°到△AG1H位置；沿FG剪开并将△CFG纸片放置于△AF1G1的位置，此时四张纸片恰好拼合（无重叠无缝隙）成四边形FF1G1G．则四边形FF1G1G的形状是 平行四边形 ．
操作、思考并探究：
（1）如图3，如果四边形ABCD是任意四边形（不是梯形或平行四边形）的纸片，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点．依次沿EF、FG、GH、HE剪开得到四边形纸片EFGH．请判断四边形纸片EFGH的形状，并说明理由．
（2）你能将上述四边形纸片ABCD经过恰当地剪切后拼合（无重叠无缝隙）成一个平行四边形纸片？请在图4上画出对应的示意图．
（3）如图5，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，若△AEH、△BEF、△CFG、△DGH的面积分别为S1、S2、S3、S4，且S1=2，S3=5，则四边形ABCD是面积是 28 ．（不要求说明理由） 考点：三角形中位线定理；旋转的性质。
分析：操作2：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行分析判断； （1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行分析判断； （2）依照操作2进行画图；
（3）根据三角形的中位线定理和相似三角形的性质求解．
解答：
解：操作2：连接BD．
根据三角形的中位线定理，得
EH∥BD，EH=BD，FG∥BD，FG=BD， 根据旋转的性质，得F1G1∥EH，F1G1=EH． 所以F1G1∥FG，F1G1=FG，
所以四边形FF1G1G的形状是平行四边形．
（1）连接BD．
根据三角形的中位线定理，得
EH∥BD，EH=BD，FG∥BD，FG=BD，
则EH∥FG，EH=FG，
则四边形纸片EFGH的形状是平行四边形． （2）见上述操作2； （3）28．
点评：此题综合考查了三角形的中位线定理、旋转的性质以及相似三角形的性质． 7．（2006•南京）已知矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合． （1）如果折痕FG分别与AD、AB交于点F、G（如图1），AF=，求DE的长；
（2）如果折痕FG分别与CD、AB交于点F、G（如图2），△AED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG的长．
考点：翻折变换（折叠问题）；矩形的性质；直线与圆的位置关系。 专题：压轴题；分类讨论。 分析：（1）根据AF，AD的长可以求得DF的长，根据折叠知EF=AF，再根据勾股定理即可计算得到DE的长； （2）根据直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点，则折痕与AE的交点O即是其外接圆的圆心．设DE=x，根据三角形ADE的中位线定理求得OM=x，进一步表示出ON的长．根据直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径得到AE=2ON，在直角三角形ADE中，根据勾股定理列方程求解．再根据直角三角形FOE相似于直角三角形ADE，求得OF的长，从而根据轴对称的性质得到FG=2OF． 解答：解：（1）在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，AF=，∠D=90°． 根据轴对称的性质，得EF=AF=． ∴DF=AD﹣AF=．
在Rt△DEF中，DE=
（2）设AE与FG的交点为O． 根据轴对称的性质，得AO=EO． 取AD的中点M，连接MO．
．（3分）
则MO=DE，MO∥DC． 设DE=x，则MO=x，
在矩形ABCD中，∠C=∠D=90°，
∴AE为△AED的外接圆的直径，O为圆心． 延长MO交BC于点N，则ON∥CD． ∴∠CNM=180°﹣∠C=90°．
