东源县第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

一、选择题

2x1,x11． 设函数fx，则使得fx1的自变量的取值范围为（ ）

4x1,x1A．,20,10 B．,20,1C．,21,10 A．30°B．60°C．120°D．150°

D．2,01,10）

2． 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinB=2sinC，a2﹣c2=3bc，则A等于（

3． 已知f（x）为偶函数，且f（x+2）=﹣f（x），当﹣2≤x≤0时，f（x）=2x；若n∈N*，an=f（n），则a2017等于（

）

C．

D．

）

A．2017B．﹣8

4． 下列命题中正确的是（ B．任何复数都不能比较大小C．若

=

，则z1=z2

D．若|z1|=|z2|，则z1=z2或z1=

A．复数a+bi与c+di相等的充要条件是a=c且b=d

5． 对于函数f（x），若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”，已知函数f（x）=A．C．D．　　

是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（

）

6． 直线： （为参数）与圆：（为参数）的位置关系是（ ）

A．相离 B．相切 C．相交且过圆心 D．相交但不过圆心7． 三个数60.5，0.56，log0.56的大小顺序为（ A．log0.56＜0.56＜60.5B．log0.56＜60.5＜0.56C．0.56＜60.5＜log0.56D．0.56＜log0.56＜60.5

）

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8． 已知实数a，b，c满足不等式0＜a＜b＜c＜1，且M=2a，N=5﹣b，P=（）c，则M、N、P的大小关系为（ 　

9． 已知双曲线的方程为A．

B．

C．

或﹣

=1，则双曲线的离心率为（ D．

或

）

）

）

A．M＞N＞PB．P＜M＜NC．N＞P＞M

10．已知全集I={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，那么∁I（A∩B）等于（ A．{3，4}　

B．{1，2，5，6}

C．{1，2，3，4，5，6}

D．∅

x2y211．F1，F2分别为双曲线221（a，b0）的左、右焦点，点P在双曲线上，满足PF1PF20，

ab31若PF1F2的内切圆半径与外接圆半径之比为，则该双曲线的离心率为（ ）

2A.2 B.3C. 21D. 31【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识，意在考查基本运算能力及推理能力．12．设函数y=A．∅

B．N

的定义域为M，集合N={y|y=x2，x∈R}，则M∩N=（ C．[1，+∞）D．M

）

二、填空题

13．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f（x）=x3x，对任意的m∈[﹣2，2]，f（mx﹣2）+f（x）＜0恒成立，则x的取值范围为_____．

14．在等差数列{an}中，a17，公差为d，前项和为Sn，当且仅当n8时Sn取得最大值，则d的取值范围为__________.

15．已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x．给出如下结论：

①对任意m∈Z，有f（2m）=0；②函数f（x）的值域为[0，+∞）；③存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；④“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2k，2k+1）”；其中所有正确结论的序号是　　　　　　．　

16．抛物线y2=6x，过点P（4，1）引一条弦，使它恰好被P点平分，则该弦所在的直线方程为　　　　　　．第 2 页，共 17 页

17．在极坐标系中，O是极点，设点A，B的极坐标分别是（2的距离是　　　　　　．，），（3，），则O点到直线AB

18．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角的余弦值是　 　．三、解答题

19．（1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件（2）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件

+

=1．

20．已知集合P={x|2x2﹣3x+1≤0}，Q={x|（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0}．（1）若a=1，求P∩Q；

（2）若x∈P是x∈Q的充分条件，求实数a的取值范围．

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21．某商场销售某种品牌的空调器，每周周初购进一定数量的空调器，商场每销售一台空调器可获利500元，若供大于求，则每台多余的空调器需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调器仅获利润200元．

（Ⅰ）若该商场周初购进20台空调器，求当周的利润（单位：元）关于当周需求量n（单位：台，n∈N）的函数解析式f（n）；

（Ⅱ）该商场记录了去年夏天（共10周）空调器需求量n（单位：台），整理得表：

1819202122周需求量n

频数

1

2

3

3

1

X表示当周的利润以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，若商场周初购进20台空调器，（单位：元），求X的分布列及数学期望．

