电磁场06解答证明

1. 两点电荷q18C位于z轴上z4处，q24C位于y轴上y4处，求(4,0,0)处的电场强度。

解 电荷q1在(4,0,0)处产生的电场为

rr12ex4ez440rr130(42)3q1E1

电荷q2在(4,0,0)处产生的电场为

E2q2rr21ex4ey440rr230(42)3

故(4,0,0)处的电场为

EE1E2exeyez23220 2. 两平行无限长直线电流I1和I2，相距为d，求每根导线单位长度受到的安培力Fm。

解 无限长直线电流I1产生的磁场为

0I12r

B1e直线电流I2每单位长度受到的安培力为

1Fm12I2ezB1dze1200I1I22d

式中e12是由电流I1指向电流I2的单位矢量。

同理可得，直线电流I1每单位长度受到的安培力为

0I1I22d

Fm21Fm12e123. 一个半径为a的导体球带电荷量为Q，当球体以均匀角速度绕一个直径旋转，求球心处的磁感应强度B。

解 球面上的电荷面密度为

Q4a2

当球体以均匀角速度绕一个直径旋转时，球面上位置矢量rera点处的电流面密度为

JSvωrezera

easineQsin4a

将球面划分为无数个宽度为dlad的细圆环，则球面上任一个宽度为dlad细圆环的电流为

dIJSdlQsind4

细圆环的半径为basin，圆环平面到球心的距离dacos，利用电流圆环的轴线上的磁场公式，则该细圆环电流在球心处产生的磁场为

dBez0b2dI2(b2d2)320Qa2sin3dez8(a2sin2a2cos2)32

0Qsin3dez8a

故整个球面电流在球心处产生的磁场为

Bez00Qsin3Qdez08a6a

4. 半径为a的球体中充满密度(r)的体电荷，已知电位移分布为

r3Ar2Dra5Aa4r2(ra)(ra)

其中A为常数，试求电荷密度(r)。 解 由D，有

1d2(rDr)2rdr

(r)D

故在ra区域

1d2322[r(rAr)](5r4Ar)02rdr

(r)0在ra区域

1d2(a5Aa4)(r)02[r]0rdrr2

5.一个半径为a薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷量为Q为的体

Eer(ra)4Q电荷，球壳上又另充有电荷量。已知球内部的电场为，设球内介质为真空。计

算（1） 球内的电荷分布；（2）球壳外表面的电荷面密度。

解 （1） 由高斯定理的微分形式可求得球内的电荷体密度为

1d21d2r4r30E0[2(rE)]0[2(r4)]604rdrrdraa

（2）球体内的总电量Q为

ar3Qd6044r2dr40a2a0

球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷Q，而且在球壳外表面上还要感应电荷Q，所以球壳外表面上的总电荷为2Q，故球壳外表面上的电荷面密度为

2Q204a2



6. 中心位于原点，边长为L的电介质立方体的极化强度矢量为

PP0(exxeyyezz)。

（1）计算面束缚电荷密度和体束缚电荷密度；（2）证明总的束缚电荷为零。 解 （1） PP3P0

L2LP02

LP02

P(x)nPxL2exPxL2P(x)nPL2xL2exPxL2同理

L2L2L2L2LP02

P(y)P(y)P(z)P(z)（2）

qPPdPdS3P0L36L2SLP002

7. 一半径为R0的介质球，介电常数为r0，其内均匀分布自由电荷，证明中心点的电位为

2r1()R022r30

解 由

DdSqS

可得到

4r34rD1（rR0）3

234R04rD2（rR0）3 2即

Drr,E11（rR0）3r03r0

D133R0D1R0D22,E2（rR0）23r030r

故中心点的电位为

R0R0R03r(0)E1drE2drdrdr23r030r0R0R00

R02R022r12()R06r0302r30

8. 一个半径为R的介质球，介电常数为，球内的极化强度PerKr，其中K为一常数。（1） 计算束缚电荷体密度和面密度；（2） 计算自由电荷密度；（3）计算球内、外的电场和电位分布。

解 （1）介质球内的束缚电荷体密度为

1d2KK(r)r2drrr2

pP在rR的球面上，束缚电荷面密度为

KR

pnPrRerPrR（2）由于D0EP，所以

0DP

D0EP即

0)DP

(1由此可得到介质球内的自由电荷体密度为

00K(0)r2

DPp总的自由电荷量

KR14RK2qd4rdr0r200

（3）介质球内、外的电场强度分别为

PKer0(0)rE1(rR)

E2erq40r2erRK0(0)r2(rR)

介质球内、外的电位分别为

R1EdlE1drE2drrrR

KRKdrdr2(0)r(0)rrR0

KRKln0r0(0)R(rR)

2E2drrRKRKdr2()r0(0)r0r0(rR)

9. 如图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为U0，求槽内的电位函数。

解 根据题意，电位(x,y)满足的边界条件为 ① (0,y)(a,y)0 ② (x,0)0 ③ (x,b)U0

根据条件①和②，电位(x,y)的通解应取为

(x,y)Ansinh(n1nynx)sin()aa

由条件③，有

nbnx)sin()aa

U0Ansinh(n1两边同乘以sin(nxa)，并从0到a对x积分，得到

a2U0nxAnsin()dxasinh(nba)0a

2U0(1cosn)nsinh(nba)4U0,n1,3,5,nsinh(nba)0，n2,4,6,

故得到槽内的电位分布

4U01nynxsinh()sin()nsinh(nba)aa

(x,y)n1,3,5,10. 两平行无限大导体平面，距离为b，其间有一极薄的导体片由yd到

yb(z)。上板和薄片保持电位U0，下板保持零电位，求板间电位的解。设在薄片

平面上，从y0到yd，电位线性变化，(0,y)U0yd。

y U0 b d o 4.2x 2. 解 应用叠加原理，设板间的电位为

(x,y)1(x,y)2(x,y)

其中，1(x,y)为不存在薄片的平行无限大导体平面间（电压为U0）的电位，即

1(x,y)U0yb；2(x,y)是两个电位为零的平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界条件

为

① 2(x,0)2(x,b)0

②

2(x,y)0(x)

U0U0yydb2(0,y)(0,y)1(0,y)UU0y0b③

(0yd)(dyb)

根据条件①和②，可设2(x,y)的通解为

xnynb2(x,y)Ansin()ebn1

由条件③有

U0U0yynydbAnsin()bn1UU0y0b(0yd)(dyb)

两边同乘以sin(nyb)，并从0到b对y积分，得到

db2U2U11nyynyAn0()ysin()dy0(1)sin()dyb0dbbbdbb

2U0bndsin()(n)2db

故得到

x1ndnynbsin()sin()e2bbn1n U02bU0yd2(x,y)b