∴ON⊥BC，四边形MNCD是矩形． ∴MN=CD=AB=2．∴ON=MN﹣MO=2﹣x． ∵△AED的外接圆与BC相切， ∴ON是△AED的外接圆的半径． ∴OE=ON=2﹣x，AE=2ON=4﹣x． 在Rt△AED中，AD+DE=AE， 222∴1+x=（4﹣x）． 解这个方程，得x=∴DE=
．（6分）
．
2
2
2
，OE=2﹣x=
根据轴对称的性质，得AE⊥FG． ∴∠FOE=∠D=90°．可得FO=
．
又AB∥CD，∴∠EFO=∠AGO，∠FEO=∠GAO．
∴△FEO≌△GAO．∴FO=GO． ∴FG=2FO=
．
．（9分）
∴折痕FG的长是
点评：本题通过矩形纸片折叠，利用轴对称图形的性质，在丰富的图形关系中，考查学生获取信息和利用所得信息
认识新事物的能力，本题对图形折叠前后的不变量的把握、直线与圆位置关系的准确理解、方程思想的运用意识和策略等具有可再抽象性．
8．有一张长方形纸片ABCD，其中AB=3，BC=4，将它折叠后，可使点C与点A重合（图1），也可使点C与AB上的点E重合（图2），也可使点C与AD上的点E重合（图3），折痕为线段FG． （1）如图1，当点C与点A重合时，则折痕FG的长为
．
．
（2）如图2，点E在AB上，且AE=1，当点C与点E重合时，则折痕FG的长为
（3）如图3，当C与AD上的点E重合，折痕FG与边BC、CD分别相交于点F、G，AE=x，BF=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域．
（4）如果折叠后，使点C与这张纸的边上点E重合，且DG=1，那么点E可以在边 AB、AD、BC 上（写出所有可能的情况）．
考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理；正方形的性质。 专题：综合题。 分析：（1）连接CG，可证△AHG∽△CBA，根据相似三角形的对应边成比例可求出HG的长度；易证△AHG≌△CHF，则FG=2HG；
（2）连接CG，EG，则FG垂直平分CE．易证△CHF∽△CBE，得出CH=2HF．在直角△BCE中，运用勾股定理，可出CE的长度，求出HF的值；设DG=y，由GE=GC，运用勾股定理求出y的值，得到CG的长度，从而在直角△CHG中，由勾股定理计算出GH的值，则GF=GH+HF；
（3）过点F作FH⊥AD，H为垂足，连接FE．在直角△HFE中，运用勾股定理可求得y关于x的函数解析式，并根据条件得到函数的定义域； （4）（2）中点C与点E重合，且DG=1，即点E可以在边AB上，同样，可知点E可以在边AD、BC上． 解答：解：（1）连接CG． ∵点C与点A关于FG对称， ∴FG垂直平分AC，
∴∠AHG=90°，AH=AC=2.5．
在△AHG与△CBA中，∵∠AHG=∠CBA，∠GAH=∠ACB， ∴△AHG∽△CBA， ∴HG：AB=AH：BC， ∴HG=3×2.5÷4=
．
在△AHG与△CHF中，
∠GAH=∠HCF，AH=CH，∠AHG=∠CHF， ∴△AHG≌△CHF， ∴HG=HF，
∴FG=2HG=；（3分）
（2）连接CG，EG，则FG垂直平分CE．
在△CHF与△CBE中，∠CHF=∠B=90°，∠HCF=BCE， ∴△CHF∽△CBE， ∴HF：BE=CH：BC， ∴CH=2HF．
设HF=x，则CE=2CH=4x． 在△BCE中，∠B=90°，
222∴CE=BE+BC，
2
∴16x=4+16，
∴x=．
设DG=y，则AG=4﹣y． ∵GE=GC， 2222∴1+（4﹣y）=3+y， ∴y=1．
222
∴GC=DG+CD=1+9=10，
222
∴GH=GC﹣CH=10﹣5=5， ∴GH=， ∴GF=GH+HF=
+
=
；（3分）
（3）过点F作FH⊥AD，H为垂足，连接FE．则FE=FC=4﹣y，HE=x﹣y，FH=3，（3分）
222
由勾股定理有（x﹣y）+3=（4﹣y）， 从而得
（1＜x＜
）；（1分）
（4）AB、AD、BC．（3分） 故答案为
；
；AB、AD、BC．