22．（本小题满分13分）

x2y2椭圆C:221(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，直线l:xmy1经过点F1与椭圆C交于点

ab2．M，点M在x轴的上方．当m0时，|MF1|2（Ⅰ）求椭圆C的方程；

SMF1F2（Ⅱ）若点N是椭圆C上位于x轴上方的一点， MF1//NF2，且3，求直线l的方程．

SNF1F223．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l过点P（1，0），

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斜率为，曲线C：ρ=ρcos2θ+8cosθ．

（Ⅰ）写出直线l的一个参数方程及曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．　

24．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=10，a2为整数，且Sn≤S4。

（1）求{an}的通项公式；

（2）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn。

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东源县第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题

1． 【答案】A【解析】

考

点：分段函数的应用.

【方法点晴】本题主要考查了分段函数的应用，其中解答中涉及到不等式的求解，集合的交集和集合的并集运算，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据分段函数的分段条件，列出相应的不等式，通过求解每个不等式的解集，利用集合的运算是解答的关键.2． 【答案】C

【解析】解：由sinB=2sinC，由正弦定理可知：b=2c，代入a2﹣c2=3bc，可得a2=7c2，所以cosA=∵0＜A＜180°，∴A=120°．故选：C．

【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基本知识的考查．　

3． 【答案】D

【解析】解：∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即f（x+4）=f（x），即函数的周期是4．

∴a2017=f（2017）=f（504×4+1）=f（1），∵f（x）为偶函数，当﹣2≤x≤0时，f（x）=2x，∴f（1）=f（﹣1）=，∴a2017=f（1）=

，

=

=﹣

，

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故选：D．

【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和周期性之间的关系是解决本题的关键．　

4． 【答案】C

【解析】解：A．未注明a，b，c，d∈R．B．实数是复数，实数能比较大小．C．∵

=

，则z1=z2，正确；

D．z1与z2的模相等，符合条件的z1，z2有无数多个，如单位圆上的点对应的复数的模都是1，因此不正确．故选：C．　

5． 【答案】D

【解析】解：由题意可得f（a）+f（b）＞f（c）对于∀a，b，c∈R都恒成立，由于f（x）=

=1+

，

①当t﹣1=0，f（x）=1，此时，f（a），f（b），f（c）都为1，构成一个等边三角形的三边长，满足条件．

②当t﹣1＞0，f（x）在R上是减函数，1＜f（a）＜1+t﹣1=t，同理1＜f（b）＜t，1＜f（c）＜t，

由f（a）+f（b）＞f（c），可得 2≥t，解得1＜t≤2．③当t﹣1＜0，f（x）在R上是增函数，t＜f（a）＜1，同理t＜f（b）＜1，t＜f（c）＜1，

由f（a）+f（b）＞f（c），可得 2t≥1，解得1＞t≥综上可得，

≤t≤2，

，2]，

．

故实数t的取值范围是[故选D．

【点评】本题主要考查了求参数的取值范围，以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域，同时考查了分类讨论的思想，属于难题．　

6． 【答案】D

【解析】【知识点】直线与圆的位置关系参数和普通方程互化【试题解析】将参数方程化普通方程为：直线：圆心（2,1），半径2．圆心到直线的距离为：

，所以直线与圆相交。

圆

：

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又圆心不在直线上，所以直线不过圆心。故答案为：D7． 【答案】A