点评：本题考查了轴对称、矩形的性质，全等三角形、相似三角形的判定与性质及勾股定理等知识，综合性较强，有一定难度． 9．（2010•密云县）（1）观察与发现：
小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；在第一次的折叠基础上第二次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由． （2）实践与运用：
将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D′处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中∠α的大小．
考点：翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的判定；矩形的性质。 专题：操作型。 分析：（1）由两次折叠知，点A在EF的中垂线上，所以AE=AF； （2）由图知，∠α=∠FED﹣（180°﹣∠AEB）÷2． 解答：解：（1）同意．如图，设AD与EF交于点G． 由折叠知，AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD． 又由折叠知，∠AGE=∠DGE，∠AGE+∠DGE=180°， 所以∠AGE=∠AGF=90°，
所以∠AEF=∠AFE．所以AE=AF， 即△AEF为等腰三角形．
（2）由折叠知，四边形ABFE是正方形，∠AEB=45°，
所以∠BED=135度．
又由折叠知，∠BEG=∠DEG， 所以∠DEG=67.5度．
从而∠α=90°﹣67.5°=22.5°．
点评：本题是一道折叠操作性考题．重点考查学生通过观察学习，领悟感受，探究发现折叠图形的对称只是，培养其自主学习能力，本题的关键是成轴对称的两个图形全等，对应角相等．
在解答此题时，有的人往往知道结论，书写不规范，建议教师在以后的教学中，在培养学生自主学习能力的同时，还要注重培养有条理表达和规范证明的能力．
10．图①是一张长与宽不相等的矩形纸片，同学们都知道按图②所示的折叠方法可以裁剪出一个正方形纸片和一个矩形纸片（如图③），
（1）实验：
将这两张纸片分别按图④、⑤所示的折叠方法进行：
请你分别在图④、⑤的最右边的图形中用虚线画出折痕，并顺次连接每条折痕的端点，所围成的四边形分别是什么四边形？
（2）当原矩形纸片的AB=4，BC=6时，分别求出（1）中连接折痕各端点所得四边形的面积，并求出它们的面积比；
（3）当纸片ABCD的长和宽满足怎样的数量关系时先后得到的两个四边形的面积比等于（2）所得到的两个四边形的面积比？
（4）用（2）中所得到的两张纸片，分别裁剪出那两个四边形，用剩下的8张纸片拼出两个周长不相等的等腰梯形，用图表示并标明主要数据，分别求出两梯形的面积． 考点：翻折变换（折叠问题）；菱形的性质；菱形的判定；正方形的性质；正方形的判定；等腰梯形的性质。 专题：操作型。
分析：（1）由题意知：图④正方形和图⑤矩形的折痕分别是对边中点所在的直线，顺次连接图④正方形的四边中点，所得四边形的对角线相等且互相垂直平分，因此其形状是正方形；顺次连接图⑤矩形的四边中点，所得四边形的对角线互相垂直平分，因此其形状是菱形；
（2）已知了原矩形的长和宽，即可求得图④正方形的边长和图⑤矩形的长和宽，进而可求出（1）中连接折痕各端点所得四边形的对角线的长，它们的面积都是对角线乘积的一半，由此可求得两个四边形的面积，进而得到它们的比例关系；
（3）可设出原矩形的长和宽，按照（2）的方法分别表示出（1）中连接折痕各端点所得四边形的面积，然后根据它们的比例关系即可求出a、b需要满足的条件；
（4）裁剪掉那两个四边形后剩下八个直角三角形，可分成两类：
①两条直角边为2的等腰直角三角形，②直角边为1和2的直角三角形； 然后动手操作即可拼成两个周长不等的等腰梯形，进而可求出其周长． 解答：解：（1）图④所示的是正方形，图⑤所示的菱形．（2分）
（2）S菱形=S正方形=S正方形：S菱形=2；（4分）
（3）设AB=a，BC=b， 则S正方形=
，S菱形=a（b﹣a）=ab﹣a，
2
，S菱形MNPQ=S矩形=
要使S正方形=2S菱形， 需
2
∴3a=2ab；
由∵a不等于0， ∴3a=2b；（7分）
（4）如图所示，两等腰梯形面积分别为6或6．
（10分）
点评：本题考查图形的折叠与拼接，同时考查了直角三角形、特殊四边形等几何基本知识，解题时应分别对每一个图形进行仔细分析，难度适中．
11．阅读下面的材料，并回答所提出的问题：如图所示，在锐角三角形ABC中，求证：
这个三角形不是一个直角三角形，不能直接使用锐角三角函数的知识去处理，所以必须构造直角三角形，过点A作AD⊥BC，垂足为D，则在Rt△ABD和Rt△ACD中由正弦定义可完成证明． 解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D， 在Rt△ABD中，sinB=
，则AD=csinB
Rt△ACD中，sinC=所以c sinB=b sinC，即
，则AD=bsinC
（1）在上述分析证明过程中，主要用到了下列三种数学思想方法的哪一种（ ） A、数形结合的思想；B、转化的思想；C、分类的思想 （2）用上述思想方法解答下面问题．
在△ABC中，∠C=60°，AC=6，BC=8，求AB和△ABC的面积． （3）用上述结论解答下面的问题（不必添加辅助线） 在锐角三角形ABC中，AC=10，AB=，∠C=60°，求∠B的度数．
考点：解直角三角形。 专题：阅读型。 分析：（1）题中给出的解题的过程是通过构建直角三角形，以AD为中间值将相等的条件进行转化而得出的结果，因此应该选B；
（2）根据题目给出的解题方法，我们也要通过构建直角三角形来求解，过A作AD⊥BC于D，那么先求两直角三角形的公共边AD是解题的关键，可在三角形ACD中求出AD，CD的长，然后在三角形ABD中求出AB的长，有了AD，BC的长也就能求出三角形的面积了；
（3）可将AC，AB，sinC的值代入题目给出的等量条件中求出sinB的值，也就求出了∠B的度数． 解答：解：（1）由分析知选B；
（2）过A作AD⊥C于D，在直角三角形ACD中，AC=6，∠C=60°， AD=AC•sin60°=3，CD=AC•cos60°=3， ∴BD=BC﹣CD=8﹣3=5，
直角三角形ABD中，根据勾股定理可得， AB=
S=•BC•DA=
（3）由题意可得：即：∴sinB=
，
，
=
，
=
，
，
因此∠B=45°．
点评：本题就是一个先学习再运用过程，目的考查学生综合能力，首先看懂，然后理解再应用，本题的重点是要学会题中给出的作辅助线的方法．
12．如图（1），小强将一张直角三角形纸片ABC沿斜边上的中线CD剪开成△AC1D1和△BC2D2．
（1）将图（1）中的△AC1D1（△ACD）纸片沿CD翻折，点A落在点A1处，CA1恰好与AB垂直（如图（2）），求tanA的值；
（2）将图（1）中的△AC1D1纸片沿直线D2B（AB）方向平移（点A、D2、D1、B在同一直线上），C1D1与BC2交于点E，AC1与C2D2交于点F（如图（3）），求证：D1E=D2F．
考点：翻折变换（折叠问题）；直角三角形斜边上的中线；平移的性质；特殊角的三角函数值。 专题：操作型；探究型。 分析：（1）根据CD是Rt△ABC斜边上的中线由直角三角形斜边上中线的性质可得到∠A=∠ACD，再根据△A1CD由△ACD翻折而成可得到∠ACD=∠A1CD，进而可得出∠A的度数，再根据特殊角的三角函数值即可求解； （2）由图（1）和（3）知，C1D1=C2D2=CD=AD=AD1=BD2，再根据图形平移的性质可得到C1D1∥C2D2，由平行线的性质即可得到∠AFD2=∠C1∠BED1=∠C2，进而可得出结论． 解答：解：（1）如图（1）和（2）， ∵CD是Rt△ABC斜边上的中线， ∴CD=AD， ∴∠A=∠ACD，
∵△A1CD由△ACD翻折而成， ∴∠ACD=∠A1CD， 又∵CA1⊥AB，
∴∠A+∠ACD+∠DCA1=3∠A=90°， ∴∠A=30°， tanA=
（2）由图（1）和（3）知，C1D1=C2D2=CD=AD=AD1=BD2，