【解析】解：∵60.5＞60=1，0＜0.56＜0.50=1，log0.56＜log0.51=0．∴log0.56＜0.56＜60.5．故选：A

【点评】本题考查了不等关系与不等式，考查了指数函数和对数函数的性质，对于此类大小比较问题，有时借助于0和1为媒介，能起到事半功倍的效果，是基础题．　

8． 【答案】A

【解析】解：∵0＜a＜b＜c＜1，∴1＜2a＜2，5﹣b=（故选：A

【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据幂函数和指数函数的单调性的性质是解决本题的关键．　

9． 【答案】C

【解析】解：双曲线的方程为

﹣

=1，

＜5﹣b＜1，

）c＞（

＜（）c，

）c＜1，

）b＞（

即M＞N＞P，

焦点坐标在x轴时，a2=m，b2=2m，c2=3m，离心率e=

．

焦点坐标在y轴时，a2=﹣2m，b2=﹣m，c2=﹣3m，离心率e=故选：C．

【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意实轴所在轴的易错点．　

10．【答案】B

【解析】解：∵A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，∴A∩B={3，4}，

∵全集I={1，2，3，4，5，6}，

=

．

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∴∁I（A∩B）={1，2，5，6}，故选B．

【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．　

11．【答案】D

【解析】∵PF1PF20，∴PF1PF2，即PF1F2为直角三角形，∴PF12PF22F1F224c2，|PF1PF2|2a，则2PF1PF2PF12PF22(PF1PF2)24(c2a2)，

(PF1PF2)2(PF1PF2)24PF1PF28c24a2.所以PF1F2内切圆半径

rPF1PF2F1F231c，整理，得2c2a2c，外接圆半径Rc.由题意，得2c2a2c22c()2423，∴双曲线的离心率e31，故选D.a12．【答案】B

【解析】解：根据题意得：x+1≥0，解得x≥﹣1，∴函数的定义域M={x|x≥﹣1}；∵集合N中的函数y=x2≥0，∴集合N={y|y≥0}，则M∩N={y|y≥0}=N．故选B　

二、填空题

13．【答案】2,23第 9 页，共 17 页

【解析】

14．【答案】1d【解析】

试题分析：当且仅当n8时，等差数列{an}的前项和Sn取得最大值，则a80,a90，即77d0，

787778d0，解得：1d.故本题正确答案为1d.

88考点：数列与不等式综合.

15．【答案】　①②④　．

【解析】解：∵x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x．

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∴f（2）=0．f（1）=f（2）=0．∵f（2x）=2f（x），∴f（2kx）=2kf（x）．

①f（2m）=f（2•2m﹣1）=2f（2m﹣1）=…=2m﹣1f（2）=0，故正确；②设x∈（2，4]时，则x∈（1，2]，∴f（x）=2f（）=4﹣x≥0．若x∈（4，8]时，则x∈（2，4]，∴f（x）=2f（）=8﹣x≥0．…

一般地当x∈（2m，2m+1），则

∈（1，2]，f（x）=2m+1﹣x≥0，

从而f（x）∈[0，+∞），故正确；

③由②知当x∈（2m，2m+1），f（x）=2m+1﹣x≥0，∴f（2n+1）=2n+1﹣2n﹣1=2n﹣1，假设存在n使f（2n+1）=9，即2n﹣1=9，∴2n=10，∵n∈Z，

∴2n=10不成立，故错误；

④由②知当x∈（2k，2k+1）时，f（x）=2k+1﹣x单调递减，为减函数，

∴若（a，b）⊆（2k，2k+1）”，则“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”，故正确．故答案为：①②④．　

16．【答案】　3x﹣y﹣11=0　．

【解析】解：设过点P（4，1）的直线与抛物线的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），即有y12=6x1，y22=6x2，

相减可得，（y1﹣y2）（y1+y2）=6（x1﹣x2），即有kAB=

=

==3，

则直线方程为y﹣1=3（x﹣4），即为3x﹣y﹣11=0．

将直线y=3x﹣11代入抛物线的方程，可得9x2﹣72x+121=0，判别式为722﹣4×9×121＞0，故所求直线为3x﹣y﹣11=0．

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故答案为：3x﹣y﹣11=0．　

17．【答案】　

【解析】解：根据点A，B的极坐标分别是（2）、（﹣，故AB的斜率为﹣

），

，故直线AB的方程为 y﹣

=

=﹣，

（x﹣3），即x+3

y﹣12=0，

，

），（3，

），可得A、B的直角坐标分别是（3，

　．

所以O点到直线AB的距离是故答案为：

．

【点评】本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．　

18．【答案】0

【解析】

【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1E与GF所成的角的余弦值．

【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，∵AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，∴A1（1，0，2），E（0，0，1），G（0，2，1），F（1，1，0），