∴∠FAD2=∠C1，∠B=∠C2，AD2=AD1﹣D1D2=BD2﹣D1D2=BD1， 由平移性质得C1D1∥C2D2， ∴∠AFD2=∠C1∠BED1=∠C2， ∴D2F=AD2，BD1=D1E， ∴D1E=D2F．
点评：本题考查的是翻折变换的性质、直角三角形斜边上的中线、平移的性质及特殊角的三角函数值，熟知以上知识点是解答此题的关键．
；
13．（1）动手操作：
如图①，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点c'处，折痕为EF，若∠ABE=20°，那么∠EFC'的度数为 125° ． （2）观察发现：
小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图②）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图③）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．
（3）实践与运用：
将矩形纸片ABCD 按如下步骤操作：将纸片对折得折痕EF，折痕与AD边交于点E，与BC边交于点F；将矩形ABFE与矩形EFCD分别沿折痕MN和PQ折叠，使点A、点D都与点F重合，展开纸片，此时恰好有MP=MN=PQ（如图④），求∠MNF的大小．
考点：翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质；勾股定理。 分析：（1）根据直角三角形的两个锐角互余求得∠AEB=70°，根据折叠重合的角相等，得∠BEF=∠DEF=55°，根据平行线的性质得到∠EFC=125°，再根据折叠的性质得到∠EFC′=∠EFC=125°；
（2）根据第一次折叠，得∠BAD=∠CAD；根据第二次折叠，得EF垂直平分AD，根据等角的余角相等，得∠AEG=∠AFG，则△AEF是等腰三角形；
222
（3）N作NH⊥AD于H，设ME=a，EF=b，MF=c．由折叠知，a+b=c①，再结合直角三角形MHN，可以得到c=2a，从而发现等边三角形MPF，求得∠MFE=30°，则∠MFN=60°，则△MNF为等边三角形，从而求解． 解答：解：（1）∵在直角三角形ABE中，∠ABE=20°， ∴∠AEB=70°， ∴∠BED=110°，
根据折叠重合的角相等，得∠BEF=∠DEF=55°． ∵AD∥BC， ∴∠EFC=125°，
再根据折叠的性质得到∠EFC′=∠EFC=125°． 故答案为125°；
（2）同意．
如图，设AD与EF交于点G．
由折叠知，AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD． 由折叠知，∠AGE=∠DGE=90°， 所以∠AGE=∠AGF=90°， 所以∠AEF=∠AFE． 所以AE=AF，
即△AEF为等腰三角形．
（3）过N作NH⊥AD于H， 设ME=a，EF=b，MF=c．
222
由折叠知，a+b=c①， AM=c，MN=2a，HM=c﹣a
②
则c=2a，
∴△MPF为等边三角形， ∴∠MFE=30°， ∴∠MFN=60°， 又∵MN=MF=2a，
∴△MNF为等边三角形， ∴∠MNF=60°，
点评：此题的综合性较强，综合运用了折叠的性质、等边三角形的性质以及勾股定理．
二．填空题（共7小题）
14．如图，Rt△ABC纸片中，∠C=90°，BC=1，AB=2，沿AD对折，使点C落在AB边上，则tanα= 2﹣
．
考点：翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义。 专题：计算题。
分析：由折叠的性质可知∠DAB=∠DAC=α，过D点作DE∥AB交AC于E点，则∠DEC=∠BAC，在Rt△ABC中求∠BAC，在Rt△CDE中得出三边关系，根据DE=AE，在Rt△ACD中求解． 解答：解：过D点作DE∥AB交AC于E点，则∠DEC=∠BAC，∠EDA=∠BAD， ∵AD为折叠线，
∴∠DAB=∠DAC=α， 在Rt△ABC中，sin∠BAC=
=，
∴∠BAC=30°，
在Rt△CDE中，∵∠DEC=∠BAC=30°，
∴设CD=a，则DE=2a，CE=a，则DE=AE=2a， 在Rt△ACD中，tanα=故答案为：2﹣
．
=
=
=2﹣
．
点评：本题考查了折叠的性质，锐角三角函数的定义．关键是作平行线，将△ABC的三边关系转化为△CDE的三边关系，利用折叠的性质及平行线构造等腰三角形，把问题集中到△ACD中求解．
15．如图，把一个矩形纸片ABCD沿AD和BC的中点连线EF对折，要使矩形AEFB与原矩形相似，则原矩形长与宽的比为 ：1 ．
考点：相似多边形的性质。
分析：根据相似多边形对应边的比相等，设出原来矩形的长与宽，就可得到一个方程，解方程即可求得． 解答：解：根据条件可知：矩形AEFB∽矩形ABCD． ∴
=
．
设AD=x，AB=y，则AE=x．则=，即：x=y．
22
∴=2．
∴x：y=：1．
即原矩形长与宽的比为：1． 故答案为：：1．
点评：本题考查了相似多边形的性质，根据相似形的对应边的比相等，把几何问题转化为方程问题，正确分清对应边，以及正确解方程是解决本题的关键．
16．用剪刀将形状如图①所示的矩形纸片ABCD沿着直线CM剪成两部分，其中M为AD的中点．用这两部分纸片可以拼成一些新图形，例如图②中的Rt△BCE就是拼成的一个图形．若利用这两部分纸片拼成的Rt△BCE是等腰直角三角形，设原矩形纸片中的边AB和BC的长分别为a厘米、b厘米，且a、b满足关系式a+b=m﹣1，ab=m+1，
2
则原矩形纸片的面积是 8 cm．
考点：一元二次方程的应用；等腰直角三角形；矩形的性质。
分析：若是等腰直角三角形的话，b=2a，这样代入a+b=m﹣1，ab=m+1，求出m的值，从而可求出面积． 解答：解：因为Rt△BCE是等腰直角三角形，M为AD的中点，所以b=2a． ∵a+b=m﹣1，∴a+2a=m﹣1，∴a=∴
•
=m+1
．
m=﹣（舍去）或m=7．
ab=8．
故答案为：8．
点评：本题考查一元二次方程的应用，根据等腰直角三角形找到矩形的长和宽的关系，以及矩形的性质等知识点求解．
17．如图，将一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为C′，再将所折得的图形沿EF折叠，使得点D和点A重合．若AB=3，BC=4，则折痕EF的长为
．
考点：翻折变换（折叠问题）；矩形的性质。
分析：首先由折叠的性质与矩形的性质，证得△BND是等腰三角形，则在Rt△ABN中，利用勾股定理，借助于方程即可求得AN的长，又由△ANB≌△C′ND，易得：∠FDM=∠ABN，由三角函数的性质即可求得MF的长，又由中位线的性质求得EM的长，则问题得解．
解答：解：设BC′与AD交于N，EF与AD交于M，
根据折叠的性质可得：∠NBD=∠CBD，AM=DM=AD，∠FMD=∠EMD=90°， ∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC=4，∠BAD=90°，
∴∠ADB=∠CBD， ∴∠NBD=∠ADB， ∴BN=DN，
设AN=x，则BN=DN=4﹣x，
222
∵在Rt△ABN中，AB+AN=BN， 222∴3+x=（4﹣x）， ∴x=， 即AN=，
∵C′D=CD=AB=3，∠BAD=∠C′=90°，∠ANB=∠C′ND， ∴△ANB≌△C′ND（AAS）， ∴∠FDM=∠ABN，
∴tan∠FDM=tan∠ABN， ∴
，
∴∴MF=
， ，
由折叠的性质可得：EF⊥AD， ∴EF∥AB， ∵AM=DM， ∴ME=AB=， ∴EF=ME+MF=+故答案为：
．
=
．
点评：此题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，三角函数的性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，解题时要注意数形结合思想与方程思想的应用． 18．（2010•随州）如图矩形纸片ABCD，AB=5cm，BC=10cm，CD上有一点E，ED=2cm，AD上有一点P，PD=3cm，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是