=（﹣1，0，﹣1），

=﹣1+0+1=0，

∴A1E⊥GF，

∴异面直线A1E与GF所成的角的余弦值为0．故答案为：0．

=（1，﹣1，﹣1），

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三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）由题意作出可行域如下，

，

结合图象可知，当过点A（2，﹣1）时有最大值，故Zmax=2×2﹣1=3；（2）由题意作图象如下，

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，

根据距离公式，原点O到直线2x+y﹣z=0的距离d=，

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故当d有最大值时，|z|有最大值，即z有最值；结合图象可知，当直线2x+y﹣z=0与椭圆

+

=1相切时最大，

联立方程

116x2﹣100zx+25z2﹣400=0，

化简可得，

故△=10000z2﹣4×116×（25z2﹣400）=0，故z2=116，

故z=2x+y的最大值为

．

【点评】本题考查了线性规划的应用及圆锥曲线与直线的位置关系的应用．　

20．【答案】 【解析】解：（1）

当a=1时，Q={x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}={x|1≤x≤2}则P∩Q={1}

（2）∵a≤a+1，∴Q={x|（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0}={x|a≤x≤a+1}∵x∈P是x∈Q的充分条件，∴P⊆Q∴

，即实数a的取值范围是

【点评】本题属于以不等式为依托，求集合的交集的基础题，以及充分条件的运用，也是高考常会考的题型．　

21．【答案】

【解析】解：（I）当n≥20时，f（n）=500×20+200×（n﹣20）=200n+6000，当n≤19时，f（n）=500×n﹣100×（20﹣n）=600n﹣2000，∴

．

（ II）由（1）得f（18）=8800，f（19）=9400，f（20）=10000，f（21）=10200，f（22）=10400，∴P（X=8800）=0.1，P（X=9400）=0.2，P（X=10000）=0.3，P（X=10200）=0.3，P（X=10400）=0.1，X的分布列为

X880094001000010200P0.10.20.30.3∴EX=8800×0.1+9400×0.2+10000×0.3+10200×0.3+10400×0.1=9860．　

104000.1第 15 页，共 17 页

22．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由直线l:xmy1经过点F1得c1，

b22当m0时，直线l与x轴垂直，|MF1|，a2c1x22a2y21． （4分）由b，∴椭圆C的方程为2解得2b12aSMF1F2|MF1|y1（Ⅱ）设M(x1,y1),N(x2,y2)，y10,y20，由MF1//NF2知3.

SNF1F2|NF2|y2xmy1m2(m21)222联立方程x，消去x得(m2)y2my10，解得y22m2y12m2(m21)m2(m21)∴y1，同样可求得y2， （11分）22m2m2m2(m21)m2(m21)y1

3得y13y2，∴由，解得m1，3y2m22m22直线l的方程为xy10． （13分）23．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）∵直线l过点P（1，0），斜率为∴直线l的一个参数方程为

（t为参数）；

，

∵ρ=ρcos2θ+8cosθ，∴ρ（1﹣cos2θ）=8cosθ，即得（ρsinθ）2=4ρcosθ，∴y2=4x，∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x．（Ⅱ） 把

代入y2=4x整理得：3t2﹣8t﹣16=0，

设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则∴

．

，

【点评】本题考查了直线参数方程及其应用、极坐标方程化为直角坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　

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24．【答案】

【解析】（1）由a1=10，a2为整数，且Sn≤S4得a4≥0，a5≤0，即10+3d≥0，10+4d≤0，解得﹣∴d=﹣3，

∴{an}的通项公式为an=13﹣3n。（2）∵bn==

，

≤d≤﹣，

∴Tn=b1+b2+…+bn=（﹣+﹣+…+﹣）=（﹣）=

。

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