cm．
考点：翻折变换（折叠问题）。
分析：过Q点作QG⊥CD，垂足为G点，连接QE，设PQ=x，根据折叠及矩形的性质，用含x的式子表示Rt△EGQ的三边，再用勾股定理列方程求x即可．
解答：解：过Q点作QG⊥CD，垂足为G点，连接QE， 设PQ=x，由折叠及矩形的性质可知， EQ=PQ=x，QG=PD=3，EG=x﹣2， 在Rt△EGQ中，由勾股定理得 222222EG+GQ=EQ，即：（x﹣2）+3=x， 解得：x=
，即PQ=
．
点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应线段相等．
19．一张矩形纸片经过折叠得到一个三角形（如图），则矩形的长与宽的比为 2： ．
考点：翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质；矩形的性质。 专题：数形结合。
分析：首先由折叠的性质与矩形的性质求得：∠ABC′=30°，BC′=BC，然后在Rt△ABC′中，利用三角函数的知识即可求得答案．
解答：
解：根据折叠的性质得：AC′=DC′，BC′=BC，∠ABC′=∠C′BE=∠EBC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=∠A=90°， ∴∠ABC′=∠ABC=30°， ∴在Rt△ABC′中，cos∠ABC′=
=cos30°=
，
∴矩形的长与宽的比为：2：． 故答案为：2：．
点评：此题考查了折叠的性质，矩形的性质以及三角函数等知识．解题的关键是找到折叠中的对应关系，还要注意数形结合思想的应用．
20．将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一边上，已知∠1=60°，则∠2= 30 度．
考点：平行线的性质。 专题：计算题。
分析：如图，过A作AM平行于EF，由四边形EFGH为矩形，可得矩形的对边EF与HG平行，根据与平行线中的一条直线平行，于另一条也平行，得到AM也与HG平行，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠3，∠4=∠2，又四边形ABCD也为矩形，根据矩形的四个角都为直角可得∠3+∠4为90°，等量代换可得∠1+∠2为90°，由∠1的度数即可求出∠2的度数．
解答：解：过A作AM∥EF，交BC于M， ∴∠3=∠1，
∵四边形EFGH为矩形， ∴EF∥HG， ∴AM∥HG， ∴∠4=∠2，
又四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD=90°，即∠3+∠4=90°， ∴∠1+∠2=90°，又∠1=60°， ∴∠2=30°． 故答案为：30
点评：此题考查了平行线的性质，以及三角形的外角性质，利用了转化的数学思想，其中平行线的性质有：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补，根据题意作出辅助线AM是本题的突破点．
三．选择题（共7小题） 21．（2005•锦州）一张正方形纸片经过两次对折，并在如图位置上剪去一个小正方形，打开后是（ ）
A． B． C． D．
考点：剪纸问题。
分析：由平面图形的折叠及图形的对称性展开图解题．
解答：解：动手操作或由图形的对称性，因剪去的小正方形紧靠对折线，可得打开后是B． 故选B．
点评：本题考查的是学生的立体思维能力及动手操作能力．
22．将一张四边形纸片沿两组对边的中点连线剪开，得到四张小纸片，如图所示．用这四张小纸片一定可以拼成（ ）
A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形 考点：平行四边形的判定。 专题：操作型。
分析：根据平行四边形的判定及旋转平移的性质进行分析即可．
解答：解：四边形JFCG绕点F顺时针旋转180°，四边形HAEJ绕点E顺时针旋转180°，余下的四边形DHJG沿着DB方向进行平移，刚好构成一个平行四边形． 故选D．
点评：此题主要考查学生对平行四边形的判定方法及旋转的性质的综合运用．
23．图案（1）是一张等腰直角三角形纸片，在纸片的三个角上分别画出“●”，“▲”，“■”，将纸片绕斜边中点旋转180°所得的图形和原图形拼成的图案是（ ）
A． B． C． D．
考点：生活中的旋转现象。
分析：根据旋转的性质，找出图中“●”、“▲”、“■”3个关键处绕斜边中点旋转180°后的形状，和原图拼贴即可选择答案．
解答：解：根据旋转的性质可知，
将纸片绕斜边中点旋转180°所得的图形和原图形拼成的图案是． 故选B．
点评：本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，难度不大但易错．
24．如图，AD、BE是锐角三角形的两条高，S△ABC=18，S△DEC=2，则cosC等于（ ）
A．3
B．
C．
D．
考点：解直角三角形；三角形的面积。 专题：计算题。
分析：先证明△ABC∽△ECD，根据相似三角形面积的比等于对应边的平方比即可得出答案． 解答：解：∵AD、BE是锐角三角形的两条高， ∴∠C=∠C，∠BAC=∠CDE， ∴△ABC∽△ECD， ∴
=
，
∵S△ABC=18，S△DEC=2， ∴
=3，
=．
∴在直角三角形ADC中，cosC=
故选B．
点评：本题考查了解直角三角形，难度适中，关键是掌握相似三角形面积的比等于对应边的平方比． 25．（2010•内江）跟我学剪五角星：如图，先将一张长方形纸片按图①的虚线对折，得到图②，然后将图②沿虚线折叠得到图③，再将图③沿虚线BC剪下△ABC，展开即可得到一个五角星．若想得到一个正五角星（如图④，正五角星的5个角都是36°），则在图③中应沿什么角度剪即∠ABC的度数为（ ）
A．126° B．108° C．90° D．72° 考点：剪纸问题。 专题：计算题。
分析：根据等腰三角形的性质及内角和定理解题． 解答：解： ∵∠A=
=36°，
∵正五角星的5个角都是36°， ∴∠ACB=×36°=18°，
∵三角形内角和为180°，
∴∠ABC=180°﹣18°﹣36°=126°． 故选A．
点评：主要在考查学生动手操作的能力的同时，也考查了等腰三角形的性质及内角和定理．
26．如图，矩形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，若要在该纸片中剪下两个外切的圆⊙O1和⊙O2，要求⊙O1和⊙O2的圆心均在对角线BD上，且⊙O1和⊙O2分别与BC、AD相切，则O1O2的长为（ ）
A．cm
B．cm
C．
cm
D．2cm
考点：相切两圆的性质；矩形的性质。
分析：设大圆的半径是R，小圆的半径是r．分别过两个圆的圆心作矩形的两边的平行线交于点M，根据相似三角形的性质求解．
解答：解：如图所示，设大圆的半径是R，小圆的半径是r． 根据勾股定理，得BD=5． 根据相似三角形的性质，得：
=
，
15﹣5（R+r）=3（R+r）， R+r=
（cm）．
故选C．
点评：此题综合运用了勾股定理和相似三角形的性质．注意：把R+r看做一个整体进行计算．
27．将一张长为70 cm的长方形纸片ABCD，沿对称轴EF折叠成如图的形状，若折叠后，AB与CD间的距离为60cm，则原纸片的宽AB是（ ）
A．5cm B．10cm C．15cm D．20cm 考点：翻折变换（折叠问题）；矩形的性质。 专题：计算题。
分析：设AB=xcm．根据轴对称图形的性质，得BE=DF=35﹣x（cm），从而再根据AB与CD间的距离为60cm，列方程求解．
解答：解：设AB=xcm．
根据轴对称图形的性质，得BE=DF=35﹣x（cm）． 则有2（35﹣x）+x=60， x=10． 故选B．
点评：此题主要能够根据轴对称图形的性质，用同一个未知数表示出有关线段的长．
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